《概率的加法公式》课件

3.1.4概率的加法公式

一、互斥事件、事件的并、对立事件1．互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件〔或称为互不相容事件〕;2．事件的并：由事件A和B至少有一个发生〔即A发生，或B发生，或A、B都发生〕所构成的事件C，称为事件A与B的并〔或和〕。记作C=A∪B〔或C=A+B〕。事件A∪B是由事件A或B所包含的根本领件所组成的集合。3．对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件。事件A的对立事件记作.例1.抛掷一颗骰子，观察掷出的点数.设事件A为“出现奇数点”，B为“出现2点”.P(A)=，P(B)=，求“出现奇数点或2点”的概率。这里的事件A和事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件设事件C为““出现奇数点”或2点”，它也是一个随机事件。事件C与事件A、B的关系是：假设事件A和事件B中至少有一个发生，那么C发生；假设C发生，那么A，B中至少有一个发生，我们称事件C为A与B的并(或和)如图中阴影局部所表示的就是A∪B.例2.判断以下各对事件是否是互斥事件，并说明理由。某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中〔1〕恰有1名男生和恰有2名男生；〔2〕至少有1名男生和至少有1名女生；〔3〕至少有1名男生和全是男生；〔4〕至少有1名男生和全是女生。解：〔1〕是互斥事件；〔2〕不可能是互斥事件；〔3〕不可能是互斥事件；〔4〕是互斥事件；例3.判断以下给出的每对事件，〔1〕是否为互斥事件，〔2〕是否为对立事件，并说明理由。从40张扑克牌〔红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1~10各4张〕中，任取1张：〔1〕“抽出红桃”与“抽出黑桃”；〔2〕“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；〔3〕“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”。解：〔1〕是互斥事件，不是对立事件；〔2〕既是互斥事件，又是对立事件；〔3〕不是互斥事件，当然不可能是对立事件；结论：对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件。假定事件A与B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)。二、互斥事件的概率加法公式证明：假定A、B为互斥事件，在n次试验中，事件A出现的频数为n1，事件B出现的频数为n2，那么事件A∪B出现的频数正好是n1+n2，所以事件A∪B的频率为如果用μn(A)表示在n次试验中事件A出现的频率，那么有μn(A∪B)=μn(A)+μn(B).由概率的统计定义可知，P(A∪B)=P(A)+P(B)。一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于概率的和.在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的、并且概率〔或较容易求出〕的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的成效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”.例1中事件C：“出现奇数点或2点”的概率是事件A：“出现奇数点”的概率与事件B：“出现2点”的概率之和，即P(C)=P(A)+P(B)=例4.在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80~89分的概率是0.51,在70~79分的概率是0.15，在60~69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率.解：分别记小明的成绩在90分以上，在80~89分，在70~79分，在60~69分为事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的.根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.小明考试及格的概率为P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.对立事件的概率若事件A的对立事件为A，则P(A)=1－P(A).证明：事件A与A是互斥事件，所以P(A∪A)=P(A)+P(A)，又A∪A=Ω，而由必然事件得到P(Ω)=1,故P(A)=1－P(A).在上面的例题中，若令A=“小明考试及格”,则A=“小明考试不及格”如果求小明考试不及格的概率，那么由公式得P(A)=1－P(A)=1－0.93=0.07.即小明考试不及格的概率是0.07.例5.某战士射击一次，问：〔1〕假设事件A=“中靶”的概率为0.95，那么A的概率为多少？〔2〕假设事件B=“中靶环数大于5”的概率为0.7，那么事件C=“中靶环数小于6”的概率为多少？〔3〕事件D=“中靶环数大于0且小于6”的概率是多少？解：因为A与A互为对立事件，（1）P(A)=1－P(A)=0.05；〔2〕事件B与事件C也是互为对立事件，所以P(C)=1－P(B)=0.3；〔3〕事件D的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中靶的概率，即P(D)=P(C)－P(A)=0.3－0.05=0.25例6.盒内装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球，设事件A为“取出1只红球”，事件B为“取出1只黑球”，事件C为“取出1只白球”，事件D为“取出1只绿球”.P(A)=，P(B)=,P(C)=，P(D)=，求：〔1〕“取出1球为红或黑”的概率；〔2〕“取出1球为红或黑或白”的概率.解：（1）“取出红球或黑球”的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=；（2）“取出红或黑或白球”的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=。又（2）A∪B∪C的对立事件为D，所以P(A∪B∪C)=1－P(D)=即为所求.例7.某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4，〔1〕求他乘火车或乘汽车去的概率；〔2〕求他不乘轮船去的概率；〔3〕如果他乘某种交通工具去开会的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去的？解：记“他乘火车去”为事件A，，“他乘轮船去”为事件B，“他乘汽车去”为事件C，“他乘飞机去”为事件D，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥，〔1〕故P(A∪C)=0.4；〔2〕设他不乘轮船去的概率为P，那么P=1－P(B)=0.8；〔3〕由于0.5=0.1+0.4=0.2+0.3，故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去。练习题：1．每道选择题有4个选择项，其中只有1个选择项是正确的。某次考试共有12道选择题，某人说：“每题选择正确的概率是1/4，我每题都选择第一个选择项，那么一定有3题选择结果正确”这句话〔〕〔A〕正确〔B〕错误〔C〕不一定〔D〕无法解释B2．从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数。在上述事件中，是对立事件的是〔〕〔A〕①〔B〕②④〔C〕③〔D〕①③C3.甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是,乙获胜的概率是，那么甲不胜的概率是〔〕A.B.C.D.B4.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是〔〕A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球”C5.抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，那么A的对立事件为〔〕A.至多两件次品B.至多一件次品C.至多两件正品D.至少两件正品B6.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85)(g)范围内的概率是〔〕A.0.62B.0.38C7.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，假设生产中出现乙级品的概率为0.03、丙级品的概率为0.01，那么对成品抽查一件抽得正品的概率为〔〕A.0.09B.0.98D8.某射手射击一次击中10环、9环、8环的概率分别是0.3，0.3，0.2，那么他射击一次不够8环的概率是

。0.29.某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是

.两次都不中靶10.我国西部一个地区的年降水量在以下区间内的概率如下表所示：年降水量/mm［100，150）［150，200）［200，