培优导学计划数学必修3第一章算法初步1.1

§1.1算法的含义学习目标1.了解算法的特征.2.初步建立算法的概念.3.会用自然语言表述简单的算法．知识点一算法的概念思考某笑话有这样一个问题：把大象装进冰箱总共分几步？答案是分三步．第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上．这是一个算法吗？答案是．梳理(1)算法的概念对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法．(2)算法的性质①找到了某种算法，是指使用一系列运算规则能在有限步骤内求解某类问题，其中的每条规则必须是明确定义的、可行的．②算法从初始步骤开始，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，从而组成一个步骤序列，序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解答．知识点二算法的特征与设计1．算法的特征(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限的操作之后停止，不能是无限的．(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当模棱两可．(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题．(4)不唯一性：求解某一问题的解法不一定是唯一的，对于同一个问题可以有不同的算法．(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决．2．算法的设计要求(1)写出的算法，必须能解决一类问题，并且能够重复使用．(2)要使算法尽量简单、通俗易懂．(3)要保证算法正确，且计算机能够执行．1．算法是解决一个问题的方法．(×)2．一个算法可以产生不确定的结果．(×)3．算法的步骤必须是明确的、有限的．(√)类型一算法概念的理解例1下列关于算法的说法，正确的个数为________．①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生确定的结果．答案3解析由于算法具有有限性、确定性等特点，因而②③④正确，而解决某类问题的算法不一定唯一，从而①错．反思与感悟算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常用来解决某一个或某一类问题，在用算法解决问题时，体现了特殊与一般的数学思想．跟踪训练1下列对算法的理解不正确的是________．(填序号)①算法有一个共同特点就是对一类问题都有效(而不是个别问题)；②算法要求是一步步执行，每一步都能得到唯一的结果；③算法一般是机械的，有时要进行大量重复计算，它的优点是一种通法；④任何问题都可以用算法来解决．答案④解析①②③都是正确的，只有④是错误的．只有按照一定规则解决的有明确的、有限的操作步骤的问题才可以设计算法，其他的问题一般是不可以的．类型二算法的阅读理解例2下面算法要解决的问题是__________________________________．第一步输入三个数，并分别用a，b，c表示；第二步比较a与b的大小，如果a<b，则交换a与b的值；第三步比较a与c的大小，如果a<c，则交换a与c的值；第四步比较b与c的大小，如果b<c，则交换b与c的值；第五步输出a，b，c.答案输入三个数a，b，c，并按从大到小的顺序输出解析第一步是给a，b，c赋值．第二步运行后a>b.第三步运行后a>c.第四步运行后b>c，所以a>b>c.第五步运行后，显示a，b，c的值，且从大到小排列．反思与感悟一个算法的作用往往并不明显，这需要我们结合具体数值去执行一下才知道．跟踪训练2下面给出了一个问题的算法：第一步输入a；第二步若a≥4，则执行第三步，否则执行第四步；第三步输出2a－1；第四步输出a2－2a＋3.这个算法解决的问题是____________________________________________．答案求函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≥4，,x2－2x＋3，x<4))当x＝a时的函数值f(a)类型三算法的设计例3已知在平面直角坐标系中点A(4,0)和Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))，写出求直线AB的方程的一个算法．解算法设计如下：第一步求出直线AB的斜率k＝eq\f(\f(3,2)－0,2－4)＝－eq\f(3,4)；第二步选定A(4,0)，用点斜式写出AB的方程y－0＝－eq\f(3,4)(x－4)；第三步将第二步的运算结果化简，得到方程3x＋4y－12＝0.引申探究若把本例中的Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))改为B(2,2)，其他条件不变，写出满足条件的一个算法．解算法步骤如下：第一步求出直线AB的斜率k＝eq\f(2－0,2－4)＝－1；第二步选定A(4,0)，用点斜式写出AB的方程y－0＝－(x－4)；第三步将第二步的运算结果化简，得到方程x＋y－4＝0.反思与感悟设计算法的四个关键点：(1)认真分析问题，确定解决此类问题的一般数学方法．(2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况．(3)将解决问题的过程划分为若干个步骤．(4)用简练的语言将各个步骤表示出来．跟踪训练3有一个底面半径为3，母线为5的圆锥，写出求该圆锥体积的算法．解如图，先给r，l赋值，计算h，再根据圆锥体积公式V＝eq\f(1,3)πr2h计算V，然后输出结果．第一步令r＝3，l＝5；第二步计算h＝eq\r(l2－r2)；第三步计算V＝eq\f(1,3)πr2h；第四步输出运算结果．1．下列不是算法的是________．(填序号)①解方程2x－6＝0的过程是移项和系数化为1；②从济南到温哥华要先乘火车到北京，再转乘飞机；③解方程2x2＋x－1＝0；④利用公式S＝πr2计算半径为3的圆的面积．答案③解析③不是算法，没有给出解这个方程的步骤．2．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99.求他的总分和平均成绩的一个算法为：第一步取A＝89，B＝96，C＝99；第二步____________________；第三步____________________；第四步输出计算的结果．答案计算x＝A＋B＋C计算y＝eq\f(x,3)解析求三个数的平均数必须是先计算三个数的总和，再被3除．3．关于一元二次方程x2－5x＋6＝0的求根问题，下列说法正确的是________．(填序号)①只能设计一种算法；②可以设计至少两种算法；③不能设计算法；④不能根据解题过程设计算法．答案②解析算法具有不唯一性，对于一个问题，我们可以设计不同的算法．4．已知算法：第一步，输入n.第二步，判断n是不是2，若n＝2，则n满足条件；若n>2，则执行第三步．第三步，依次检验从2到n－1的整数能不能整除n，若不能整除n，满足条件．该算法的功能是____________________．答案判断所给的数是否为质数解析因为2是质数，且大于2的任何数，只要它不能被2,3，…，n－1，整除，则n一定为质数．故上述步骤是判断n是否为质数的算法．1．算法的特点：有限性、确定性、逻辑性、不唯一性、普遍性．2．算法设计的要求：(1)写出的算法必须能够解决一类问题(如判断一个整数是否为质数，求任意一个方程的近似解等)，并且能够重复使用．(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少．(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，每步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得到结果．一、填空题1．看下面的四段话，其中不是解决问题的算法是________．(填序号)①从济南到云南旅游，先坐火车，再坐飞机抵达；②解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1；③方程x2－1＝0有两个实根；④求1＋2＋3＋4＋5的值，先计算1＋2＝3，再计算3＋3＝6,6＋4＝10,10＋5＝15，最终结果为15.答案③解析由于③不是解决某一类问题的步骤，故③不是解决问题的算法．2．已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：①计算c＝eq\r(a2＋b2)；②输入直角三角形两直角边长a，b的值；③输出斜边长c的值．其中正确的顺序是________．(填序号)答案②①③解析算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步骤是赋值、计算．3．下面是求15和18的最小公倍数的算法，其中不恰当的一步是________．第一步先将15分解素因数：15＝3×5.第二步然后将18分解素因数：18＝32×2.第三步确定它们的所有素因数：2,3,5.第四步计算出它们的最小公倍数：2×3×5＝30.答案第四步解析素因数2,3,5的最高指数是1,2,1，算出它们的最小公倍数为2×32×5＝90.4．计算下列各式中S的值，能设计算法求解的是________．(填序号)①S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋…＋eq\f(1,2100)；②S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋…＋eq\f(1,2100)＋…；③S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋…＋eq\f(1,2n)(n≥1且n∈N*)．答案①③解析因为算法的步骤是有限的，②不能设计算法求解．5．结合下面的算法：第一步输入x；第二步判断x是否小于0，若是，则输出x＋2，否则执行第三步；第三步输出x－1.当输入的x的值为－1,0,1时，输出的结果分别为____________．答案1，－1,0解析依据算法可知，当x＝－1时，满足x＜0，则输出x＋2＝－1＋2＝1；当x＝0时，不满足x＜0，则输出x－1＝0－1＝－1；当x＝1时，不满足x＜0，则输出x－1＝1－1＝0.6．已知直角三角形两条直角边长分别为a，b(a>b)．写出求两直角边所对的最大角θ的余弦值的算法如下：第一步输入两直角边长a，b的值；第二步计算c＝eq\r(a2＋b2)的值；第三步________________；第四步输出cosθ.将算法补充完整，横线处应填____________．答案计算cosθ＝eq\f(b,c)7．下面是一个求梯形面积S的算法，则第二步应是________________．算法如下：第一步输入梯形的底边长a和b，以及高h；第二步________________；第三步输出结果S.答案计算S＝eq\f(a＋b×h,2)的值解析直接利用梯形面积公式计算．8．已知数字序列：2,5,7,8,15,32,18,12,52,8.写出从该序列搜索18的一个算法．第一步输入实数a；第二步______________________________________________；第三步输出a＝18.答案若a＝18，则执行第三步，否则返回第一步解析从序列数字中搜索18，必须依次输入各数字才可以找到．9．下面给出了解决问题的算法：第一步输入x；第二步若x≤1，则y＝2x－1，否则y＝x2＋3；第三步输出y.(1)这个算法解决的问题是______________________________________________；(2)当输入的x值为________时，输入值与输出值相等．答案(1)求分段函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,x2＋3，x>1))的函数值(2)110．下列所给问题中：①二分法解方程x2－3＝0；②解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋5＝0，,x－y＋3＝0；))③求半径为3的圆的面积；④判断y＝x2在R上的单调性．其中可以设计算法求解的是________．(填上你认为正确的两个序号)答案①②(或①③或②③)解析本题属于开放题，由题意可知填上正确的两个即可，根据算法的五个特征知，只有④不能设计算法求解，故填①②③中的任意两个即可．11．一个算法步骤如下：第一步S取0，i取1；第二步若i≤9，则执行第三步；否则，执行第六步；第三步计算S＋i并用结果代替S；第四步用i＋2的值代替i；第五步转去执行第二步；第六步输出S.运行以上算法，则输出的结果S为________．答案25解析解本题的关键是读懂算法，本题中的算法功能是求S＝1＋3＋5＋7＋9＝25.二、解答题12．已知函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x>0，,0，x＝0，,x＋1，x<0，))写出给定自变量x，求函数值的算法．解算法如下：第一步输入x；第二步若x>0，则令y＝－x＋1后执行第五步，否则执行第三步；第三步若x＝0，则令y＝0后执行第五步，否则执行第四步；第四步令y＝x＋1；第五步输出y的值．13．某商场举办优惠促销活动．若购物金额在800元以上(不含800元)，打7折；若购物金额在400元以上(不含