相关与回归分

实践中的统计消费者应该留下多少小费？在西方国家餐饮等服务行业有一条不成文的规定，即发生餐饮等服务项目消费时，必须给服务员一定数额的小费，许多人都听说小费应该是账单的16%左右，是否真的如此呢？让我们来考察表10-1，表中的数据是经过调查所得的样本数据，通过对这几组数据的分析与观察，我们能发现两者之间的数量关系。江西财经大学统计学院统计学问题是：1、是否有足够的证据断定：在账单与小费数额之间存在某种联系？2、如果存在某种联系，怎样使用这种联系来确定应该留下多少小费？本章的重点就是基于成对出现的样本数据做出一些推论。如上例，我们想要确定账单与小费数额之间是否存在某种联系，如果存在，我们就想用一个公式描述它，这样就能找出人们留小费时遵循的规则。类似这样的问题还有很多，如：（1）犯罪率与偷窃率；（2）香烟消费与患癌症率；（3）个人收入水平与受教育年限；（4）血压与年龄；（5）父母身高与子女身高；（6）薪金与酒价；（7）人的手掌生命线的长度与人的寿命长短。江西财经大学统计学院统计学实践中的统计江西财经大学统计学院统计学6.1相关分析与回归分析概述6.1.1相关分析与回归分析的内涵

（一）变量间的相互关系

函数关系定义：完全确定的（数量）关系。（1）某一（组）变量与另一变量间存在着一一对应的关系；[例]计件工资（y）与产量（x）

y=f(x)=10x；

x0=1件，y0=10元；x1=2件，y1=20元园的面积S＝ΠR2，R=10，S=100Π（2）y被解释变量（因变量）；x解释变量（自变量）。

相关关系

1、定义：不完全确定的依存关系。（1）某一（组）变量与另一变量间有关系但并非一一对应；6.1相关分析与回归分析概述江西财经大学统计学院统计学[例]身高y与体重x；

A：x=60kg、y=170m；B：x=60kg、y=1.72m；

C：x=60kg、y=1.68m；D：x=60kg、y=1.65m。（2）表述：y=f(x)+

。影响身高的因素：体重、遗传、锻炼、睡眠质量……2、成因（1）某些影响因素尚未被认识；（2）虽已认识但无法测量；（3）测量误差。[例]某种水果2元/斤：购买额y=2x购买量

y=4元、x=2斤

y=2x+=2×1.9+0.23、数量关系的形式江西财经大学统计学院统计学6.1相关分析与回归分析概述（1）单一因果关系；（2）互为因果关系；（3）伴随关系。（二）、相关分析与回归分析相关分析：用一个指标（相关系数），表明变量间相互依存关系的方向和密切程度。回归分析：根据相关关系的形态，选择一个合适的数学模式，用来近似的表达变量间的平均变化关系。

y=a+bx、y=a+b1x1+bx2

、y=0+1x1+2x2+…+nxn[回归]英国生物学家F·Galton首次提出。父辈身高子辈身高

xyy=f（x）+：人类的平均身高。江西财经大学统计学院统计学6.1相关分析与回归分析概述联系：①研究对象相同：均为相关关系②相关分析是回归分析的基础，回归分析是相关分析的深入。区别：①研究目的不同；相关分析：相关的方向和密切程度；回归分析：相关的具体形式；②研究方法不同；相关分析：指标回归分析：数学模型③对变量的要求不同；相关分析：两个变量地位对等，都可为随机变量；回归分析：右边的为自变量，左边的为因变量，并且要求自变量为非随机变量，因变量为随机变量。两种分析方法的联系与区别：江西财经大学统计学院统计学6.1相关分析与回归分析概述（一）相关关系的种类1、按影响因素的多少分（1）单（简）相关：只有一个自变量；[例]学习成绩与学习时间；血压与年龄；亩产量与施肥量。（2）复（多元）相关：两个或两个以上的自变量；[例]经济增长与人口增长、科技水平、自然资源、管理水平等之间的关系；体重与身高、食欲、睡眠时间之间的关系。（3）偏相关：就多个变量测定其中两个变量的相关程度而假定其他变量不变。[例]就y=ax1+bx2+，研究y与x1之间的关系，假定x2不变。6.1.1相关关系的种类及回归方程的类型江西财经大学统计学院统计学6.1相关分析与回归分析概述2、按相关的程度分（1）完全相关：函数关系；（2）不相关：没有关系；（3）不完全相关。3、按相关的方向分（1）正相关：变量的变动方向一致（同增同减）；（2）负相关：变量的变动方向相反（一增一减）。江西财经大学统计学院统计学6.1相关分析与回归分析概述4、按相关的形式分（1）线性相关；（2）非线性相关。相关程度密切相关程度不密切江西财经大学统计学院统计学6.1相关分析与回归分析概述（二）回归方程的种类1、按自变量的多少分一元回归方程：自变量只有一个。

[例]y=a+bx一元回归方程多元回归方程：自变量为2个或2个以上。

[例]y=0+1x1+2x2+…+nxn2、按回归方程式的特征分线性回归：因变量为自变量的线性函数。

[例]y=a+bx一元线性回归方程※

非线性回归：因变量为自变量的非线性函数。

[例]江西财经大学统计学院统计学6.1相关分析与回归分析概述江西财经大学统计学院统计学6.1相关分析与回归分析概述6.2两变量的相关分析江西财经大学统计学院统计学[目的]测定变量间的相关方向与密切程度。6.2.1相关图表（一）相关表、散点图1、简单相关表：按自变量取之大小排序形成的未分组数据表例：江西财经大学统计学院统计学6.2两变量的相关分析序号广号费用（万元）销售数量(百万箱)序号广告费用(万元)销售数量(百万箱)12345678910111213141588810101010101212121212121268108101012128810101012121617181920212223242526272829301212141414141414141416161616161214101012121214141614141616统计学6.2两变量的相关分析江西财经大学统计学院统计学6.2两变量的相关分析2、分组相关表：自变量分组且计算次数，因变量只计算平均数。江西财经大学统计学院统计学6.2两变量的相关分析江西财经大学统计学院统计学6.2两变量的相关分析6.2.2（线性）相关系数※（一）积差法计算公式江西财经大学统计学院统计学6.2两变量的相关分析（二）协方差xy的作用显示x与y之间的相关方向。统计学6.2两变量的相关分析[负相关]统计学6.2两变量的相关分析（三）积差法相关系数的简捷计算公式江西财经大学统计学院统计学6.2两变量的相关分析[r的简捷计算式]江西财经大学统计学院统计学6.2两变量的相关分析（四）线性相关的判断准则[例]为了解餐饮业消费数额与小费之间的数额关系，特从若干名消费者中随机抽取10消费者调查，所得数额如下：统计学6.2两变量的相关分析计算过程江西财经大学统计学院统计学6.2两变量的相关分析[解]即账单消费额与小费之间存在着高度的正相关关系。江西财经大学统计学院统计学6.2两变量的相关分析问：若令账单消费额为y，小费为x，则r的取值是否改变?江西财经大学统计学院统计学6.2两变量的相关分析（五）样本相关系数的特性1、两变量均为随机变量。2、两变量的地位是平等的rxy=ryx。3、其接近于1的程度与样本容量n有关。

n小，r1。特例：当n=2时，r=1。

[例]样本（x,y）为（6,12.6）,（1,3.0）,n=2。江西财经大学统计学院统计学6.2两变量的相关分析（六）线性相关的假设检验（两种方法）1、提出原假设与备择假设2、给定显著性水平α3、选择检验方法，构建检验统计量4、将检验统计量与临界值比较，如检验统计量的绝对值大于临界值，则拒绝原假设，否则，就不拒绝原假设。

T检验法

r检验法：用已经算好的r作为检验统计量，其临界值可以在附表中找到。

江西财经大学统计学院统计学6.2两变量的相关分析

如袭前例：账单与小费之间的r=0.90,若用T统计量：

江西财经大学统计学院统计学6.2两变量的相关分析6.3回归分析江西财经大学统计学院统计学6.3.1回归分析计算线性相关系数r确定两变量之间的相关方向与密切程度。[不足]无法表明两变量之间的因果关系无法从一个变量（x）的变化来推测另一个变量（y）的变化情况。

10名用餐顾客消费费与所付小费数据如下：6.3

回归分析江西财经大学统计学院统计学6.3.2一元线性回归方程的拟合（一）总体回归方程江西财经大学统计学院统计学6.3

回归分析[图示]统计学6.3

回归分析[假定]所有Y分布的均值都正好在一条直线上。统计学6.3

回归分析[拟合思想]抽样N

n,统计学6.3

回归分析（二）样本回归方程的拟合从总体中随机取样，获取一组样本观察值。江西财经大学统计学院统计学6.3

回归分析[图示]统计学6.3

回归分析步骤：1、利用样本数据拟合样本回归直线，尽量减少误差；2、检验样本回归直线对总体回归直线的代表程度。统计学6.3

回归分析（三）样本回归方程的拟合方法最小二乘法（OLS法）※基本思路：使残差平方和最小的直线“最优直线”。江西财经大学统计学院统计学6.3

回归分析

总可以设法找到一对a、b的取值，使Q为最小值。江西财经大学统计学院统计学6.3

回归分析将a代入（2）式得江西财经大学统计学院统计学6.3

回归分析[简捷计算式]江西财经大学统计学院统计学6.3

回归分析[例]为研究用餐消费与小费支出的关系，随机抽取了10位用餐顾客，得样本数据如下：请拟合样本回归方程样本的相关系数r=0.90江西财经大学统计学院统计学6.3

回归分析[例]为研究用餐消费与小费支出的关系，随机抽取了10位用餐顾客，得样本数据如下（用EXCEL软件生成的散点图）请拟合样本回归方程江西财经大学统计学院统计学6.3

回归分析[图示]江西财经大学统计学院统计学6.3

回归分析三、回归方程的方差分析（一）总离差平方和的分解江西财经大学统计学院统计学6.3

回归分析由：统计学6.3

回归分析[离差分析]江西财经大学统计学院统计学6.3

回归分析（二）判定系数统计学6.3

回归分析[判定系数的作用]江西财经大学统计学院统计学6.3

回归分析判定系数r2与相关系数r的关系江西财经大学统计学院统计学6.3

回归分析（三）方差法相关系数统计学6.3

回归分析[例]已知下列资料，试计算判定系数与估计