2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数-将军饮马问题专项训练（含答案）

2024成都中考数学二轮复习专题二次函数--将军饮马问题专项训练（学生版）目标层级图

课中讲解一.两条线段之和最小内容讲解例1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y＝．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

过关检测1.已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D．（1）抛物线的表达式及顶点D的坐标．（2）若点F是线段AD上一个动点，如图1，当FC+FO的值最小时，求点F的坐标；2.如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（5，0），与y轴相交于点C（0，）．（1）求该函数的表达式；（2）设E为对称轴上一点，连接AE、CE；①当AE+CE取得最小值时，点E的坐标为；

二.绝对值之差最大值内容讲解例1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+x+，分别交x轴于A与B点，交y轴于点C，顶点为D，连接AD．（1）如图1，P是抛物线的对称轴上一点，当AP⊥AD时，求P的坐标；（2）在（1）的条件下，在直线AP上方、对称轴右侧的抛物线上找一点Q，过Q作QH⊥x轴，交直线AP于H，过Q作QE∥PH交对称轴于E，当▱QHPE周长最大时，在抛物线的对称轴上找一点，使|QM﹣AM|最大，并求这个最大值及此时M点的坐标．

例2.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，点E（2，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线AE上方抛物线上的一动点，连接PA、PE．当△PAE的面积S△PAE最大时，在抛物线的对称轴上找一点F，使|FE﹣FP|的值最大，求|FE﹣FP|的最大值；

过关检测1.如图，已知直线l：y＝﹣1和抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0），抛物线L的顶点为原点，且经过点，直线y＝kx+1与y轴交于点F，与抛物线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．（1）求抛物线L的解析式；（2）点P是抛物线L上一动点．①以点P为圆心，PF为半径作⊙P，试判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由；②若点Q（2，3），当|PQ﹣PF|的值最大时，求点P的坐标；

2.如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且交y轴于点C，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M．（1）求该抛物线的解析式．（2）在抛物线上是否存在一点N，使得|MN﹣ON|的值最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

三.线段之和最小值内容讲解例1.如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值．

例2.在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴对称的点为D．（1）求点D的坐标及直线AD的解析式；（2）如图1，连接CD、AD、BD，点M为线段CD上一动点，过M作MN∥BD交线段AD于N点，点P、Q分别是y轴、线段BD上的动点，当△CMN的面积最大时，求线段之和MP+PQ+QO的最小值；

过关检测1.综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

2.如图1，已知二次函数y＝mx2+3mx﹣m的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D和点B关于过点A的直线l：y＝﹣x﹣对称．（1）求A、B两点的坐标及二次函数解析式；（2）如图2，作直线AD，过点B作AD的平行线交直线l于点E，若点P是直线AD上的一动点，点Q是直线AE上的一动点．连接DQ、QP、PE，试求DQ+QP+PE的最小值；若不存在，请说明理由：

学习任务1.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N其顶点为D．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）求直线AC的解析式；（3）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；2.如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；

3.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值．2024成都中考数学二轮复习专题二次函数--将军饮马问题专项训练（解析版）目标层级图备注：本节内容主要是二次函数之将军饮马类问题，包括三个部分，两条线段之和最小，绝对值之差最大值以及三条线段之和最小值，难度不大。因为将军饮马基础模型和变式在之前的讲义中都详细讲解过，所以在本节内容中就不再赘述基础模型，老师可根据学生具体掌握情况进行补充。其中绝对值之差最小值题型考的不多，但是老师可以自行补充，绝对值之差最小值即动点位于定点线段的中垂线上。

课中讲解一.两条线段之和最小内容讲解例1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y＝．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）y＝，过点B，C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，），则c＝，将点B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）分∠PCM＝90°、∠CPM＝90°两种情况，分别求解即可；（3）作点E关于P′B′的对称点E′，将点E′沿P′B′方向平移2个单位得到点E″，连接E、E″交P′B′所在的直线于点B′，点B′沿P′B′方向平移2个单位得到点P′，则点P′、B′为所求，即可求解．【解答】解：（1）y＝，过点B，C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，），则c＝，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+；（2）①当∠PCM＝90°时，由点A、B、C的坐标知，△ABC为直角三角形，故AC⊥BC，当△PCM为直角三角形时，点P与点A重合，∴点P（﹣1，0）；②当∠CPM＝90°时，则点C、P关于函数对称轴对称，此时点P（2，），故点P的坐标为（﹣1，0）或（2，）；（3）存在，理由：点P（2，），设图象沿BC方向向左平移3m个单位，则向上平移m个单位，则平移后点B′、P′的坐标分别为：（3﹣3m，m）、（2﹣3m，m+），点E（1，0），分别过点A、E作直线BC的平行线n、m，过点B′作直线m的对称点B″，则EB′＝EB″，当B″、E、P′三点共线时，EB'+EP'＝EB″+EP′＝B″P′最小；点E是AB的中点，则直线m与直线n、直线m与直线BC等距离，则点B″在直线n上，直线BC的倾斜角为30°，则直线B′B″的倾斜角为60°，则设直线B′B″的表达式为：y＝x+b，将点B′的坐标代入上式并解得：直线B′B″表达式为：y＝x+（4m﹣3）…①，设过点A的直线n的表达式为：y＝﹣x+b′，将点A的坐标代入上式并解得：直线n的表达式为：y＝﹣（x+1）…②，联立①②并解得：x＝2﹣3m，故点B″（2﹣3m，m﹣），而P′（2﹣3m，m+），故EB'+EP'的最小值B″P′＝2．过关检测1.已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为点D．（1）抛物线的表达式及顶点D的坐标．（2）若点F是线段AD上一个动点，如图1，当FC+FO的值最小时，求点F的坐标；【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，即可求解；（2）①点D的坐标为：（﹣1，4），点A（﹣3，0），点C（0，3），作点O关于直线AD的对称轴R，连接CR交AD于点F，则点F为所求点，即可求解；【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3，函数的对称轴为：x＝﹣1，故顶点D的坐标为：（﹣1，4）；（2）①点D的坐标为：（﹣1，4），点A（﹣3，0），点C（0，3），作点O关于直线AD的对称轴R，连接CR交AD于点F，则点F为所求点，FC+FO＝FC+RF＝CR为最小，连接AR，设直线OR交AD于点H，由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝2x+6①，则tan∠DAO＝2＝tanα，设∠HOA＝∠β，则tanβ＝，则cosβ＝，sinβ＝，OH＝AO•cosβ＝，OR＝2OH＝，yR＝ORsinβ＝，同理xR＝﹣，故点R（﹣，），由点R、C的坐标得，直线RC的表达式为：y＝x+3…②，联立①②并解得：x＝﹣，y＝，则点F（﹣，）；2.如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（5，0），与y轴相交于点C（0，）．（1）求该函数的表达式；（2）设E为对称轴上一点，连接AE、CE；①当AE+CE取得最小值时，点E的坐标为（2，）；【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x2﹣4x﹣5），故﹣5a＝，解得：a＝﹣，即可求解；（2）①点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点E，则点E为所求，即可求解；【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣5）＝a（x2﹣4x﹣5），故﹣5a＝，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+；（2）①函数的对称轴为：x＝2，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点E，则点E为所求，由点B、C的坐标得，BC的表达式为：y＝﹣x+，当x＝2时，y＝，故答案为：（2，）；二.绝对值之差最大值内容讲解例1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+x+，分别交x轴于A与B点，交y轴于点C，顶点为D，连接AD．（1）如图1，P是抛物线的对称轴上一点，当AP⊥AD时，求P的坐标；（2）在（1）的条件下，在直线AP上方、对称轴右侧的抛物线上找一点Q，过Q作QH⊥x轴，交直线AP于H，过Q作QE∥PH交对称轴于E，当▱QHPE周长最大时，在抛物线的对称轴上找一点，使|QM﹣AM|最大，并求这个最大值及此时M点的坐标．【分析】（1）求出点A、B、C、D的坐标，设直线AP的表达式为：y＝﹣x+b，将点A的坐标代入上式，即可求解；（2）设点Q（x，﹣x2+x+），则点H（x，﹣x﹣），PH＝，可求出点Q（10，﹣9），取点A关于对称轴的对称点A′（6，0），连接QA′，此时，|QM﹣AM|最大，即可求解；【解答】解：（1）y＝﹣x2+x+，令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝﹣2或6，故点A、B、C、D的坐标分别为（﹣2，0）、（6，0）、（0，）、（2，3），直线AD表达式中的k值为：，AP⊥AD，则直线AP表达式中的k值为﹣，设直线AP的表达式为：y＝﹣x+b，将点A的坐标代入上式并解得：b＝﹣，则直线AP的表达式为：y＝﹣x﹣，当x＝2时，y＝﹣，故点P（2，﹣）；（2）设点Q（x，﹣x2+x+），则点H（x，﹣x﹣），PH＝＝＝，▱QHPE周长＝2（PH+QH）＝2（﹣x2+x++x++）＝﹣x2+x+，当x＝﹣＝10时，周长取得最大值，此时，点H（10，﹣16）、点Q（10，﹣9），取点A关于对称轴的对称点A′（6，0），连接QA′，交函数对称轴于点M，此时，|QM﹣AM|最大，将点A′、Q的坐标代入一次函数表达式并解得：直线A′Q的表达式为：y＝﹣x+，当x＝2时，y＝9，故点M（2，9）；最大值为QA′＝＝；例2.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，点E（2，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线AE上方抛物线上的一动点，连接PA、PE．当△PAE的面积S△PAE最大时，在抛物线的对称轴上找一点F，使|FE﹣FP|的值最大，求|FE﹣FP|的最大值；【分析】（1）利用待定系数法求直线AE的解析式即可；（2）如图1，作铅直高度PD，即y轴的平行线PD，设P（t，），表示PD的长，代入S△PAE＝×（xE﹣xA）×PD可得二次函数，顶点坐标即最值，得当t＝0时，S△PAE最大，此时点P（0，），作点P关于抛物线对称轴的对称点P'，过点P'、E作直线P'E，交抛物线的对称轴于点F，根据“三角形两边之差小于第三边”，当三点F、E、P'共线时，|FE﹣FP'|的值最大．【解答】解：（1）当y＝0时，即，∴x1＝﹣2，x2＝3，∴A（﹣2，0），B（3，0），当x＝2时，∴E（2，）…………（2分）设直线AE的解析式为：y＝kx+b，则有，得∴直线AE的解析式为：……………（3分）（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交直线AE于点D，设P（t，）（﹣2＜t＜2），∴D（t，），∴PD＝，设点A的横坐标为xA，点E的横坐标为xE，S△PAE＝×（xE﹣xA）×PD＝（﹣）＝，………（5分）图2∴当t＝0时，S△PAE最大，此时点P（0，），即抛物线与y轴的交点．∵抛物线的对称轴为，则如图2，作点P关于抛物线对称轴的对称点P'，过点P'、E作直线P'E，交抛物线的对称轴于点F，则|FE﹣FP|＝|FE﹣FP'|＝P'E，根据“三角形两边之差小于第三边”，当三点F、E、P'共线时，|FE﹣FP'|的值最大．……………（6分）由点关于直线的对称性知P'为（1，），∴，∴|FE﹣FP|的最大值为．…（8分）过关检测1.如图，已知直线l：y＝﹣1和抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0），抛物线L的顶点为原点，且经过点，直线y＝kx+1与y轴交于点F，与抛物线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．（1）求抛物线L的解析式；（2）点P是抛物线L上一动点．①以点P为圆心，PF为半径作⊙P，试判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由；②若点Q（2，3），当|PQ﹣PF|的值最大时，求点P的坐标；【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝ax2，将点A坐标代入上式，即可求解；（2）①点F（0，1），设：点P（m，m2），则PF＝＝m2+1，而点P到直线l的距离为：m2+1，即可求解；②当点P、Q、F三点共线时，|PQ﹣PF|最大，即可求解；【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝ax2，将点A坐标代入上式得：＝a（2）2，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2…①；（2）①点F（0，1），设：点P（m，m2），则PF＝＝m2+1，而点P到直线l的距离为：m2+1，则⊙P与直线l的位置关系为相切；②当点P、Q、F三点共线时，|PQ﹣PF|最大，将点FQ的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线FQ的函数表达式为：y＝x+1…②，联立①②并解得：x＝2±2，故点P的坐标为：（2+2，3+2）或（2﹣2，3﹣2）；2.如图，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且交y轴于点C，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M．（1）求该抛物线的解析式．（2）在抛物线上是否存在一点N，使得|MN﹣ON|的值最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据三角形两边之和大于第三边，可得N在直线OM上，根据解方程组，可得答案；【解答】解：（1）将A、B两点代入解析式，得，解得．故抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3（2）存在点N使得|MN﹣ON|的值最大．过程如下：如图1：作直线OM交抛物线于两点，则两交点即为N点，y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1．设BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，3）代入函数解析式，得，解得，BC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，即M（1，2）．设直线OM的解析式为y＝kx，将M（1，2）代入函数解析式，得k＝2．直线OM的解析式为y＝2x．联立抛物线与直线OM的解析式，可得解得：，∴存在点N，其坐标为N1（，2），N2（﹣，﹣2）三.线段之和最小值内容讲解例1.如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）连接BC交DE于点M，此时MA+MC最小，进而求解；．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；（2）如下图，连接BC交DE于点M，此时MA+MC最小，又因为AC是定值，所以此时△AMC的周长最小．由题意可知OB＝OC＝3，OA＝1，∴BC＝＝3，同理AC＝，∴此时△AMC的周长＝AC+AM+MC＝AC+BC＝+3；∵DE是抛物线的对称轴，与x轴交点A（1，0）和B（3，0），∴AE＝BE＝1，对称轴为x＝2，由OB＝OC，∠BOC＝90°得∠OBC＝45°，∴EB＝EM＝1，又∵点M在第四象限，在抛物线的对称轴上，∴M（2，﹣1）；例2.在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴对称的点为D．（1）求点D的坐标及直线AD的解析式；（2）如图1，连接CD、AD、BD，点M为线段CD上一动点，过M作MN∥BD交线段AD于N点，点P、Q分别是y轴、线段BD上的动点，当△CMN的面积最大时，求线段之和MP+PQ+QO的最小值；【分析】（1）根据题意可得A，B，C坐标，根据对称可求D点坐标，用待定系数法可求AD解析式（2）作DH⊥AB，MT⊥AB，交AD于T，作NK⊥MT，设M（m，2），则T（m，m+），根据相似三角形可得MK＝MT，用m表示△CMN的面积，根据二次函数的最值问题，可求M点坐标，作M关于y轴对称点M1（﹣，2），作O关于BD的对称点O1（，），根据两点之间线段最短，可求MP+PQ+QO的最小值；【解答】解：（1）令x＝0，则y＝2∴C（0，2）∵对称轴为x＝＝，且C，D关于对称轴对称∴D（，2）令y＝0，则0＝﹣x2+x+2∴x1＝﹣，x2＝2∴A（﹣，0），B（2，0）设直线AD解析式y＝kx+b解得：k＝1，b＝∴直线AD解析式y＝x+（2）如图1：作DH⊥AB，MT⊥AB，交AD于T，作NK⊥MT设M（m，2），则T（m，m+）∵A（﹣，0），D（，2）∴AH＝DH∴∠DAH＝∠ADH＝45°＝∠CDA∵MT∥DH，KN∥CD∴∠KNT＝∠KTN＝45°＝∠CDA∴KT＝KN，MT＝MD∵MN∥BD，∴∠MND＝∠ADB且∠CDA＝∠DAB∴△ADB∽△MND∴∴ND＝MD∵DT＝MD∴NT＝MD∵KN∥CD∴＝∴KT＝MT∴KM＝MT＝（﹣m）∴S△CMN＝CM×KM＝m×（﹣m）＝﹣m2+m∴当m＝时，S△CMN最大值．∴M（，2）如图2作M关于y轴对称点M1（﹣，2），作O关于BD的对称点O1（，）∵MP+PQ+OQ＝M1P+PQ+O1Q∴M1，P，Q，O1共线时，MP+PQ+OQ值最小∴最小值为M1Q1＝过关检测1.综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．【分析】方法一：（1）根据抛物线的解析式可得出A、B、C、D的坐标，设AC解析式为y＝k1x+b1（k1≠0），利用待定系数法求解即可．（2）先根据题意结合图形，画出点P和点Q的位置，然后利用平行线的性质，及抛物线上点的坐标特点可求出三个Q的坐标．（3）因为BD的长固定，要使△BDM的周长最小，只需满足BM+DM的值最小即可，作点B关于AC的对称点B′，连接B′D，则与AC交点即是点M的位置，然后利用相似三角形的性质求出B′的坐标，得出B′D的解析式，继而联立AC与B′D的解析式可得出点M的坐标．方法二：（1）先求出点A，C坐标，并求出直线AC方程．（2）先用参数表示P点坐标，用坐标平移法表示出Q点参数坐标，把Q点坐标代入抛物线，求出Q点坐标．（3）找出点B关于直线AC的对称点B’，根据斜率垂直公式，利用直线AC的斜率求出直线BB’的斜率，从而求出BB’的直线方程，与AC直线方程联立，并求出F点，再利用黄金法则五，求出B’坐标，最后求出B’D与AC的交点M．【解答】方法一：解：（1）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3．∵点A在点B的左侧，∴A、B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．当x＝0时，y＝3．∴C点的坐标为（0，3）设直线AC的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0），则，解得，∴直线AC的解析式为y＝3x+3．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）．（2）抛物线上有三个这样的点Q，①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，﹣3）；③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）；综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）．（3）过点B作BB′⊥AC于点F，使B′F＝BF，则B′为点B关于直线AC的对称点．连接B′D交直线AC于点M，则点M为所求，过点B′作B′E⊥x轴于点E．∵∠1和∠2都是∠3的余角，∴∠1＝∠2．∴Rt△AOC∽Rt△AFB，∴，由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA＝1，OB＝3，OC＝3，∴AC＝，AB＝4．∴，∴BF＝，∴BB′＝2BF＝，由∠1＝∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，∴，∴，即．∴B′E＝，BE＝，∴OE＝BE﹣OB＝﹣3＝．∴B′点的坐标为（﹣，）．设直线B′D的解析式为y＝k2x+b2（k2≠0）．∴，解得，∴直线B′D的解析式为：y＝x+，联立B′D与AC的直线解析式可得：，解得，∴M点的坐标为（，）．方法二：（1）略．（2）略．（3）设B点关于直线AC的对称点为B′，显然BB′被直线AC垂直平分，交点为F．由BB′⊥AC，∴KBB′×KAC＝﹣1，∵KAC＝3，∴KBB′＝﹣，设BB′直线方程为y＝﹣x+b，∵B（3，0），∴⇒F（﹣，），∵点F为BB′的中点，∴FX＝，FY＝，∴B′（﹣，），∵D（1，4），∴⇒M（，），∴△BDM的周长最小时，点M的坐标为（，）．2.如图1，已知二次函数y＝mx2+3mx﹣m的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D和点B关于过点A的直线l：y＝﹣x﹣对称．（1）求A、B两点的坐标及二次函数解析式；（2）如图2，作直线AD，过点B作AD的平行线交直线l于点E，若点P是直线AD上的一动点，点Q是直线AE上的一动点．连接DQ、QP、PE，试求DQ+QP+PE的最小值；若不存在，请说明理由：【分析】（1）令y＝0，可求A，B点坐标，由直线：y＝﹣x﹣与x轴所成锐角为30°，可求D点坐标，代入可求解析式．（2）由A，D两点可求AD解析式，BE∥AD，可求BE解析式，即可求E点坐标，作点P关于AE的对称点P'，作点E关于x轴的对称点E'，由对称性可得PQ＝P'Q，PE＝EP'＝P'E'，则DQ+PQ+PE＝DQ+P'Q+P'E'，所以当D，Q，E'三点共线时，DQ+PQ+PE值最小，即求DE'的长度．【解答】解：（1）∵令y＝0，∴0＝mx2+3mx﹣m∴x1＝，x2＝﹣∴A（﹣，0），B（，0）∴顶点D的横坐标为﹣∵直线y＝﹣x﹣与x轴所成锐角为30°，且D，B关于y＝﹣x﹣对称．∴∠DAB＝60°，且D点横坐标为﹣∴D（﹣，﹣3）∴﹣3＝m﹣m﹣m∴m＝∴抛物线解析式y＝x2+x﹣（2）∵A（﹣，0），D（﹣，﹣3）∴直线AD解析式y＝﹣x﹣∵直线BE∥AD∴直线BE解析式y＝﹣x+∴﹣x﹣＝﹣x+∴x＝∴E（，﹣3）如图2，作点P关于AE的对称点P'，作点E关于x轴的对称点E'根据对称性可得PQ＝P'Q，PE＝EP'＝P'E'∴DQ+PQ+PE＝DQ+P'Q+P'E'∴当D，Q，E'三点共线时，DQ+PQ+PE值最小即DQ+PQ+PE最小值为DE'∵D（﹣，﹣3），E'（，3）∴DE'＝12∴DQ+PQ+PE最小值为12

学习任务1.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N其顶点为D．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）求直线AC的解析式；（3）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；【分析】（1）把点A、C的坐标代入抛物线解析式求出b、c的值，即可得到抛物线解析式，再整理成顶点式形式，然后写出顶点D的坐标；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；（3）求出点D关于直线x＝3的对称点D′，根据轴对称确定最短路线问题，连接D′N与直线x＝3的交点即为所求的点M，然后利用待定系数法求出直线D′N的解析式，再令x＝3求解即可得到m的值；【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，∴直线AC的解析式为y＝x+1；（3）∵点D（1，4），点（3，m）在直线x＝3上，∴点D关于直线x＝3的对称点D′坐标为（5，4），令x＝0，则y＝3，所以，点N的坐标为（0，3），设直线D′N的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，所以，y＝x+3，当x＝3时，y＝×3+3＝，所以，m＝；2.如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），