2023届高考数学一轮复习考点训练-等差数列及其性质

2023考点考跋复打——等差檄列及其根质

考法一、等差数列的基本运算

⑴等差数列的通项公式：《,=%+(〃—D”

⑵等差数列的前〃和的求和公式：

〃(q+a“)

=---!----=na.+------a

n212

例1、在等差数列｛4｝中,若4+%=30,4=11，则｛%｝的公差为()

A.-2B.2C.-3D.3

例2、已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，$8=100,%=44，则/=().

A.10B.11C.12D.13

例3、记S〃为等差数列｛4｝的前〃项和.己知$5=5,%=5,则()

13

A.a..=2n-5B.a=nC.S=2n2-9nD.S=—n2——n

〃n〃l“tn〃22

练习1、等差数列1、2a、4/、…的第五项等于()

A.—B.1C.5D.16

2

练习2、设｛4｝是等差数列，且6=3,/+%=36,则｛4｝的通项公式为

练习3、在等差数列｛a｝中，a+&+々=21,&<93=70,若a=61,则〃=()

A.18B.19C.20D.21

练习4、已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若不£=2,则2=()

»“一ail

651110

A.B.C.D.

56ToTT

练习5、设s,是某个等差数列的前〃项和，若S2019=S2020=2()2(),则$2021=()

2211

A.2020-B.2020+C.2020-D.2020+

2019201910101010

练习6、已知s,是数列｛4｝的前〃项和，则“S,,=〃2—是“数列｛凡｝是公差为2的等

差数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

练习7、己知数列｛4｝中各项为非负数，%=1,%=16,若数列｛〃7｝为等差数列，则《3=

()

A.169B.144C.12D.13

练习8、已知公差不为0的等差数列｛4｝中，%+。4=线，为=4,则4o=.

练习9、已知等差数列｛4｝的前〃项和为S,,,若品=51，42=()，则｛%｝的通项公式为

练习10、已知等差数列｛%｝满足4+%=8,%+%=14,则它的前8项的和Sg=()

A.70B.82C.92D.105

练习11、已知等差数列｛a,,｝的前〃项和为S",若邑=12,4=10,则｛%｝的公差为()

A.4B.3C.2D.1

练习12、等差数列｛4｝中，前〃项和为S“，且E=1,S3=9,则$5=()

A.17B.25C.5D.81

考法二、等差数列的性质

⑴在等差数列｛4｝中，对任意加，nwN*,an=am+(n-tn)d,(=""二'

n-m

⑵在等差数列｛《,｝中，若根,n,p,qeN+且m+n=p+q,则a,“+a”=%,+%,特

殊地，2?n=p+q时，则2aM=%,+%,%,是外、%的等差中项.

⑶等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即SM，S2H-S“，S3"-S2"成等差

数列.

⑷设数列伍“｝是等差数列，且公差为d,(I)若项数为偶数，设共有2〃项，则①

a

S奇-5偶=〃，/；②⑸若项数为奇数，设共有2〃一1项，则①S偶一S奇=〃〃=%

3偶4+1

（中间项）;

Clm_.2m一1

（6）若仅"｝与山』为等差数列,且前〃项和分别为S，，与SJ,则粼S%T

例1、在等差数列｛4｝中，若。3+。4+%+。6+%=750,则出+。8=（）

A.360B.300C.240D.200

例2、已知数列EJ为等差数列，S〃为其前刀项和，%+2=g+。5,则§5二（）

A.2B.14C.50D.10

例3、在等差数列｛4｝中,%=24+6,则〃2+4+%=（）

A.-18B.-6C.8D.12

例4、已知数列｛〃“｝是等差数列，若4+/+%=1，4+。5+4=3,则%+出+%=（）

A.5B.4C.9D.7

例5、设等差数列｛q｝的前几项和为%其中S2=3,S4=15,则§6=（）

A.9B.18C.27D.36

例6、已知数列｛〃〃｝、抄〃｝都是等差数列，设｛4｝的前〃项和为S〃，低｝的前〃项和为7；.

2/1+1哈（

)

右亡3〃+2

练习1、已知数列｛4｝为等差数列，且为=1，则%+/+。3+%+。5=)

A.3B.4C.5D.6

练习2、S”是等差数列｛凡｝的前〃项和，4+4+。3=3,%+4=1（），则Sg=)

A.9B.16C.20D.27

练习3、已知公差不为。的等差数列｛〃/满足q+d=d+d，则（）

A.。6=°B.%=0C.512=0D.S13=0

(、(1\S口2〃一1

练习4、已知等差数列｛a,,｝的前n项和为S“，等差数列也｝的前几项和为7；.若寸=--,

a5

则

b5

191737

A.B.c.D.

TTTo25

练习5、已知数列｛4｝,也｝为等差数列，其前〃项和分别为S“，T“j=也±楙，则上=

练习6、等差数列｛风｝的前m(mcM)项和为30,前2m项和为100,则前3m项和为()

A.130B.170C.210D.260

练习7、等差数列仅“)的前〃项和为S”且SK)=20,520=15,则S3o=()

A.10B.-30C.-15D.25

S7〃a

练习8、两等差数列｛q｝和｛2｝的前〃项和分别是S〃、北，已知寸n=-则广s=

T

n〃+3b5

练习9、设等差数列｛%｝的前"项和为S“，若4+%=%+%，则力=()

A.28B.34C.40I).44

练习10、已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若邑=9,$6=63,则%+%+%等于()

A.63B.71C.99D.117

练习11、已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若S”=22,则4+%+%=()

A.18B.12C.9D.6

练习12、已知等差数列｛a,,｝,｛〃｝的前"项和分别为S,,,/，若对于任意的自然数〃，都有

S“_4〃-8则幺上组+3L_=(

)

1=瓦+如b5+b7

80

A.3B.6D.1?

练习13、己知等差数列｛4｝,也｝的前“项和分别为S,和7；,且^=2=

“一1唬

()

练习14、设等差数列｛《,｝的前"项和为S“，若&o=2O,§20=30,则$3。=()

A.20B.30C.40D.50

练习15、已知等差数列｛%｝的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319,所有偶数项之和

为290,则该数列的中间项为()

A.28B.29C.30D.31

练习16、等差数列｛aj的前〃项和为£,若a2+a：+a”=⑵则凡=.

练习17、已知等差数列｛q｝的前〃项和为S“，若/+%+4+%=20,则$9=

练习18、已知数列｛q｝和也｝均为等差数列，前0项和分别为S“，Tn,且满足：V“eN*，

S"=1+3/+延+…%二

^~2n+r川4+&+九+九一——•

练习19、两个等差数列的｝和也｝的前“项和分别为S,、T„,且率=2署，则注今M

于()

考法三、等差数列的最值问题

（1）.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值.当q>0,J<0

时，S“有最大值；q<0,d>0时，S“有最小值;若已知氏，则最值时"的值（〃eN+）

则当％>0,d<0,满足〈八的项数〃使得S“取最大值，（2）当q<0,d>0时，

&+140

a<0

满足八的项数〃使得S.取最小值.

1%2o

⑵利用等差数列的前〃项和：S.=4?2+B?（A,B为常数，〃eN*）为二次函数，通过配

方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调

性（d>0,递增；d<0,递减）；

（3）.利用数列中最大项和最小项的求法:求最大项的方法：设勺为最大项，则有〈；

a

ln之«,.+1

fa<a.

求最小项的方法：设。“为最小项，则有ntl.只需将等差数列的前"项和〃=1,2,3,…

1%<«,1+i

依次看成数列｛S,,｝,利用数列中最大项和最小项的求法即可.

例1、等差数列｛%｝的前"项和为S„,S7=49,%=3%，则S“取最大值时的〃为（）

A.7B.8C.14D.15

例2、在等差数列｛%｝中，若&<-1,且它的前麒项和S“有最小值，则当S“>0时，〃的

as

最小值为

A.14B.15C.16D.17

例3、等差数列｛《,｝中，%=16,%=8,5.是数列｛%｝的前"项和，则5.最大时，〃=（）

A.10B.11C.10或11D.11或12

练习1、若公差为负的等差数列仅“｝中的两项%，为是方程--10犬+9=0的两个根，设

数列｛%｝的前〃项和为S,,,则当5„最大时，n的值为（)

A.5B.9或10C.10D.9

练习2、已知等差数列｛%｝的前“项和为S,,且S?>S8，S8=S9<S10,则下面结论错误

的是（）

A.=0B.S[5>S]4

C.d<QD.Sg与S9均为S”的最小值

练习3、等差数列｛叫的前〃项和为S“，若V〃eN*，S“〈S7,则数列｛4｝的通项公式

可能是（）

A.an=3/1-15B.an=17-3HC.an=n-7D.an=15-2H

练习4、等差数列｛%｝的前"项和记为s.，若q>0,S1（）=S20,则不成立是（）

A.d<0B.at6<0

C.Sn„S„D.当且仅当S”<0时〃..32

练习5、已知等差数列｛a,,｝的前〃项和为S“，且满足区“，55>40,则该数列的公差d

可取的值是（）

A.3B.1C.-1D.-3

练习6、等差数列｛4｝的前〃项和为S”，若V〃eN*,S“<S7,则数列｛4｝的通项公式可

能是（）

A.an=16-3nB.an=15-2n

C.an=2n-14D.an=2H-15

S

练习7、等差数列｛q｝中，。3=16,%=8,"是数列｛q｝的前〃项和，则数列J方的前〃

项和最大时，〃=（）

A.20B.21C.20或21D.21或22

练习8、设等差数列｛4“｝的前〃项和为S,，若弓=-11,4+%=-6,则下列结论正确

的是（）

A.当且仅当〃=6时S“取最小值B.当且仅当〃=6时S“取最大值

C.当且仅当〃=7时S“取最小值D.当且仅当〃=7时S”取最大值

练习9、已知数列｛。〃｝的通项公式为勺=〃一3,〃£N*，为其前〃项和，则当。£<0

时，正整数”的最大值为（）

A.3B.4C.5D.6

练习10、若数列｛a｝满足：51=19,4+1=a-3,则数列｛a｝的前〃项和数值最大时，〃的

值为

A.6B.7

C.8D.9

设s“为等差数列｛对｝的前〃项和，+若"<一1,则

练习“、

ai

)

A.S,,的最大值是S8B.S”的最小值是Sg

C.S”的最大值是S7D.S,的最小值是S,

练习12、已知数列｛%｝是首项为明公差为1的等差数列，数列｛%｝满足勿一^^若对

an

任意的〃wN*，都有2之区成立，则实数。的取值范围是（）

A.[—6,—5]B.（—6,—5）C.[—5,—4]D.（—5,-4）

练习13、已知等差数列｛4｝的前"项和记为S,,%+2%+生=§4+4,则“多<1”是“｛5„｝

为单调数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

练习14、已知S“是等差数列加“｝的前"项和，且S6>S7〉Ss,给出下列五个命题：

①d<0;②，>0；③，2<0;④数列⑸｝中的最大项为立；⑤同<|%|.

其中正确命题的是.

练习15、设q,d为实数，首项为外,公差为△的等差数列｛%｝的前"项和为s“，满足：

/<（）,且55。+16=0,则S”的最小值为.

练习16、已知S“为等差数列｛a“｝的前"项和，且S2=35,4+4+4=39,则当S“取

最大值时，〃的值为一.

考法四、等差数列的证明与判断

例1、已知数列｛%｝满足&=2,a“+i=U-，证明：数列j/I1是等差数列；

%+%=2

例2、已知数列｛4｝,q=l,4=3,且满足+1_一（〃22且〃GN*），证明新数

a"+2

列K，-«„｝是等差数列，并求出。“的通项公式.

G]I

例3、已知数列｛2｝首项4=3,且满足=芒^d+2”—令％=三七

（1）求证：数列｛c“｝为等差数列；

（2）求数列｛2｝中的最小项.

练习1、已知在数列｛%｝中,4=g，4用+4=2〃，求证：｛4｝为等差数列;

练习2、在正项数列｛4｝中，q=l,2新二I+向二一向=0,neN\求证：数列

练习3、已知数列｛怎｝满足q=2,a„an+l-2«;,+l=0,〃eN*，证明：,丁「不是等差

数歹!J;

练习4、已知数列｛a,J满足q=],〃(〃+1)%,

,an_}+=0,n>2,neN,

]

求证:数列〈＞为等差数列;

(〃+1)可

练习5、已知数列｛%｝满足4用=，，(〃eN"),且q=4,证明：数列,三5,是等

差数列；

练习6、已知数列｛a“｝中，q=3,且满足a“+]=q+2〃+2也=a“一〃,证明：

数列｛2｝是等差数列，并求｛2｝的通项公式；

练习7、记S“为数列｛4｝的前〃项和，己知4＞(),4=3囚，且数列｛疯｝是等差数列，

证明：｛4｝是等差数列.

■'

练习8、在数列｛%｝中，4=2,。”是1与凡。用的等差中项，求证：数列＜一^＞是等

差数列，并求｛4｝的通项公式;

练习9、已知正项数列｛a,J满足4=1,々=2,且对任意的正整数n,1+是和＜2的

等差中项，证明：是等差数列，并求｛%｝的通项公式；

%+1,”为奇数,

练习10、已知数列｛%｝满足％=1

q+2,〃为偶数

⑴记勿=々”，写出4，伉，并求数列也｝的通项公式;

（2）求｛%｝的前20项和.

考法五、实际生活中的等差数列

例1、在古印度的数学著作《丽拉沃蒂》中，有这样一个问题：某人给一个人布施，初日施

3德拉玛（古印度货币单位），其后日增2德拉玛，共布施360德拉玛，请快告诉我，他布施

了几日？这个问题的答案是（）

A.9B.18C.20D.24

例2、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下题：“今有五人分五钱，令上二人所

得与下三人等.问各得几何？"其意思为'‘已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两

人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问

五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）在这个问题中，戊所得为（）

A.一1钱1B.土钱2C.一钱D.一3钱

4235

练习1、《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、

春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之

和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问小满日影长为（）（1丈

=10尺=100寸）

A.四尺五寸B.三尺五寸C.二尺五寸D.一尺五寸

练习2、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，据书中记载，中国古代诸侯的等级从低

到高分为五级：男、子、伯、侯、公.现有每个级别的诸侯各一人，共5人，要把80个橘子分完

且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分加个（加为正整数），若按这种方法分橘子,“子”

恰好分得13个橘子的概率是（）

1111

A.-B.-C.-D.一

8765

练习3、《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最

大公约数与最小公倍数的计算、各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等.书中记

载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”

那么此女子每日织布增长（）

416168

A.，尺DB-5尺DC-五尺aD-百尺D

练习4、我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，

令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：

现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲、乙、丙、丁、戊五个人，现在只知道戊所得钱

比甲少33贯600文（1贯=1000文），问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（）

A.30.8贯B.39.2贯C.47.6贯D.64.4贯

练习5、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“九百九十六斤棉，赠分八子

作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”其意