高中数学利用圆锥曲线的参数方程求最值练习题含答案

高中数学利用圆锥曲线的参数方程求最值练习题含答案

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1.(3分)过椭圆［(。为参数)的右焦点F作直线，交C于M,N两点,

\MF\=m,\NF\=n,则'+；的值为()

A.|B.gC.1D.不能确定

2.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(k为参数)，以坐标原点为极

点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，的极坐标方程为pcos(e+§=l.

(1)求直线/和曲线C的普通方程；

(2)已知点P(2,0),且直线I和曲线C交于4,B两点，求||P4|-|PB||为值.

3.在以。为极点的极坐标系中，点a的极坐标为(鱼()•

(1)延长。4至H,使OH=4O4再顺时针旋转行，求以此时的。口为直径的圆C的极坐

标方程；

(2)以极点。为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线/经过点

Q(0,3)且直线I的参数方程为(t为参数).若直线(与圆C相交于M,N两点，

圆C的圆心为C,求：

①的面积；

②|QM|•|QN|的值.

4.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为卜=cosa+受ina，为参数)，坐标

原点。为极点，X轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线/的极坐标方

程为pcos(6-+--)=2.

6

(1)求曲线C和直线［的直角坐标方程；

(2)直线2与y轴的交点为P,经过点P的动直线m与曲线C交于4B两点，证明：\PA\•

|PB|为定值.

试卷第2页，总6页

参考答案与试题解析

高中数学利用圆锥曲线的参数方程求最值练习题含答案

一、选择题（本题共计1小题，共计3分）

1.

【答案】

B

【考点】

利用圆锥曲线的参数方程求最值

椭圆的极坐标方程

【解析】

椭圆（9为参数）的普通方程为9+9=1，利用特殊位置进行求解即可.

【解答】

解：根据题意得，曲线C为椭圆，右焦点为

椭圆方程为：。+<=1.

43

设心（t为参数），代入椭圆方程得（3+sin2e）t2+6tcos8-9=0,

设M、N两点对应的参数分别为0办

则*@2=一直版t+。=--陋，

143+sin20

2_+1_+内一5=J(G+£2)2_4t也_4

mn-|tt||t2l-向以1-代也1-31

故选8.

二、解答题（本题共计3小题，每题10分，共计30分）

2.

【答案】

解：（I）：曲线C的参数方程为（k为参数），

消去参数得C:y2=4%.

pcos（6+g）=l.

即pcosOcosg-psinOsin；=1,

即士x—V5y—2=0.

(2)2的参数方程为：

(%=2+—t

\12(t为参数)代入y2=4%整理得:

”尹

产一8商-32=0.

设48对应的参数分别为“，J，则

±1+12=8A/3,trt2=32,

\\PA\-\PB\\=|闻一回1=\h+t2\=8V3.

【考点】

利用圆锥曲线的参数方程求最值

圆锥曲线的综合问题

参数方程与普通方程的互化

直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：⑴；曲线C的参数方程为俨=野（k为参数）,

消去参数得C:y2=4%.

pcos（8+；）=l,

即pcosJcosg—psinJsing=1,

即1:%—V5y—2=0.

(2乂的参数方程为：

(x=2+—t

{i2(，为参数)代入y2=4x整理得:

(7=/

t2-8V3J-32=0.

设4,B对应的参数分别为t?，则

亡1+七2=8A/3,trt2=32,

||P^I|-|PB||=||^|-|t2||=|tx+t2|=8V3.

3.

【答案】

解：（1）由题意，点H的极坐标为（4鱼,

设P（p,9）为圆上任意一点，贝“。P|=p,乙P0H=8-%

在RtAPOH中，cos（。-3）=&,

（2）①作CO1MN于。，直线，的普通方程为x-y+3=0,C到直线I的距离d=苧,

在RtACOM中，\MN\=2\MD\=2V8-d2=V14,

△”/7。的面积为；*旧*苧=雷.

试卷第4页，总6页

_%=丝c，

②因为直线1的参数方程为｛；：；'+3,（t为参数）化为•一2夜，（t'为参数）,

vp=4>/2cos（。一§,二p2=4V2pcos0x+4&psin8x

•••圆C的直角坐标方程为（x-2尸+（y-2尸=8.

（x=&,?

把《2代人0-2）2+。-2）2=8得一一鱼〃一3=0,

"+争，

•••t[+t2'=V2,t[-t2'=一3则|QM-\QN\=|t/-t2'\=3.

【考点】

利用圆锥曲线的参数方程求最值

圆的极坐标方程

点到直线的距离公式

【解析】

答案未提供解析.

【解答】

解：（1）由题意，点H的极坐标为（4a,匀,

设P（p,。）为圆上任意一点，则|OP|=p,乙POH=e—三,

在R"。"中，cos（9-加描

（2）①作CD_LMN于。，直线，的普通方程为x-y+3=0,C到直线，的距离d=乎

在RtZiCDM中，\MN\=2\MD\=2V8-d2=V14,

△"/7。的面积为：*用*乎=誓.

y/2,

X=——t,

②因为直线I的参数方程为｛；：；'+3,（t为参数）化为,2

b=3+后k（t'为参数）,

p=4A/2COS（8-）

.・.p2=45/2pcos0x+4V2psin0xy,

:，圆C的直角坐标方程为（％-2尸+（y-2>=8.

42.

X=——t,c

把2后代人(x-2)2+(y-2)2=8得产一近〃-3=0,

y=3+小，

fr

：•t[+t2=V2,t[-t2=-3则|QM-\QN\=It/•t2'\=3.

4.

【答案】

解：(1)由％2+y2=(cosa+V3sina)2+(sina—V3cosa)2=4,

得曲线C：%2+y2=4.

直线，的极坐标方程展开为日pcosJ-|psin0=2,

故/的直角坐标方程为V5x—y—4=0.

(2)由(1)得直线［为：V3x-y-4=0,

令％=0,则P的坐标为(0,-4),

设过点P的直线方程为［”=tcosa，(t为参数)

(y=-4+tsina

代入C:/+y2=4得/—8tsina+12=0,

设4,B对应的参数为口，t2,

所以|P4|•|PB|=\trt2\=12为定值.

【考点】

利用圆锥曲线的参数方程求最值

圆的参数方程

直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化

【解析】

(1)由+y2=(cosa+V3sina)2+(sina-75cosa)2=4可得曲线C的直角坐标方程;

根据互化公式可得直线1的直角坐标方程；

(2)根据参数t的几何意义可得.

【解答】

解：(1)由1+y2=(cosa+V3sina)2+(sina—V3cosa)2=4,

得曲线C:/+y2=4.

直线，的极坐标方程展开为与pcos。-(psinO=2,

故，的直角坐标方程为—y-4=0.

(2)由(1)得直线/为：V3x-y-4=