2024成都中考数学二轮复习微专题 利用垂线段最短解决最值问题 （含答案）

2024成都中考数学二轮复习微专题利用垂线段最短解决最值问题模型一点到直线的所有线段中，垂线段最短模型分析如图，已知直线l外一定点A和直线l上一动点B，求A、B之间距离的最小值．通常过点A作直线l的垂线AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．模型应用1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ADC＝60°，AB＝6，若点P为AD上的动点，连接OP，则OP的最小值为________．第1题图2.如图，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，点P是对角线AC上一动点，连接DP，以DP、CP为邻边作▱DPCQ，连接PQ，则线段PQ的最小值为________．第2题图模型二“胡不归”问题模型分析问题：点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，要使kAP＋BP(0＜k＜1)的值最小．方法：1．找：找带有系数k的线段AP；2．构：在点B异侧，构造以线段AP为斜边的直角三角形；①以定点A为顶点作∠NAP，使sin∠NAP＝k；②过动点P作垂线，构造Rt△APE；3．转化：化折为直，将kAP转化为PE；4．求解：使得kAP＋BP＝PE＋BP，利用“垂线段最短”转化为求BF的长．模型应用3.如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC边上的动点，则2AD＋DC的最小值为________．第3题图4.如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10,对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP＋eq\f(1,2)PB的最小值是________．第4题图模型迁移5.如图，抛物线y＝ax2＋ax＋c经过点A(1，0)，B(0，－eq\r(3))，C，其对称轴与x轴交于点D.若P为y轴上一点，连接PD，求eq\f(\r(2),2)PB＋eq\r(2)PD的最小值．第5题图参考答案1.eq\f(3\r(3),2)【解析】根据垂线段最短可知，当OP与AD垂直时，OP取得最小值．∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∴AD＝AB＝6，AC⊥OD.∵∠ADC＝60°，∴∠ADO＝30°，∴AO＝3，DO＝3eq\r(3)，当OP⊥AD时，∵S△ADO＝eq\f(1,2)AO·DO＝eq\f(1,2)AD·OP，∴OP＝eq\f(AO·DO,AD)＝eq\f(3\r(3),2)，∴OP的最小值为eq\f(3\r(3),2).2.2eq\r(3)【解析】∵四边形DPCQ为平行四边形，∴DQ∥AC，∴当PQ⊥DQ时，线段PQ的值最小，最小值即为DQ与AC之间的距离，即点D到AC的距离，如解图，过点D作DE⊥AC于点E，∵AC＝8，∠BAC＝30°，∴∠ACD＝30°，∴CD＝AC·cos30°＝4eq\r(3)，∴DE＝CD·sin30°＝2eq\r(3)，即点D到AC的距离为2eq\r(3)，∴线段PQ的最小值为2eq\r(3).第2题解图3.6【解析】如解图，作点A关于BC的对称点A′，连接AA′，A′D，过点D作DE⊥AC于点E，在△ABC中，∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝eq\r(3)，AA′＝2eq\r(3)，∠C＝30°，∴在Rt△CDE中，DE＝eq\f(1,2)CD，即2DE＝CD，∵点A与点A′关于BC对称，∴AD＝A′D，∴AD＋DE＝A′D＋DE，∴当A′，D，E三点共线时，AD＋DE有最小值，最小值为A′E的长，此时，在Rt△AA′E中，A′E＝AA′·sin60°＝2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝3，∴AD＋DE的最小值为3，即2AD＋DC＝2(AD＋DE)的最小值为6.第3题解图4.eq\f(7\r(3),2)【解析】如解图，过点P作PQ⊥BC于点Q，过点M作MN⊥BC于点N.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.∵AB＝AC＝10，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵菱形对角线互相垂直，∴∠BOC＝90°，∴∠OBC＝30°，∴PQ＝eq\f(1,2)PB，∴MP＋eq\f(1,2)PB＝MP＋PQ.由两点之间线段最短可知，当M、P、Q三点共线，即点Q与点N重合时，MP＋PQ取得最小值，最小值为MN的长．∵AM＝3，∴CM＝AC－AM＝7.∵∠ACB＝60°，∴MN＝eq\f(\r(3),2)CM＝eq\f(7\r(3),2)，∴MP＋eq\f(1,2)PB的最小值为eq\f(7\r(3),2).第4题解图5.解：如解图，连接AB，过点D作DH⊥AB于点H，交y轴于点P′.∵eq\f(\r(2),2)PB＋eq\r(2)PD＝eq\r(2)(eq\f(1,2)PB＋PD)，∴当eq\f(1,2)PB＋PD取得最小值时，eq\r(2)(eq\f(1,2)PB＋PD)有最小值．∵A(1，0)，B(0，－eq\r(3))，∴OA＝1，OB＝eq\r(3)，∴AB＝2，∠ABO＝30°，∴∠BAO＝60°，P′H＝eq\f(1,2)P′B，∴eq\f(1,2)P′B＋P′D＝P′H＋P′D，∴当点P运动到点P′时，即H、P、D三点共线，且DH⊥AB时，eq\f(1,2)PB＋PD有最小值，最小值为DH的长．∵抛物线的对称轴为直线x＝－eq\f(a,2a)＝－eq\f(1,2)，∴OD＝eq\f(1,2).∵在Rt△ADH中，∠ADH＝90°－∠OAB＝30°，AD＝OA＋OD＝eq\f(3,2)，∴DH＝AD·cos30°＝eq\f(3