函数性质的应用教案 人教课标版

第四届全国高中青年数学数师优秀课效案

函数性质的应用

参评教师：辽宁省大连市第中学张军

*im函数性质的应用课型专题课教师大连市第中学数学组张军

.知识目标：()会用函数性质解决与抽象函数有关的不等式问题；

()会根据题意自己设计条件并解决问题；

教学()能够比较熟练地综合运用函数性质解决相关问题。

目标

.能力目标：()着重培养学生自己获取知识的能力；

()培养学生思维的发散能力。

.情感目标：通过师生互动、生生互动的教学活动过程，让学生体会成功的愉悦，培养学生热爱

数学的态度，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。

教学运用函数性质解与抽象函数有关的不等式问题

重点

教学如何化抽象为具体

难点

教学理解并运用函数的性质

关键

教学教学内容师生活动教学设计意图

过程

实例引入教师演示激趣——引题

课题学生通过观察一思考一从多媒体展示的实际生活中的问题入手，

引入将沙子匀速地注入一个形得到大致的图象，教师数学建模，激发学生求知的欲望，引入课

的容器内，随着时间的变再利用多媒体演示。题。

化，容器内沙子的高度在不

断地上升，请思考这一关系通过实例：①认识生活中充满变量间的依

的大致图象是怎样的呢？赖关系；②函数性质的应用是非常广泛

的；③激发学生学习兴趣，提高发散思维

能力。

【问题】：设函数y=/(x)

问题教师首先提出问题，学荷株rax

提出在&上单调递减，解不等生思考后回答，教师板这里，充分体现了教师的主导作用和学生

书解答过程，师生共同的主体作用，因为问题的答案不难得出，

式：f(2x)>f(-x),并说

分析解题思路，归纳解但关键是如何想到的。在以后，学生也能

出你的解题依据。此类数学问题的方法。够借鉴老师分析问题的方法来分析代数

式的特征，不仅授之以“鱼”，而且授之

以“渔”。

【推广】：

若/(%)</(/)，则怎样

问题反思——深化

学生经过思考、讨论后

推广讨论式教学，运用群体的力量和团队精神

比较Xi,吃的大小呢？回答问题，着重在于条

解决问题，通过给学生思考、探索的空间，

件的利用。

培养学生的合作学习观念。

知识迁移：函数/(X)是定

学生思考后，到黑板板

义在区间［-1,3］上的单调书解答过程，并对解题

问题

思路进行阐述，教师进

演化递减函数，解不等式：变化问题情境，激发学生探索问题的欲

行点评并引导学生规范

望，体会解决数学问题的过程中的快乐。

/(2-%)</(2x-3)o解题过程。

【问题:】设y=/(x)是定

学生运用不同解法解决

问题义在R上的偶函数，且直观一迁移

此问题，教师针对不同

再变先从代数角度解决问题，再从几何角度，

/(x)在(0,+划上单调递方法进行特色点评。

化利用数形结合思想，借助图象，将抽象的

符号语言转化为形象、直观的图形语言解

增，又"3)=0,则

决问题，使学生通过“角度”改变观念，

针对“题型”选择方法。

/(x)<0的解集是。

有关这类数学问题的解题

思想、解题方法是什么呢？

学生思考后作答，教师

问题对于解题方法学生可能比较重视，但对于

需要注意什么问题呢？进行适当的引导、补充。

反思解题思想，学生也许并不在意，教师应进

行适当的引导。

刚才解不等式的时候，都是

把不等式转化为

通过再次情境的改变，促进学生围绕“奇

7•(%)<(>)/(无2)来解，那学生思考后回答，每个

偶性”和“合二为一”两个方向进行思考，

学生都会有自己的想

问题么大家考虑如果遇到同时也为后面自编题在此打下伏笔。

法，教师通过激励性的

再升

/(玉)+/(尤2)>0,怎样来点评，促使更多的学生

华

发表自己的见解。

解决呢？

【问题】：奇函数/(X)在定

问题义域(-1,1)内单调递减，解发散——拓展

学生思考后进行回答，

提出教师根据对前一问题的分析，编出题目，

关于。的不等式：教师利用多媒体演示答

案，并进行适当的点评。由学生来完成，一方面激发学生学习的兴

f(l-a)+f(l-a2)<0.

趣，同时通过对条件进行适当的分析，也

为如何自编题对学生做出示例。

请自己编加条件解不等式：

学生根据刚才所学自己

/(3%+1)+/(%-2)>0互助提高

编加条件，并对自己所

提出问题加以解决，验半命题教学，能使学生的思维再拓展，这

问题证条件正确与否。教师种做法一方面完全符合学生的思维发展

深化巡视后，找两名有代表

性的同学，将所编加条规律，另一方面更能把这样发展变成学生

件写在黑板上，分组解自身自我的需求，而且这种需求变得越来

决。

越强烈。

当你自编了一道题并解出

学生谈自己的感受，教自编题能让大家在明确目标的前提下，通

后，有何感受？师从高度上进行概况。过所学的方方面面的知识，自己来设计解

题的途径，发散思维能力能得到很好的训

练，进一步明确题设条件的用法，进而在

问题学习过程中发现学习数学的乐趣，体验数

再反学的美。

思

这堂课都学习了那些内容，

你有什么收获或者提高

学生进行思考后总结，小结提升

课堂教师进行概况。这堂课里，用到了函数的定义域、值域、

小结单调性和奇偶性等性质，涉及到了分类讨

论思想和数形结合思想，其实函数的很多

知识都是贯穿在一起来应用的，希望大家

能够综合利用函数知识解决生活和数学

《成才之路》页，应用练习。

中的一些问题。

布置

作业

函数性质的应用

板

/(X)递增、

>=>芯<%2

问题：/(x1)</(x2)>

书

/(X)递减

>=>芯

/(x)</(x)教师(学生)板演

设12>

思想：转化思想

计方法：利用函数性质

注意：定义域优先

多角度思考问题

尝试自编题

教案说明

大连第中学张军

一、授课内容的数学本质与教学目标定位

以函数性质为载体，培养学生获取新知识能力，信息收集处理的能力，交流协作的能力,

创新和实践能力、分析解决问题的能力，进而发展学生的思维能力。

.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段不仅把函数看成变量之间的

依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始

终，而函数性质又在函数中起着统领的作用，乃重中之重；

.高中学生在这一年龄段特点是求知欲强，开发潜力大。他们的观察力、注意力、感知

能力和思维能力和初中相比都有明显提高，他们观察事物更富有目的性，更加全面和深刻，

而且能比较持久地学习、研究理论方面的问题，思维的独立性和批判性也大大提高。从这些

年龄特征来考虑，应尽力凸显学生这一时期的发展水平和发展可能。函数性质的应用这节课

蕴含着丰富的思维方法和策略，利用函数性质掌握好解决函数问题的策略不仅有助于学生掌

握高中数学解题的基本思维方法，而且有助于他们自身问题解决能力和数学素质的提高。

.从情感上来看，本节课由浅入深的安排函数性质的应用，环环相扣，能极大的激发学

生学习的兴趣，并随着问题的逐个自行解决，进而树立学生学好数学的信心。

二、学习本内容的基础以及今后有何用处

.本内容是在高中数学人教社版必修讲完.函数的单调性和奇偶性之后，安排的一节专

题研究课，是有关抽象函数性质研究的第一节课。这节课承接前面所研究的函数的定义、表

示方法、单调性、奇偶性，是这些内容的深化、提高，并且是在研究完具体初等函数的性质

之后再进行的，从感性认识提高到理性认识。另一方面，可以通过对抽象函数性质的研究的

学习，为后面学习指数函数、对数函数、及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函

数的值域、最值、导数等等都有着紧密的联系，同时它对后面的函数的进一步学习在思维上

起着进一步深化、拓展的作用。

.本节课在函数中是由具体到抽象的一个重要过渡，它对后面利用函数性质的进一步研

究抽象函数问题起着重要的铺垫、引领作用。

.通过对抽象函数的性质的研究，能够培养、训练、提高学生的逻辑思维能力和发散思

维能力，对其他知识的进一步学习、探索产生良好迁移作用具有奠基性的作用。

.通过对抽象函数性质的研究，能够对其它学科的学习，比如说物理学中的波形图、化

学中的无机化学、生物学中的遗传等知识，使学生在思维上具有正面的积极导向，给予数学

上的基础性支撑。

.渗透转化等数学思想方法。从学习过程中感悟转化思想的作用，化繁为简、化抽象为

直观，为今后进一步学习、深化，打下坚实基础。

三、教学诊断分析

.学习本内容时容易了解的地方：给出函数定义域时，如何利用其求出字母的初步取值

范围；函数单调性可以把函数值的大小转化为自变量的大小；函数奇偶性中的奇函数可以去

掉前的负号；数形结合思想中的利用函数图象便捷、直观的解决问题；分类讨论思想

的应用等等。

.学习本内容时容易误解的地方：当利用函数单调性把函数值的大小（/（X］）＜/（九2））转

换为自变量（再与马）的大小时，须与龙2是否在同一单调区间，容易产生误解。

四、本节课的教法特点以及效果分析

本节课体现了：

贯穿一条主线一一以转化思想为主线；

发挥两个作用一一教师主导与学生的主体作用的最佳结合；

强化三种意识一一合作意识、探究意识、创新意识；

运用四种方法一一函数与方程、数学结合、化归与转化、分类讨论；

培养五个能力一一学生获取新知识能力，、信息收集处理的能力、交流协作的能力、创新

和实践能力、分析解决问题的能力。

本节课在引入阶段一开始从将沙子匀速地注入将沙子匀速地流入一个形的容器内入手，

引发学生从生活中的实际问题入手，在从具体到抽象，由观察实例上升为描述图象，再由教

师进行阐述图象符合函数性质中的单调性的图象，从而在学生脑海中初步建立数学建模的思

想。这一环节的安排时由于数学的一切发展都不同程度地归结为现实的需要，因此，创设实

际生活的情境，能够让学生切实感受到数学是源于生活的，激