专题05 平行四边形（原卷版）-2024年九年级数学暑假讲义（北师版）

专题05平行四边形目录TOC\o"1-3"\h\u【考点1多边形的内角和与外角和】 2【考点2利用三角形的中位线求线段长】 5【考点3利用平行四边形的性质求角度】 7【考点4利用平行四边形的性质求边长】 9【考点5利用平行四边形的性质求解折叠问题】 12【考点6判断能否构成平行四边形】 16【考点7平行四边形的判定和性质】 18【考点8平行四边形与中位线的综合问题】 22【过关检测】 271.平行四边形：两组对边分别平行的四边形.2.三角形中位线3.多边形考点剖析【考点1多边形的内角和与外角和】例题：（2024·重庆·二模）一个多边形的内角和是这个多边形的外角和的3倍，则该多边形边数为【变式训练】1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正六边形的两个顶点与正方形的两个顶点重合，且正方形与正六边形的中心（点O）重合，则度．2．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，将正五边形纸片折叠，使点B与点E重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点B的对应点为点，折痕为，则的大小为度．3．（2024·山东菏泽·二模）如图，正三角形、正四边形、正五边形中，点E在的延长线上，点D在另一边反向延长线上，且延长线交于点F．图1中的度数为，图2中度数为，若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其它条件不变，则度数为．（用含n的代数式表示）【考点2利用三角形的中位线求线段长】例题：（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，，，于点，．若，分别为，的中点，则的长为．【变式训练】1．（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，已知，，，垂足为，点分别是的中点．若，则的长为．

2．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在等边三角形中，，，点E是线段上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则长的最小值为．【考点3利用平行四边形的性质求角度】例题：（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图，在中，，以点为圆心，为半径作弧交于另一点，再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，则的度数为．【变式训练】1．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）若平行四边形的两个内角，则的度数是．2．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在边上，则．3．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在中，，将绕顶点顺时针旋转到，当首次经过顶点时，旋转角度．【考点4利用平行四边形的性质求边长】例题：（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，平行四边形中，和的平分线交于边上一点，且，，则的长是．【变式训练】1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为．2．（22-23八年级下·山东青岛·期末）在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点．若点为的中点，于，且，，则的长为．【考点5利用平行四边形的性质求解折叠问题】例题：（2024·福建漳州·二模）如图，将的两边与分别沿翻折，点A，C恰好与点B重合，则的大小为．

【变式训练】1．（23-24八年级下·重庆万州·期中）如图，在中，，，将沿对角线翻折，交于点，点的对应点为点，则的度数是．2．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在平行四边形中，，，，连结，将沿折叠得到，交于点，则的长度是．3．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知在平行四边形中，，点在上，，将沿翻折到，连接．则的长为，的长为．

【考点6判断能否构成平行四边形】例题：（23-24八年级上·山东菏泽·期末）下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（

）A．， B．，C．， D．，【变式训练】1．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（

）A．， B．，C．， D．，2．（22-23八年级下·江西赣州·期末）如图，在中，点，分别在，上．下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（

）

A． B． C． D．【考点7平行四边形的判定和性质】例题：（22-23八年级下·广东深圳·期末）已知：如图，E、F是对角线上的两点．

(1)若，求证：四边形是平行四边形；(2)若，，垂足分别为E、F，，求的度数．【变式训练】1．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，，于点D，延长到点E，使，过点E作交的延长线于点F，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，直接写出的长．2．（22-23八年级下·四川·期末）如图，在中，，．以为边向形外作等边，以为边向形外作等边，以为边向上作等边，连接．

(1)记的面积为，的面积为，则的值是______；(2)求证：四边形是平行四边形．(3)连接，若，求四边形的面积．【考点8平行四边形与中位线的综合问题】例题：（22-23八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点F在边AB上，．

(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，求的长．【变式训练】1．（22-23八年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，点E是边上任意一点，连接、，点F、G分别是和的中点，连接、．

(1)求证：(2)当点E在边上什么位置时，四边形是平行四边形？并证明．2．（22-23八年级下·安徽六安·期末）如图1，在四边形中，对角线与相交于点O，，．

(1)求证：四边形是平行四边形；(2)如图2，若E，F，G分别为，，的中点，．①四边形是哪种特殊的四边形，证明你的结论；②连接，若，，求的周长．【过关检测】过关检测一、单选题1．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）正十边形的每一个内角的度数是（

）A． B． C． D．2．（2024八年级下·山东·专题练习）如图，在四边形中，，要使得四边形是平行四边形，可添加的条件不正确的是（）A． B． C． D．3．（23-24八年级下·重庆万州·期中）如图，平行四边形的对角线与相交于点，，若，，则的长是（）

A． B． C．4 D．4．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点E，若恰为等边三角形，则的长度是（）．A．6 B． C．8 D．105．（2024·浙江·二模）四边形具有不稳定性，教材是在平行四边形概念的基础上学习矩形定义的，教材提出的情景问题是：“在这些平行四边形中，有没有一个面积最大的平行四边形”，因此通过平行四边形变形可以得到矩形．某同学将平行四边形的边与边分别绕点A、点逆时针旋转，得到矩形，若此时、、恰好共线，cm，cm，那么边扫过的面积为（

）A． B． C． D．8二、填空题6．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在四边形中，与相交于点，，添加条件，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）．7．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某公园有一块三角形空地米，沿放置一道栅栏把分成两个区域种植不同的花卉，D、E分别是的中点，则栅栏的长为米．8．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在中，平分交于点E，交的延长线于点F，若，则的长为．9．（23-24八年级下·浙江·期中）如图，在中，对角线与交于点的平分线与交于点F，点E是的中点，连接，若，则长为．10．（23-24八年级下·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，有四个点，若以为顶点的四边形是平行四边形，则坐标是．三、解答题11．（2024八年级下·天津·专题练习）如图，在平行四边形中，平分，已知，，，(1)求的长；(2)若，求的度数．12．（2024八年级下·天津·专题练习）如图，在中，于点，于点，若的周长为，，(1)求和之间的距离及和之间的距离．(2)求平行四边形的面积．13．（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点．(1)求的长；(2)求的面积．14．（21-22八年级下·广东湛江·期中）如图所示，四边形是平行四边形，的角平分线交于点F，交的延长线于点E．(1)求证：；(2)若恰好平分，连接，求证：四边形是平行四边形；(3)若，，，求平行四边形的面积．15．（23-24八年级下·山东滨州·期中）（1）如图①，在四边形中，、、、分别是、、、的中点．求证：四边形是平行四边形．（2）如图②，在四边形中，、、、分别为、、、的中点，求证：与互相平分．16．（23-24八年级下·河南南阳·期中）中，，垂足为E，连接，将绕点E逆时针旋转，得到，连接．(1)若，①如图①，当点E在线段上时，易证，结合图形，请直接写出线段，，的数量关系是；（不需说明理由）②如图②，当点E在线段的延长线上时，请写出线段，，的数量关系，并证明；(2)如图③，若，当点E在线段延长线上时，猜想并直接写出线段，，的数量关系是．（不需说明理由）(3)在（1）、（2）的情况下，若，，则_______