2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数-相似三角形专项训练（含答案）

2024成都中考数学二轮复习专题二次函数--相似三角形专项训练（学生版）目标层级图

课中讲解相似三角形存在性问题题型基本分为：已知定角（多以直角出现）与隐含定角（定角为特殊角或已知该角三角函数比值）两大类，当定角确定后：分类讨论，其余两个角对应相等。数形结合，利用相似三角形边的对应关系，最终求得点的坐标或线段的长度。题型：一.与已知直角三角形相似，且已知直角三角形的某边与坐标轴重合或者平行.已知三点坐标，P、Q是线段AO、BO上的动点，确定点P、Q的坐标使得和相似。

例1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）点是直线上方的抛物线上一点，连接、、，与轴交于．①点是轴上一动点，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，求出线段的长；

例2.在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H.（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标。

过关检测1.如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，，已知，．（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布

2.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，线段于点．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，求线段的最大值；（3）如图2，连接、，当与以、、为顶点的三角形相似时，求点的横坐标．

3.抛物线经过点A(t,0)和点B(5t,0).（t>0)(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线相交于C.D两点,点P是抛物线上的动点且位于x轴下方,直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由。

4.直线与轴相交于点,与轴相交于点，抛物线.（1）求点的坐标以及抛物线的解析式；（2）为轴上一个动点，过点垂直于轴的直线与直线和抛物线分别相交于点点在线段OA（不与O,A重合）上运动，若以点为顶点的三角形与相似，求的坐标。

二.与已知非直角三角形相似，且已知三角形某边在坐标轴上（平行）如图：已知抛物线与x轴交点为A、B，在抛物线第三象限上有一点C，在抛物线第二象限上有一点P，使得以P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似.

例1.已知抛物线与轴分别交于点，，交轴于点，抛物线的顶点为点．（1）抛物线的表达式及顶点的坐标．（2）若点是线段上一个动点，①如图1，当的值最小时，求点的坐标；②如图2，以点，，为顶点的三角形能否与相似？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．

例2.如图,二次函数y＝ax2＋bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x＝,线段AD平行于x轴,交抛物线于点D.在y轴上取一点C（0，2）,直线AC交抛物线于点B,连结OA、OB、OD、BD.

（1）求该二次函数的解析式；（2）求点B坐标和坐标平面内使△EOD∽△COB的点E的坐标。

过关检测1.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线，与轴交于，两点，与轴交于点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点是轴上的一点，且以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；

2.在平面直角坐标系中，如图1，抛物线的对称轴为，与轴的交点与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）现将该抛物线沿射线的方向进行平移，平移后的抛物线与直线的交点为、（点在点的下方），与轴的交点为，当△与△相似时，求出点的横坐标．

3.如图，已知抛物线经过点，点，直线经过点，交抛物线于点，点为轴下方抛物线上的动点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点为抛物线的顶点时，在直线轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．图1

4.如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1＝kx2+m（k＜0）与y2＝ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．（1）直接写出这两个二次函数的表达式；（2）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标。

三.已知三角形相似，求其他例题4（高新二诊）、如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）点是直线上方的抛物线上一点，连接、、，与轴交于．①点是轴上一动点，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，求出线段的长；②点为轴左侧抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，请直接写出点的坐标．

过关检测1.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴与轴交于点，连接，点为第二象限抛物线上的一动点，，直线与抛物线交于点，设直线的表达式为．①如图①，直线与抛物线对称轴交于点，若，求、的值；②如图②，直线与轴交于点，与直线交于点，若，求的值．学号：27972458

学习任务1.抛物线经过原点O，顶点A（2，2），且与直线交于B、C两点。（1）求抛物线的解析式及C点的坐标；（2）若点N为x轴上一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O、M、N为顶点的三角形与∆ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

2.O为坐标原点．直线y=kx+b与抛物线同时经过A（0，3）、B（4，0）．（1）求m，n的值；（2）点M是二次函数图象上一点，（点M在AB下方），过M作MN⊥x轴，与AB交于点N，与x轴交于点Q，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在点N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，求出N点坐标，不存在，说明理由。

3.在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和．（1）求此二次函数的表达式；（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由。

4.已知点在抛物线上。（1）求抛物线的解析式；（2）如图2,直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，点P从点C出发,沿射线CD方向匀速运动,速度为每秒个单位长度，同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，，求t的值。2024成都中考数学二轮复习专题二次函数--相似三角形专项训练（解析版）目标层级图说明：本节教案主要针对稳定120分以上的学员的教学使用，通常出现在B25（2）和（3）小问。本节内容对已知相似三角形和未知需要求相似三角形的直角（可转换成三角函数值的思维）三角形的相似、非直角(夹角)三角形的相似类型进行入手讲解。此节为解决学生对二次函数与相似三角形畏难心态、薄弱的知识得到好的改善，帮助B25拿分。为更加熟练的掌握相似三角形的性质和二次函数的性质。

课中讲解相似三角形存在性问题题型基本分为：已知定角（多以直角出现）与隐含定角（定角为特殊角或已知该角三角函数比值）两大类，当定角确定后：分类讨论，其余两个角对应相等。数形结合，利用相似三角形边的对应关系，最终求得点的坐标或线段的长度。题型：1.与已知直角三角形相似，且已知直角三角形的某边与坐标轴重合或者平行.已知三点坐标，P、Q是线段AO、BO上的动点，确定点P、Q的坐标使得和相似。

例1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）点是直线上方的抛物线上一点，连接、、，与轴交于．①点是轴上一动点，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，求出线段的长；【解答】解：（1）将、、代入得，，解得：，抛物线的解析式为：；（2）①将代入中，得，解得或1（舍去），，、，，，，，，，，（Ⅰ）当时，，与点重合，，（Ⅱ）当时，，，，故：的长为或2；例2.在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H.（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标。【解析】：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax∵抛物线过点A(-3，0),B(1，0)，D(0，3)，∴9a−3b+c=0a+b+c=0∴抛物线解析式为y=−x（2）若点P在对称轴左侧（如图2），只能是△CPQ∽△ACH，得∠PCQ=∠CAH，∴PQCQ分别过点C、P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，交点为M和N，由△CQM∽△QPN，得PQCQ∵∠MCQ=45°，设CM=m，则MQ=m，PN=QN=2m，MN=3m，∴P点坐标为(-m-1，4-3m)，将点P坐标代入抛物线解析式，得−m+1解得m=3，或m=0(与点C重合，舍去)∴P点坐标为(-4，-5)；②∴PQCQ延长CD交x轴于M，∴M(3，0)过点M作CM垂线，交CP延长线于点F，作FN⊥x轴于点N，∴PQCQ∵∠MCH=45°，CH=MH=4∴MN=FN=2，∴F点坐标为(5，2)，∴直线CF的解析式为y=−1联立抛物线解析式，得y=−13x+113综上所得，符合条件的P点坐标为(-4，-5)，(−23，

过关检测（15mins）1.如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，，已知，．（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）把，代入，得，解得：．抛物线的解析式为联立，解得：或，点的坐标为．如图1．，，，，，，，是直角三角形，，；（Ⅱ）方法一：（1）存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似．过点作轴于，则．设点的横坐标为，由在轴右侧可得，则．，，．若点在点的下方，①如图2①，当时，则．，，，．．则．把代入，得，整理得：解得：（舍去），（舍去）．②如图2②，当时，则．同理可得：，则，把代入，得，整理得：解得：（舍去），，，；若点在点的上方，①当时，则，同理可得：点的坐标为．②当时，则．同理可得：点的坐标为，．综上所述：满足条件的点的坐标为、，、，；方法二：作的“外接矩形”，易证，，以，，为顶点的三角形与相似，或，设，，，①，，，，②，，，（舍，满足题意的点的坐标为、，、，；（2）方法一：过点作轴于，如图3．在中，，即，点在整个运动中所用的时间为．作点关于的对称点，连接，则有，，，，．根据两点之间线段最短可得：当、、三点共线时，最小．此时，，四边形是矩形，，．对于，当时，有，解得：，．，，，，点的坐标为．方法二：作点关于的对称点，交于点，显然，作轴，垂足为，交直线于点，如图4，在中，，即，当、、三点共线时，最小，，，，，，，，，，，，为的中点，，，．方法三：如图，5，过作射线轴，过作射线轴，与交于点．，，．，，，，．．当且仅当时，取得最小值，点在整个运动中用时最少为：，抛物线的解析式为，且，可求得点坐标为则点横坐标为2，将代入．，得．所以．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布2.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，线段于点．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，求线段的最大值；（3）如图2，连接、，当与以、、为顶点的三角形相似时，求点的横坐标．【解析】：解：（1）将，代入，得：，解得：，抛物线的解析式为．（2）在图1中，过点作轴，垂足为，交于点．当时，，点的坐标为．设直线的解析式为，将，代入，得：，解得：，直线的解析式为．设点的坐标为，，则点的坐标为，．在中，，，．轴，，．，，，，当时，取得最大值，最大值为．3.抛物线经过点A(t,0)和点B(5t,0).（t>0)(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线相交于C.D两点,点P是抛物线上的动点且位于x轴下方,直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由。【解析】：解：（1）将A（t，0）、B（5t，0）代入y＝x2+bx+5，得：，解得：，．∵t＞0，∴b＝﹣6，∴该抛物线所对应的函数解析式为y＝x2﹣6x+5．（2）∵∠CQN＝∠PMB＝90°，∴若△CNQ与△PBM相似，则有＝或＝．设点P的坐标为（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则点N的坐标为（x，2x+5），点M的坐标为（x，0），点Q的坐标为（x，5），∴CQ＝x，NQ＝2x，PM＝﹣x2+6x﹣5，BM＝5﹣x．当＝时，有＝，解得：x1＝，x2＝5（舍去），∴点P的坐标为（，﹣）；当＝时，有＝，解得：x3＝3，x4＝5（舍去），∴点P的坐标为（3，﹣4）．综上，存在点P，使得△CNQ与△PBM相似，点P的坐标为（，﹣）或（3，﹣4）．4.直线与轴相交于点,与轴相交于点，抛物线.（1）求点的坐标以及抛物线的解析式；（2）为轴上一个动点，过点垂直于轴的直线与直线和抛物线分别相交于点点在线段OA（不与O,A重合）上运动，若以点为顶点的三角形与相似，求的坐标。【解析】：解：（1）∵y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，∴0＝﹣2+c，解得c＝2，∴B（0，2），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）由（1）可知直线解析式为y＝﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∴PM＝﹣m+2，AM＝3﹣m，PN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，①当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；②当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，∵∠NBP＝90°，∴∠NBC+∠ABO＝90°∴∠ABO＝∠BNC，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，∴＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；综上，以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M坐标（，0）或（，0）

二.与已知非直角三角形相似，且已知三角形某边在坐标轴上（平行）如图：已知抛物线与x轴交点为A、B，在抛物线第三象限上有一点C，在抛物线第二象限上有一点P，使得以P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似.

例1.已知抛物线与轴分别交于点，，交轴于点，抛物线的顶点为点．（1）抛物线的表达式及顶点的坐标．（2）若点是线段上一个动点，①如图1，当的值最小时，求点的坐标；②如图2，以点，，为顶点的三角形能否与相似？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．【分析】（1）抛物线的表达式为：，故，解得：，即可求解；（2）①点的坐标为：，点，点，作点关于直线的对称轴，连接交于点，则点为所求点，即可求解；②当时，，，直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为，联立直线、的表达式并解得：，故点，；当时，，，，直线的解析式为，将上式与联立并解得：，即可求解．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：，故，解得：，故抛物线的表达式为：，函数的对称轴为：，故顶点的坐标为：；（2）①点的坐标为：，点，点，作点关于直线的对称轴，连接交于点，则点为所求点，为最小，连接，设直线交于点，由点、的坐标得，直线的表达式为：①，则，设，则，则，，，，，同理，故点，，由点、的坐标得，直线的表达式为：②，联立①②并解得：，，则点，；②在中，，在中，，，，，，若以，，为顶点的三角形与相似，则可分两种情况考虑：当时，，，设直线的解析式为，将点、的坐标代入上式并解得：直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为，联立直线、的表达式并解得：，故点，；当时，，，，直线的解析式为，将上式与联立并解得：，故点；综合以上可得点的坐标为，或．例2.如图,二次函数y＝ax2＋bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x＝,线段AD平行于x轴,交抛物线于点D.在y轴上取一点C（0，2）,直线AC交抛物线于点B,连结OA、OB、OD、BD.

（1）求该二次函数的解析式；（2）求点B坐标和坐标平面内使△EOD∽△COB的点E的坐标。【解析】：解：（1）∵y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），且对称轴是直线x＝﹣1.5，∴，解得：，∴二次函数的解析式为y＝x2+3x；（2）如图1，∵点A（1，4），线段AD平行于x轴，∴D的纵坐标为4，∴4＝x2+3x，∴x1＝﹣4，x2＝1，∴D（﹣4，4）．设直线AC的解析式为y＝kx+b，由题意，得，解得：，∴y＝2x+2；当2x+2＝x2+3x时，解得：x1＝﹣2，x2＝1（舍去）．∴y＝﹣2．∴B（﹣2，﹣2）．∴DO＝4，BO＝2，BD＝2，OA＝．∴DO2＝32，BO2＝8，BD2＝40，∴DO2+BO2＝BD2，∴△BDO为直角三角形．∵△EOD∽△AOB，∴∠EOD＝∠AOB，＝2，∴∠AOB﹣∠AOD＝∠EOD﹣∠AOD，∴∠BOD＝∠AOE＝90°．即把△AOB绕着O点顺时针旋转90°，OB落在OD上B′，OA落在OE上A1∴A1（4，﹣1），∴E（8，﹣2）．作△AOB关于x轴的对称图形，所得点E的坐标为（2，﹣8）．∴当点E的坐标是（8，﹣2）或（2，﹣8）时，△EOD∽△AOB过关检测（15mins）1.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线，与轴交于，两点，与轴交于点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点是轴上的一点，且以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；【解答】解：（1）点，在抛物线上，，， 抛物线的表达式为，（2）如图1，令，则，，，，，，要使以，，为顶点的三角形与相似，，则有或①当时，，，②当时，，，即：的坐标为或．2.在平面直角坐标系中，如图1，抛物线的对称轴为，与轴的交点与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）现将该抛物线沿射线的方向进行平移，平移后的抛物线与直线的交点为、（点在点的下方），与轴的交点为，当△与△相似时，求出点的横坐标．【解析】：解：（1）由对称性可知设抛物线解析式为将代入得．（2）由点，得直线的解析式为设点坐标为，由平移的性质，可知平移距离为当△与△相似时，只有当△△过点作的平行线，交原抛物线于点，连接，由平移知四边形为平行四边形，点的纵坐标为设点的横坐标为，则点坐标为，①将点代入得，②联立①②，解得：，，，或（舍点的横坐标为．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布3.如图，已知抛物线经过点，点，直线经过点，交抛物线于点，点为轴下方抛物线上的动点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点为抛物线的顶点时，在直线轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．图1【解析】：4.如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1＝kx2+m（k＜0）与y2＝ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．（1）直接写出这两个二次函数的表达式；（2）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标。【解析】:解：（1）∵点A（1，0），B（0，1）在二次函数y1＝kx2+m（k＜0）的图象上，∴∴∴二次函数解析式为y1＝﹣x2+1，∵点A（1，0），D（0，﹣3）在二次函数y2＝ax2+b（a＞0）的图象上，∴，∴，∴二次函数y2＝3x2﹣3；（2）在Rt△AOD中，OA＝1，OD＝3，∴AD＝＝，同理：CD＝，在Rt△BOC中，OB＝OC＝1，∴BC＝＝，①如图1，当△DBC∽△DAE时，∵∠CDB＝∠ADO，∴在y轴上存在E，由，∴，∴DE＝，∵D（0，﹣3），∴E（0，﹣）由对称性知，在直线DA右侧还存在一点E'使得△DBC∽△DAE'，连接EE'交DA于F点，作E'M⊥OD于M，连接E'D，∵E，E'关于DA对称，∴DF垂直平分线EE'，∴△DEF∽△DAO，∴，∴，∴DF＝，EF＝，∵S△DEE'＝DE•E'M＝EF×DF＝，∴E'M＝，∵DE'＝DE＝，在Rt△DE'M中，DM＝＝2，∴OM＝1，∴E'（，﹣1）②如图2，当△DBC∽△ADE时，有∠BDC＝∠DAE，，∴，∴AE＝，当E在直线AD左侧时，设AE交y轴于P，作EQ⊥AC于Q，∵∠BDC＝∠DAE＝∠ODA，∴PD＝PA，设PD＝n，∴PO＝3﹣n，PA＝n，在Rt△AOP中，PA2＝OA2+OP2，∴n2＝（3﹣n）2+1，∴n＝，∴PA＝，PO＝，∵AE＝，∴PE＝，在AEQ中，OP∥EQ，∴，∴OQ＝，∵，∴QE＝2，∴E（﹣，﹣2），当E'在直线DA右侧时，根据勾股定理得，AE＝＝，∴AE'＝∵∠DAE'＝∠BDC，∠BDC＝∠BDA，∴∠BDA＝∠DAE'，∴AE'∥OD，∴E'（1，﹣），综上，使得△BDC与△ADE相似（其中点C与E是对应顶点）的点E的坐标有4个，即：（0，﹣）或（，﹣1）或（1，﹣）或（﹣，﹣2）．

三.已知三角形相似，求其他例题4（高新二诊）、如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）点是直线上方的抛物线上一点，连接、、，与轴交于．①点是轴上一动点，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，求出线段的长；②点为轴左侧抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为，若，请直接写出点的坐标．【解答】解：（1）将、、代入得，，解得：，抛物线的解析式为：；（2）①将代入中，得，解得或1（舍去），，、，，，，，，，，（Ⅰ）当时，，与点重合，，（Ⅱ）当时，，，，故：的长为或2；②点的坐标为，或，，（Ⅰ）过点作于点，过点作于点，，又，，，，，，，，，直线的解析式为，，，，，，，又，点的纵坐标为3，代入中，得：或0（舍去），，，，，，设，则，，，解得，，点的橫坐标为，代入，得：，点的坐标为，．（Ⅱ）过点作，过点作于点，过点作于点，，，由（Ⅰ）知：，则，，又，，，，，由（Ⅰ）知：，则，设，则，，，，，，，又，，代入中，得，或0（舍去），，点的橫坐标为，代入，得，．点的坐标为．综合以上可得点的坐标为，或．过关检测1、（12分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴与轴交于点，连接，点为第二象限抛物线上的一动点，，直线与抛物线交于点，设直线的表达式为．①如图①，直线与抛物线对称轴交于点，若，求、的值；②如图②，直线与轴交于点，与直线交于点，若，求的值．【解答】解：（1）将代入，得，，抛物线的函数表达式为；（2）①如图1，过点作，垂足为点，在中，令，得，，，设直线的解析式为，将点代入，得，，直线的表达式为，抛物线的对称轴为，，，，在中，，，，，，，设，在中，，，，，，，将点，代入中，得（不合题意，舍去），，点，，，的表达式为，将点，，代入，得，，，；②如图2，分别过点、、作轴的垂线，垂足分别为、、，联立，得点，，联立，得，设点、的横坐标分别为，，则，由，可得，，，，，，，，．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2020/5/2221:57:38；用户：cdxdfcs1v11；邮箱：cdxdfcs1v11@；学号：27972458学习任务1.抛物线经过原点O，顶点A（2，2），且与直线交于B、C两点。（1）求抛物线的解析式及C点的坐标；（2）若点N为x轴上一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O、M、N为顶点的三角形与∆ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。【解析】：（2）2.O为坐标原点．直线y=kx+b与抛物线同时经过A（0，3）、B（4，0）．（1）求m，n的值；（2）点M是二次函数图象上一点，（点M在AB下方），过M作MN⊥x轴，与AB交于点N，与x轴交于点Q，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在点N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，求出N点坐标，不存在，说明