高中数学排列综合测试题(含答案)

高中数学排列综合测试题(含答案)

选修2-31.2.1第2课时排列2

一、选择题

1.下列各式中与排列数Amn不相等的是0

A.n(n—1)!(n—m)!

B.(n-m+1)(n-m+2)(n—m+3)…n

C.nn—m+1An—1n

D.A1nAm—1n—1

［答案］C

［解析］由排列数公式易知A、B、D都等于Amn,故选C.

2.用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三

位数，其中奇数的个数为()

A.36B.30

C.40D.60

［答案］A

［解析］奇数的个位数字为1、3或5,偶数的个位数字为2、

4.故奇数有35A35=36个.

3.上午要上语文、数学、体育和外语四门功课，而体育教

师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是()

A.24B.22

C.20D.12

［答案］D

［解析］先排体育有2种排法，故不同排课方案有：2A33=

12种.

［点评］有受限元素时，一般先将受限元素排好，即“特殊

优先”.

4.5个人排成一■排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能

站在排头或排尾，那么不同站法总数为0

A.18B.36

C.48D.60

［答案］B

［解析］甲在排头或排尾站法有A12种，再让乙在中间3个

位置选一个，有A13种站法，其余3人有A33种站法，故共

有A12Al3A33=36种站法.

5.由数字0、1、2、3、4、5可以组成能被5整除，且无重

复数字的不同的五位数有()

A.(2A45—A34)个

B.(2A45—A35)个

C.2A45个

D.5A45个

［答案］A

［解析］能被5整除，则个位须填5或0,有2A45个，但其

中个位是5的含有0在首位的排法有A34个，故共有(2A45

—A34)个.

［点评］可用直接法求解：个位数字是0时有A45种；个位

数字是5时，首位应用1、2、3、4中选1个，故有4A34种,

共有A45+4A34个.

6.6人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列

的总数为（）

A.A66B.3A33

C.A33A33D.4!3!

［答案］D

［解析］甲、乙、丙三人站在一起有A33种站法，把3人作

为一个元素与其他3人排列有A44种，共有A33A44种.故

选D.

7.6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法

种数为（）

A.720B.144

C.576D.684

［答案］C

［解析］“不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事

件，由间接法可得A66—A33A44=576.

［点评］不能都站在一起，与都不相邻应区分.

8.由数字1、2、3、4、5组成的所有没有重复数字的5位

数中，大于23145且小于43521的数共有0

A.56个B.57个

C.58个D.60个

［答案］C

［解析］首位为3时，有A44个=24个；

首位为2时，千位为3,则有A12A22+1=5个，千位为4或

5时有A12A33=12个;

首位为4时，千位为1或2,有A12A33=12个，千位为3时，

有A12A22+1=5个.

由分类加法计数原理知，共有适合题意的数字24+5+12+

12+5=58（个）.

9.用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中

个位数字小于十位数字的六位数共有（）

A.300个B.464个

C.600个D.720个

［答案］A

［解析］解法1:确定最高位有A15种不同方法.确定万位、

千位、百位，从剩下的5个数字中取3个排列，共有A35种

不同的方法，剩下两个数字，把大的排在十位上即可，由分

步乘法计数原理知，共有A15A35=300（个）.

解法2：由于个位数字大于十位数字与十位数字小于个位数

字的应各占一半，故有12Al5A55=300（个）.

10.（2019广东理，8）为了迎接2019年广州亚运会，某大楼

安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定.每个彩灯只能闪

亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮

的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪

烁.在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻

两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁,

那么需要的时间至少是()

A.1205秒B.1200秒

C.1195秒D.1190秒

［答案］C

［解析］由题意每次闪烁共5秒，所以不同的闪烁为A55=

120秒，而间隔为119次，所以需要的时间至少是5A55+(A55

-1)5=1195秒.

［点评］本题情景新颖，考查了排列知识在生活中的应用以

及运用数学知识解决实际问题的能力、分析解决问题的能

力.

二、填空题

11.三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位,

则不同的坐法种数为.

［答案］24

［解析］“每人两边都有空位”是说三个人不相邻，且不能

坐两头，可视作5个空位和3个人满足上述两要求的一个排

列，只要将3个人插入5个空位形成的4个空档中即可.

有A34=24种不同坐法.

12.在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上

的数字大2的数共有个.

［答案］448

［解析］千位数字比个位数字大2,有8种可能，即（2,0）,

（3,1）-（9,7）前一个数为千位数字，后一个数为个位数

字.其余两位无任何限制.

共有8A28=448个.

13.7个人排一排，甲不在排头、乙不在排尾、丙不在正中

间的排法有种？

［答案］456

［解析］由题意知有A77-3A66+3A45-A44=456种.

14.（2019浙江理，17）有4位同学在同一天的上、下午参加

“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、

“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项

目，且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”

项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式

共有种（用数字作答）.

［答案］264

［解析］由条件上午不测“握力”，则4名同学测四个项目，

则A44；下午不测“台阶”但不能与上午所测项目重复，如

甲乙丙丁

上午台阶身高立定肺活量

下午

,下午甲测“握力”乙丙丁所测不与上午重复有2种，甲测

“身高”“立定”、“肺活量”中一种，则33=9,故A44(2

+9)=264种.

三、解答题

15.一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一

个节目单.

(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？

⑵前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？

(以上两个题只列出算式)

［解析］(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置

有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排

在中间6个位置上有A66种排法，故共有A25A66种排法.

⑵先不考虑排列要求，有A88种排列，其中前四个节目没

有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在

前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有

A45A44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A88

一A45A44)种.

16.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？

(1)甲不站右端，也不站左端；

(2)甲、乙站在两端；

⑶甲不站左端，乙不站右端.

［解析］(1)解法一：因甲不站左右两端，故第一步先从甲

以外的5个人中任选二人站在左右两端，有A25种不同的站

法；第二步再让剩下的4个人站在中间的四个位置上，有A44

种不同的站法，由分步乘法计数原理共有A25A44=480种不

同的站法.

解法二：因甲不站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端

之间的任一位置上，有A14种不同的站法；第二步再让余下

的5个人站在其他5个位置上，有A55种不同的站法，故共

有A14A55=480种不同的站法.

解法三：我们对6个人，不考虑甲站位的要求，做全排列，

有A66种不同的站法；但其中包含甲在左端或右端的情况，

因此减去甲站左端或右端的排列数2A55,于是共有A66-

2A55=480种不同的站法.

⑵解法一：首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有A22

种不同的站法；再让其他4个人在中间4个位置做全排列，

有A44种不同的站法，根据分步乘法计数原理，共有A22A44

=48种不同的站法.

解法二：”位置分析法”，首先考虑两端2个位置，由甲、

乙去站，有A22种站法，再考虑中间4个位置，由剩下的4

个人去站，有A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有

A22A44=48种不同的站法.

⑶解法一：“间接法”，甲在左端的站法有A55种，乙在

右端的站法有A55种，而甲在左端且乙在右端的站法有A44

种，故共有A66-2A55+A44=504种不同的站法.

解法二：“直接法”，以元素甲的位置进行考虑，可分两类：

a.甲站右端有A55种不同的站法；b.甲在中间4个位置之一，

而乙不在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个，有A14Al4A44

种不同的站法，故共有A55+A14Al4A44=504种不同的站法.

17.用0、1、2、3、4五个数字：（1）可组成多少个五位数；

⑵可组成多少个无重复数字的五位数；（3）可组成多少个无

重复数字的且是3的倍数的三位数；（4）可组成多少个无重

复数字的五位奇数.

［解析］（1）各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计

数原理，45555=2500（个）.

⑵方法一：先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A14种填

法，其余四个位置四个数字共有A44种，

故共有A14A44=96（个）.

方法二：先排0,从个、十、百、千位中任选一个位置将0

填入有A14种方法，其余四个数字全排有A44种方法，

故共有A14A44=96（个）.

（3）构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，

将0,1,2,3,4按除以3的余数分成3类，按取0和不取0分

类：

①取0,从1和4中取一个数，再取2进行排，先填百位A12,

其余任排有A22,故有2Al2A22种.

②不取0,则只能取3,从1或4中再任取一个，再取2然

后进行全排为2A33,所以共有2Al2A22+2A33=8+12=

20（个）.

⑷考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个

填入个位有A12种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填

入万位，有A13种填法，包含0在内还有3个数在中间三位

置上全排列,排列数为A33,故共有A12Al3A33=36（个）.

18.由1、2、3、4、5五个数字组成没有重复数字的五位数

排成一递增数列，则首项为12345,第2项是12354,…

直到末项（第120项）是54321.问：

（1）43251是第几项?

⑵第93项是怎样的一个