高中数学选择性必修第一册课后练习24双曲线的简单几何性质

双曲线的简单几何性质

［4组基础巩固练］

一、选择题

1.若实数%满足°4<5,则曲线巨£=1与曲线后Y=1的()

A.实半轴长相等B.虚半轴相等

C.离心率相等D.焦距相等

D［由于16+(5—©=(16—4)+5,所以焦距相等.］

2.若”>1,则双曲线，-y2=i的离心率的取值范围是()

A.(巾,+8)B.(小，2)

C.(1,y［2)D.(1,2)

C［由题意得双曲线的离心率

s)a2+l.1

即€"=3

cr—=1+a-

•••41，工。吟<1，

IVeV^l故选C.]

3.已知双曲线C：芯一方=1(40,。>0)的焦距为10,点P(2,l)在C的渐近线上，则

双曲线C*的方程为()

工=1BU1

515201

AC.2/0

Z=1D——^-=1

8020-1D-2080—1

/41

A［双曲线。的渐近线方程为六一百=。，又点P(2,l)在C的渐近线上，所以宗一讲=

0,即。2=4/①.

又a2+b2=c2=25②.

由①②，得从=5,〃2=20,所以双曲线C的方程为告一方=1,故选A.］

-)2

4.过双曲线为一方=1的右焦点尸2作垂直于实轴的弦PQ，a是左焦点，若NPFiQ=

90°,则双曲线的离心率是()

A.小B.1+也

C.2+/D.3-^2

B［因为|吗=IBFiI,P点满足力一g=1，产区/石二5,

2c=^\lc2—a2,即2“。=/=/一/,，2=e—又e>0,故e=l+啦.］

5.已知双曲线C：O为坐标原点，尸为C的右焦点，过尸的直线与C的两

条渐近线的交点分别为M,M若△OMN为直角三角形，则|加川=()

3

A.2B.3

C.2^3D.4

B［根据题意，可知其渐近线的斜率为土坐，且右焦点为尸(2,0),从而得到NFON=30。，

所以直线MN的倾斜角为60。或120°,

根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60。，

可以得出直线MN的方程为y=\[3（x-2）,

分别与两条渐近线y和y=一坐x联立,

求得M（3,小），

所以|MN|='=3.]

二、填空题

2

6.（一题两空）若双曲线/一5=1的离心率为小，则实数机=，渐近线方程是

2

2y=±\j2xb=mf/=，=区1~=1+"?=3,m=2.渐近线方程是y=：b'佃

x=±\[2x.]

7.以丁=母为渐近线且经过点（2,0）的双曲线方程为.

，一£=1[以），=也为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为/一>2=入3/0）,

代入点（2,0）得a=4,，/一9=4,即彳一，=L]

8.已知双曲线过点（4,小），且渐近线方程为、=纵，则该双曲线的标准方程为.

，一产=1[法一：；双曲线的渐近线方程为丫=±|》，

二可设双曲线的方程为炉—4/=九3#0）.

♦.•双曲线过点（4,小），16—4X（小）2=4,

J双曲线的标准方程为a一产=1.

法二：・・・渐近线了=%过点（4,2）,而小V2,

・••点（4,小）在渐近线的下方，

（4”"尸》

/4（4,73）

4

,二一｝4

在y=-2X的上方（如图）.

92

...双曲线的焦点在X轴上，故可设双曲线方程为余一g=1（4>0,b>0）.

由已知条件可得

/=4,

解得

fe2*9=l,

/.双曲线的标准方程为彳-y2=1.]

三、解答题

9.求满足下列条件的双曲线的标准方程:

(1)一个焦点为(0,13),且离心率为彳•：

(2)渐近线方程为y=±5,且经过点A(2,-3).

［解］(1)由题意知双曲线的焦点在y轴上，且c=13,

因为］=彳~,所以a=5,〃2=i2.

22

故所求双曲线的标准方程为太一击=1.

ZD1'I'I

(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y=±5,

99»1

若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为，一齐=1(〃>0,/?>0),则£=/①.

49

因为点A(2,—3)在双曲线上，所以^一/=1②.

联立①②，无解.

22

若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为，一条=1伍>0,/?>0),

则昌③

94

VA(2,-3)在双曲线上，上了一房=1.④

由③④联立，解得片=8,从=32.

二所求双曲线的标准方程为三一为=1.

o

法二：由双曲线的渐近线方程为y=±5，

可设双曲线方程为京一)2=九(九#0),

V/l(2,一3)在双曲线上，

4

・••加一(一3)2=入，即入=—8.

・••所求双曲线的标准方程为？一卷=1.

o

10.已知双曲线C：/一方=1(〃>0,心0)的一个焦点是尸(2,0),离心率e=2.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若斜率为1的直线/与双曲线C交于两个不同的点M,N,线段MN的垂直平分线与

两坐标轴围成的三角形的面积为4,求直线I的方程.

［解］(1)由已知得c=2,e=2,所以。=1,6=小.

2

所以所求双曲线方程为%2—,y=1.

(2)设直线/的方程为y=x+m,点M(xi,y\),N(x2,").

y=x+tn9

联立《、y2整理得3=0.(*)

f—1=1,

设MN的中点为5),yo),则xo="手’=£,yo=%o+〃?=¥，所以线段MN垂直平分线

的方程为

)-竽=一(X-?,即x+y—2机=0,

与坐标轴的交点分别为(0,2团，(2w,0),

可得/2，*卜|2训=4,得,层=2,m=±^2,此时（*）的判别式/>0,故直线/的方程为y=

x±^2.

［6组素养提升练］

11.（多选题）关于双曲线Cl：4/一9〉2=—36与双曲线C2：4f—9y2=36的说法正确的

是（）

A.有相同的焦点

B.有相同的焦距

C.有相同的离心率

D.有相同的渐近线

BD［两方程均化为标准方程为宁一,=1和5—彳=1,这里均有d=4+9=13,所以

有相同的焦距，而焦点一个在x轴上，另一个在），轴上，所以A错误，B正确；又两方程的

渐近线均为y=±|x,故D正确.G的离心率6=华，C2的离心率0=半，故C错误.］

?2

12.设双曲线，一东=1（力>公>0）的半焦距为c,且直线/过3,0）和（0,b）两点,已知原点

到直线/的距离为亭，则双曲线的离心率为（）

2^3

A.B.

3也

C.小D.2

ahah

D［直线/的方程为\+：=1,bx+ay—ab=0原点到直线/的距离d=

fyja2+h2

5

4

即"=乎段所以a2(c2—a2)=^c4.

4

整理得3/-16/+16=0,解得/=4或/=§,

吩

又b>a>0,所以e2=1+^2>2,故e=2.］

o2?

13.（一题两空汜知椭圆亳+5=1与双曲线会一V=i的公共焦点为左焦点人，右焦点

22，点P是两条曲线在第一象限内的一个公共点，则|PQ|=,cos/吊P&的值为

#+小|［因为Fi,B分别为左、右焦点，点P在第一象限，由椭圆与双曲线的定

\PFi\+\PF^=2y[6,

义可得，

IPF1ITP尸21=2小,

甲尸||=4+6,

解得，

|叫=,一小,

|PFiI2+IPF2I2—IF1F2I21

又|自巳|=4,所以由余弦定理得cosNQPBu1~2|储；PR|―=3-］

72

14.已知双曲线宗一营=l（a>0,Q0）的右焦点为尸，若过点尸且倾斜角为60。的直线

I与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是.

12,+°°）［由题意，知小，则务》3,所以c2—a2>3a2,即c2>4a2,所以/=，24,

所以e22.]

［C组思维提升练］

??2

15.已知椭圆G：全+丁2=1的左右顶点是双曲线。2：夕一*=1的顶点，且椭圆G的

上顶点到双曲线C2的渐近线的距离为坐.

(1)求双曲线C2的方程；

(2)若直线与G相交于Ml,也两点，与C2相交于Q|,。2两点，且5,求

|M%I的取值范围.

解⑴由椭圆C1：田+尸=1的左右顶点为(一小，0),(小，0),可得/=3,又椭圆

Ci的上顶点(0,1)到双曲线。2的渐近线bx-ay=Q的距离为罗，由点到直线的距离公式有

-^\=坐可得匕=1,

yjcr+b-乙

7

所以双曲线。2的方程为全一y2=l.

(2)易知直线/的斜率存在，设直线/的方程为)，=丘+加，

代入，一)2=1,消去)，并整理得(1一3标)/一3，〃2—3=0,要与C2相交于两点，

[1-3必#0

则应有《

[363"「一4（1—3fc2）（-3/H2—3）＞0

11一33£0

[l+m2＞3^2

设Q（xi,yi）,62（x2,yz）,则有：即+尬=1号，，=

又0。1。。2=为尤2+.丫1）'2=川12+（履］+m）（kx2+fn）=（\+^）x1x2+km（x\+xi）+nr,

-*,-A1

又OQ1•OQ2=-5,所以有］_，3"［（1+储）（一3加-3）+6F〃P+〃61—3后）］=一5

整理得加=1-93②,

7

将丫=丘+巾，代入5+^=1,消去y并整理得：（1+3斤*+6配a+3〃?2—3=0,

要有两交点，则/=363〃72—4（1+3。）（3,层-3）>0=>3斤+1>机2③

由①②③有：o<FwJ.

设M（X3,丫3）、%（工4,以），则有：

_-6km_3m2-3

X3+X4=1+3A2,X3-X4=l+3lc>.

,,；/36―疗一4(3病一3)(1+3F)

所以M%I不区y--------(；不燹?—

-4（3机2一死一3）

（1+3玲2

又，序=1一9Q，代入有：MM2l=W+Q\J(]+3,5

=＞陷%|=12\^令1=必，则fG(0,1,

-

人/(I+/)1—t(I

令财=许户加尸不再广又‘4°'d

所以/⑺>0在re（0，9内恒成立，故函数式。在re（o,1内单调递增，

故就«0,.,则有IM此后（0,晒.

课堂检测二周双基

I.直线，=氐%—3与双曲线，一9=1交点个数是（B）

A.0B.1

C.2D.4

［解析I直线与渐近线平行，

,有一个交点.

2.若直线x=a与双曲线3一9=|有两个交点，则。的值可以是（A）

A.4B.2

C.1D.-2

［解析］因为在双曲线千一尸=1中，x22或xW—2,

所以若x=a与双曲线有两个交点，

则a>2或a<-2,故只有A符合题意.

3.若直线/：x—2y=0与双曲线x2一砂2=43>0）的右支仅有一个公共点，则。的取值

范围是（C）

A.（4,+°°）B.［4,+00）

C.（0,4）D.（0,4］

［解析］由双曲线方程为：/一"2=45>0）,可得渐近线方程：x=±^y,

直线方程为hx—2y=0且与双曲线的右支仅有一个公共点，

可得：如<2,解得：0<aV4,故选C.

4.直线/与双曲线f-4y2=4相交于A、B两点，若点P（4,l）为线段A8的中点，则直

线/的方程是x-v-3=0.

［解析］设A（xi,yi）,8（x2,阿，则汨+由=8,y\+yi—2,

,.,"一4）彳=4,£—4）号=4,

两式相减可得：（xi+彳2）（为一及）一4（»+”）但一%）=0,

8（X1—X2）—8（>,l-_V2）=0,/.kAB=1,

；♦直线的方程为y—1=x—4,即x—y—3=0.

5.已知A8为过双曲线C的一个焦点F且垂直于实轴的弦，且|AB|为双曲线C的实轴

长的2倍，则双曲线C的离心率为

X—C,4

I解析］法一：设F（C,0）,由“y2得y2=3,

6=1，°

21

.*.y=±~",\AB\=^~=4a9.\h=2a,

，/一。2=2。2,.\c2=3a2,・・/=，=3,：・。=小.

素养作业•提技能

A组•素养自测

一、选择题

I.已知双曲线方程为/一£=1,过P（1,O）的直线/与双曲线只有一个公共点，则/的

条数为（B）

A.4B.3

C.2D.1

|解析|由双曲线的方程知，点尸（1,0）为双曲线的一个顶点，过点P（l,0）有一条直线/与

双曲线相切，有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线只有一个公共点.

2.已知双曲线5+方=1的离心率e<2,则实数k的取值范围是（C）

4K

A.上<0或&>3B.-3<^<0

C.-12<）t<0D.-8<A<3

［解析］双曲线，+亍=1可知％<0,并且。=2,

c=^4—k,双曲线的离心率为：

解得一12<无<0,综上一12<大<0.故选C.

3.直线x+y=l与双曲线4『一）?=1相交所得弦长为（B）

A近B岖

A.3a-3

C.平D.市

|解析］将直线x+y=l代入4*—产=1

得3*+2x—2=0.

、22

设两交点A（X］,y）,8a2,>2），则Xl+X2=—X\X2=­y

/.\AB\=y［T+l?\x\—X2I

2

=V2-^/（XI+X2）—4X1X2=^^^.

故选B.

4.若则。x—y+b=0和"2+〃）?=〃〃所表示的曲线只可能是下图中的（C）

X2V2

［解析］方程可化为产⑪+人和［•+力=1.从B,D中的两椭圆看a,Z?e（0,+°°）,

但B中直线有aVO,人<0矛盾，应排除；D中直线有〃VO,b>0矛盾，应排除；再看A

中双曲线的〃VO,b>0,但直线有。>0,b>0,也矛盾，应排除；C中双曲线的。>0,b<

0和直线中。、b一致.应选C.

5.设双曲线及±*=1(40,匕>0）的右焦点为尸，过尸且斜率为1的直线/与E的

右支相交不同的两点，则双曲线的离心率e的取值范围是（A）

A.（1,^2）B.（巾，2）

C.（1,2）D.（2,2^2）

［解析］要使直线与双曲线的右支相交不同的两点，需使双曲线的其中一渐近线方程的

斜率小于直线/的斜率，即所以e2=i+「<i+i=2,所以e6(l,柩,故选A.

二、填空题，

6.双曲线"一)2=1一个焦点到一条渐近线的距离为

［解析］根据对称性，卷一9=1焦点坐标尸(小，0),渐近线方程为y=%,即x—2)，=

0,

清W=i.故答案为1.

焦点到渐近线距离为

7.过双曲线击一弓=1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为小，这样的直线有

」条.

［解析］依题意得右焦点尸(5,0),所以过尸且垂直x轴的直线是x=5,代入导一/=1，

得了=白§,所以此时弦长为坐X2=方.当直线不垂直于x轴时，如果直线与双曲线有两

个交点，则弦长一定比小长.因为两顶点间距离为4小，即左右两支上的点的最短距离是

4小，所以如果交于两支的话，弦长不可能为小，故只有一条.

8.过双曲线/一号=1的左焦点Fi作倾斜角为2的直线/与双曲线的交点为A、B,则

\AB\=3.

［解析］双曲线焦点坐标为B(—2,0)、尸2(2,0),直线AB的方程为)=坐(x+2),把该直

线方程代入双曲线方程得，8/—以一13=0.

、113

设A。1，yi),8(x2,”)，所以无i+x2=］,x\X2=—^.

\AB\=N1+小々(即+无2、一仇必

三、解答题

9.已知双曲线的中心在原点，焦点在无轴上，离心率为也，过点(4,-710).

(1)求双曲线标准方程；

(2)若直线y=A(x—1)与双曲线有两个不同的公共点，求k的取值范围.

［解析］(1)由双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为啦，过点(4,-VTO),

设双曲线的方程为：匕>。)，

3

由e1+

可得。=儿由其过点(4,—V15),

一/曰1610.

可得7一/=1,

可得a=b=玳,故双曲线标准方程为：空—言=1.

72

(2)联立直线y=A(x—1)与双曲线不一方=1，

可得：(1—Zr)x2+2Zrx—^2—6=0,

可得：1一FW0,且/>0,

可得：4公一4(1一3)(一3—6)>0,

可得：kW±l,且一华《嗯

故2的取值范围是（一^^,一l）u（—W）・

10.已知双曲线C：/一次=1（〃>0,>0）的离心率为小，点（5，0）是双曲线的一个

顶点.

”（I）求双曲线的方程；

（2）经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30。的直线/,直线/与双曲线交于不同的A,B两

点，求AB的长.

|解析|（i）...双曲线C：「一£=1的离心率为小，点（小，0）是双曲线的一个顶点，

：5=木,。=小，解得c=3,又/=42+62,b=

•••双曲线的方：若

（2）双曲线'卷=1的右焦点为凡（3,0）,

...直线/的方程为了=亭（》一3）,

像-J

36b6

联立j小得5f+6x—27=0,设A（xi,yi）,8a2,竺），则元1+12=—土

［尸?L3）,

©X2=一系，所以IAB1=G^7（一歌一4X（一芝）=呼.

B组•素养提升

一、选择题

I.己知双曲线了一方=1（40,6>0）的右焦点为尸，点A在双曲线的渐近线上，△（?”

是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（D）

9?7?

XTyxryr

412124

72

C.y—y2=lD.x2—=1

［解析］根据题意画出草图如图所示（不妨设点A在渐近线y=3上）

由AAO厂的边长为2的等边三角形得到NAOF=60。，c=\OF\=2.

又点A在双曲线的渐近线上，

.*.^=tan60。=小.

又/+从=4,.,.a=l,b=小,

・,•双曲线的方程为％2—f=1.故选D.

2.设离心率为e的双曲线C：，爷=15>0,40）的右焦点为F,直线/过点尸且斜

率为鼠则直线/与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是（C）

A.3一/>1B.3一/<1

C.e2-^>lD./-F<1

bh

［解析］直线/与双曲线c的左、右两支相交的充要条件是直线/的斜率一。V氏〈务两

〃2-〃2

边平方得，^<^2=-^2-=e2—1,即©2—R>1.

3.（多选题）已知曲线C：〃z/+〃y2=i（ACD）

A.若加>〃>0,则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若〃?=〃>0,则C是圆，其半径为5

C.若加"<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=\^x

D.若机=0,〃>0,则C是两条直线

［解析］对于选项A,••加>〃>0,方程谒+〃y2=i可变形为十+?=］,

mn

二・该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B,..,〃7=〃>0,1.方程"+

可变形为*+）2=今该方程表示半径为\己的圆，错误；对于选项C,•••〃?〃<（）,...该方程

表示双曲线，令mx2+ny2=00y=,正确；对于选项D,,.,〃?=0,”>0,.•.方程

32+〃尸=1变形为〃y2=i；=>y=1rJ^,该方程表示两条直线，正确.综上选ACD.

4.（多选题）将离心率为ei的双曲线G的实半轴长a和虚半轴长伏a#b）同时增加m（m

>0）个单位长度，得到离心率为62的双曲线C2,则（BD）

A.对任意的a,b,e\>eiB.当时，e\>ei

C.对任意的a,b,e\<e2D.当。>人时，e\<e2

I解析I由条件知d=，=1+*，e'=l+（W^），当。时，Ve幺.I

b+mh

当。时，~~r—<-,.'.ei>e2.所以，当。〉人时，）；当时，

C|Ve2.Vba-\~maeiVe

e\>ei.

二、填空题

5.已知直线/：x—y+，〃=0与双曲线记一5=1交于不同的两点A、B,若线段AB的

中点在圆/+产=5上，则m的值是±1.

X-y+"?=0,

、y2消去y得x2—2mx—源一2=0./=4〃P+4疗+8=8加+8

{5=1,

>0.

设A（%1,yi）,8（X2,J2）.

则x\+x2=2m,y।+72=xi+x2+2tn=4m,线段AB的中点坐标为（m,2机），又二•点（机,2机）

在圆/+y2=5上，/.5团2=5,.\m=±\.

A2V2

6.已知双曲线C：萨―力=13>。，匕>。）的右顶点为A,以A为圆心，8为半径作圆A,

圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若NAMN=60。，则C的离心率为—平

h

［解析］如图，由题意知点A（a,0）,双曲线的一条渐近线/的方程为）=），即以一即=

0,

ab

・••点A到/的距离d=

yjc^+b2

又NMAN=60。，MA=NA=b,

「•△MAN为等边三角形,

/.d=^MA=坐人，

abV3

即2b

22

a=3h9

.I*+1)225

•・e=『、~^=3-

7.已知双曲线C：/一冬=l(a>0,QO)的左、右焦点分别为Q,F2,过Q的直线与

C的两条渐近线分别交于A,8两点.若如M=嬴，国5•0=0,则/尸山产2=90°,C的

离心率为2.

[解析I方法1：由启=拔，得A为的中点.

又；。为的中点，/.0A//BF1.

又后及@=0,：.ZFIBF2=90°.

二。尸2=08,；.ZOBF2=ZOF2B.

又：NFIOA=N8OF2,

ZF]OA=ZOF2B,

：.NB0F2=N0F2B=/OBF2,：.AOB尸2为等