2024成都中考数学第一轮专题复习之第五章 微专题 半角模型 知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习之第五章微专题半角模型知识精练1.问题提出：如图①，已知在△ABC中，∠BAC＝45°，过点A作AD⊥BC于点D，AD＝10，BD＝4，求CD的长；第1题图①问题探究：如图②，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，AD⊥BC，探究AD与BC的数量关系．第1题图②2.如图①，四边形ABCD是菱形，AC为对角线，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，EF，已知∠ADC＝∠EAF＝60°.(1)判断△AEF的形状，并说明理由；(2)如图②，对角线BD分别交AE，AC，AF于点G，O，H，若该菱形的边长为6，DH＝eq\r(3).①求AH的长；②求△AGH的面积．图①图②第2题图参考答案与解析1.解：问题提出：如解图①，将△ADB，△ADC分别沿AB，AC折叠，得到△AD′B，△AC′C，延长D′B，C′C交于点E.∵∠BAC＝45°，即∠BAD＋∠CAD＝45°，∴∠D′AB＋∠C′AC＝45°，∴∠D′AC′＝90°.∵AD⊥BC，∴∠D′＝∠C′＝∠D′AC′＝90°.∵AD′＝AC′＝AD＝10，∴四边形AD′EC′为正方形．设CD＝x，则CE＝10－x，BE＝10－4＝6.在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2＋CE2＝BC2，即62＋(10－x)2＝(4＋x)2，解得x＝eq\f(30,7).∴CD的长为eq\f(30,7)；第1题解图①问题探究：如解图②，将△ADB，△ADC分别沿AB，AC折叠，得到△AD′B，△AC′C，延长D′B，C′C交于点E.∵∠BAC＝30°，即∠BAD＋∠CAD＝30°，∴∠D′AB＋∠C′AC＝30°，∴∠D′AC′＝60°，∴∠D′EC′＝360°－90°－90°－60°＝120°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD′＝∠ABC，∠ACB＝∠ACC′，∴∠DBE＝∠DCE，∴BE＝CE.∵AB＝AC，AD⊥BC，BE＝CE，∴A，D，E三点共线．在Rt△AD′E中，AD′＝AD，则AE＝eq\f(AD′,cos30°)＝eq\f(2\r(3)AD,3)，则DE＝AE－AD＝eq\f(2\r(3)AD,3)－AD，在Rt△BDE中，BD＝DE·tan∠BED＝(2－eq\r(3))AD，则BC＝2BD＝(4－2eq\r(3))AD，∴BC＝(4－2eq\r(3))AD.第1题解图②2.解：(1)△AEF是等边三角形，理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝∠BCD＝120°，∴∠DAC＝∠ACD＝∠ADC＝∠ACB＝60°，∴△ADC为等边三角形，∠DAF＋∠FAC＝60°，∴AC＝AD.∵∠EAF＝60°，∴∠FAC＋∠CAE＝60°，∴∠DAF＝∠CAE.在△ADF和△ACE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADF＝∠ACE，,AD＝AC，,∠DAF＝∠CAE，))∴△ADF≌△ACE(ASA)，∴AE＝AF.∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形；(2)①∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，∴∠ADB＝eq\f(1,2)∠ADC＝30°.∵AD＝6，∴OA＝3，OD＝3eq\r(3)，∴OH＝OD－DH＝3eq\r(3)－eq\r(3)＝2eq\r(3).在Rt△AOH中，AH＝eq\r(OA2＋OH2)＝eq\r(21)；②如解图，将△AHG沿直线AG折叠，得到△AIG，连接IB，过点I作IJ⊥BD于点J.第2题解图由题意可知，∠HAI＝2∠HAG＝120°，AD＝6，∠ADB＝∠ABD＝30°，∴BD＝2OD＝6eq\r(3).∵∠HAI－∠HAB＝∠DAB－∠HAB，∴∠BAI＝∠DAH.∵AB＝AD,AH＝AI，∴△ADH≌△ABI(SAS)，∴IB＝DH＝eq\r(3)，∠ABI＝∠ADH＝30°，∴∠JBI＝∠ABI＋∠ABD＝60°，∴BJ＝IB·cos∠JBI＝eq\f(\r(3),2)，IJ＝IB·sin∠JBI＝eq\f(3,2)，∴GJ＝DB－DH－HG－BJ＝6eq\r(3)－eq\r(3)－HG－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(9,2)eq\r(3)－HG.∵△AIG是由△AHG折叠得到，∴HG＝IG，在Rt△GJI中，由勾股定理，得IG2＝IJ2＋GJ2，∴HG2＝IJ2＋GJ2，即HG2＝(eq\f(3,2))2＋(eq\f(9\r(3),2)－HG