高中数学课时作业(六十一)　二项分布、正态分布及其应用

课时作业（六十一）二项分布、正态分布及其应用

IA级•基础达标|............................

1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为

尸（尸三葛），则n的最小值为（）

A.4B.5

C.6D.7

A［由题意得尸=1一（§”,则（§”W七,所以〃24,故〃的最小值为4.］

2.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个

目标，则他们同时中靶的概率是（）

14「12

A-25B-25

-3n3

c-4D-5

4

A［因为甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，所以P（甲）=5,P（乙）

=木7,所以他们都中靶的概率是4与X卡7=奈14.故选A.］

3.（多选）（2020・山东模拟）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，

3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以4,4和4表示由甲罐

取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的

球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）

A.P（B）=|

B.P（B|4）=4

C.事件8与事件4相互独立

D.4,A2,4是两两互斥的事件

BD［易知4,A2,A3是两两互斥的事件，P（B）=P（BA।）+P（BA2）+P（B-A3）X曾

24349

+wXTT+10XTT=22•故选BD」

4.（多选）（2020・济南二模）已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态

分布M100，100），其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是（）

附：随机变量4服从正态分布N（〃，/），贝ijP（^—（7<^<M+CT）=0.6826,P（/z—2CT<^

V〃+2。）=0.9544,P（n-3<7<<f<^+3a）=0.9974

A.该市学生数学成绩的期望为100

B.该市学生数学成绩的标准差为100

C.该市学生数学成绩及格率超过0.8

D.该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等

AC[由题意，正态分布曲线的对称轴为x=100,。=10.

...该市学生数学成绩的期望为100,故A正确；

该市学生数学成绩的标准差为10,故B错误；

P(90<x<110)=0.6826,P(80<x<120)=0.9544,

.,.P(x>90)=0.5+JX0.6826=0.8413,故C正确；

P(x<90)=P(x>110)=|[l-P(90<x<U0)J=0.1587,

尸(x<120)=0.5+；X0.9544=0.9772,则P(x2120)=1—0.9772=0.0228.

该市学生数学成绩不及格的人数远大于优秀的人数，故D错误.故选AC.]

5.己知随机变量《服从正态分布M。，吟,若P(c>2)=0.023,则P(-2Wj<2)=

解析：因为随机变量^服从标准正态分布M0，。2),所以正态曲线关于直线x=o对

称.

又尸("2)=0.023,

所以尸(。<-2)=0。23.

所以尸(一2W《W2)=1-2X0.023=0.954.

答案：0.954

6.某群体中每个成员使用移动支付的概率都为p,各个成员支付方式相互独立，设X

为该群体的10名成员中使用移动支付的人数，O(X)=2.4,尸(X=4)<P(X=6),则p=

,E(X)=.

解析：由已知可得X〜8(10,p),

则D(X)=10/?(1一p)=2.4,即25P2-25p+6=0,

解得p=|或向，

又P(X=4)<P(X=6),即Cfop4(i-p)6〈c；op6(l—p)4,

13

解得，所以,

则£(X)=10p=10x|=6.

3

答案：5;6

7.为了促进学生的全面发展，某市教育局要求本市所有学校重视社团文化建设，2019

年该市某中学的某新生想通过考核选拔进入该校的“电影社”和“心理社”，已知该同学通

过考核选拔进入这两个社团成功与否相互独立.根据报名情况和他本人的才艺能力，两个社

团都能进入的概率为之，至少进入一个社团的概率为捻，并且进入“电影社”的概率小于

进入“心理社”的概率.

(1)求该同学分别通过选拔进入“电影社”的概率0和进入“心理社”的概率P2；

(2)学校根据这两个社团的活动安排情况，对进入“电影社”的同学增加1个校本选修

课学分，对进入“心理社”的同学增加0.5个校本选修课学分，求该同学在社团方面获得校

本选修课学分分数不低于1分的概率.

(1

P1P2=W，

解析：(1)根据题意得＜,-3所以P|=:，P2=J.

、Pl〈P2

(2)设该同学在社团方面获得校本选修课学分分数为4，

则尸(。=1)=(1一］)x1;

P(1.5)=：x|总.

所以该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率为p=*+2=；•

oO

8.一次研究性学习有“整理数据”“撰写报告”两项任务，两项任务无先后顺序，每

项任务的完成相互独立，互不影响.某班有甲、乙两个小组参加这次研究性学习.根据以往

资料统计，甲小组完成研究性学习两项任务的概率都为:，乙小组完成研究性学习两项任务

的概率都为q.若在一次研究性学习中，两个小组完成任务项数相等，而且两个小组完成的任

务都不少于一项，则称该班为“和谐研究班”.

(1)若，求在一次研究性学习中，已知甲小组完成两项任务的条件下，该班荣获“和

谐研究班”的概率；

(2)设在完成4次研究性学习中该班获得“和谐研究班”的次数为。若。的数学期望

求q的取值范围.

解析：(1)设“甲小组完成两项任务”为事件A,“该班荣获'和谐研究班'”为事件

B,

••.P(A)=q)=去，.

4

：.P(B\A)=^.

(2)该班在一次研究性学习中荣获“和谐研究班”的概率为

.J〜8(4,P),...E©=4P.

’3

知4--X4N1,解得;WqWl.

由£(a^i4

、

1

即g的取值范围是后，1.

IB级•技能提升|............................»>

9.(2020.武汉部分学校质量检测洞时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的

正四面体一次，记事件A=｛第一个四面体向下的一面出现偶数｝;事件8=｛第二个四面体

向下的一面出现奇数｝;事件C=｛两个四面体向下的一面或者同时出现奇数，或者同时出现

偶数｝.给出下列说法：

①P(A)=P(B)=P(O；②尸(A8)=P(AC)=P(BC)；

③尸(A20=t；④P(A)P(B)尸(0=".其中正确的有()

A.0个B.1个

C.2个D.3个

91Q1

D[由古典概型的概率计算公式，得P(A)=P(B)=z=/，P(O=/W=5，所以P(A)

=P(8)=P(C=E，①正确；P(A)P(B)P(Q=g,④正确；

2X2

而事件A,B,C不可能同时发生，故P(ABC)=0,所以③不正确；又=

4A4

12X212X21

4，P(AO=*7=4，P(BO=不a=4，所以P(AB)=P(AC)=P(BC),②正确.故选

D.]

10.一个口袋内有〃(〃>3)个大小相同的球，其中3个红球和(〃一3)个白球.已知从口袋

中随机取出1个球是红球的概率为p,6pWN,若有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取

O

1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于称，则”=.

Q

解析：由题设知，C：p2(l—p)2>或，：p(1—p)>0,

二不等式化为口(1一0)3，解得g<P<|，故2<6p<4.又：6PeN,：.6p=3,即p=^，

由3=4，得"=6.

答案：6

11.某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成,

各个电子元件能否正常工作的概率均为:，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统

G中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需要维修，且维修

所需费用为500元.

(1)求系统G不需要维修的概率；

(2)该电子产品共由3个系统G组成，设4为该电子产品需要维修的系统所需的费用，

求。的分布列与期望；

(3)为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加2个功能完全一样的其他品牌的电子

元件，每个新元件正常工作的概率均为p,且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，

则系统G可以正常工作，问：p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？

解析：⑴系统G不需要维修的概率为C；X(1)2义；+C；X(1A—.

(2)设X为维修的系统个数，则X〜8(3,\),且(f=500X,

P(X=k)=C：•(1/'•(1)3~k,A=0,1,2,3.

所以。的分布列为

050010001500

1331

P

8888

所以。的期望为E(G=500X3X：=750.

(3)当系统G有5个电子元件时，

原来3个电子元件中至少有1个正常工作，系统G才正常工作.

若原来3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的2个电子元件必须都正常工作,

3

-2

则概率为C\8P

若原来3个电子元件中有2个正常工作，同时新增的2个电子元件至少有1个正常工作,

则概率为C；X(1)2xJXC；XpX(l-p)+C；X(1)2x|Xp2=|(2p—p2)；

若原来3个电子元件都正常工作，则不管新增2个电子元件能否正常工作，系统G均

能正常工作，则概率为C：X(1)3=1.

31

331-+-

所以新增2个电子元件后系统G能正常工作的概率为1p2+1(2p-p2)+g4P8

31131,

于是由彳p+g―2=o(2p—1)知，当2p—1>0,即5<p<l时，可以提高整个系统G

的正常工作概率.

IC级•高分挑战I.......................................»

12.(2020•武汉部分学校质量检测)武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区

中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多旅游景点，每年来武

汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片.为合理配置旅游资源，现对

已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2

分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为3，游客之间选择意愿相互独立.

(1)从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X,求X的分布列；

(2)(i)若从游客中随机抽取m人，记总得分恰为m的概率为A„„求数列｛A,“｝的前10

项和；

(ii)在对所有游客进行随机问卷调查过程中.记已调查过的累计得分恰为n的概率为B”,

探讨B”与八之间的关系，并求数列｛5｝的通项公式.

解析：(1)X的可能取值为3,4,5,6,