2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章 微专题 一线三等角模型解决全等、相似问题 练习课件

第四章微专题一线三等角模型解决全等、相似问题1.如图，△ABC为等边三角形，D是BC上一点，连接AD，点P，Q在AD上，连接BP，CQ，且∠BPD＝∠CQD＝60°，若BP＝3，CQ＝5，则PQ的长为________．第1题图2第2题图2.如图，在四边形ABCD中，AD＝4，AB＝10，点E是AB的中点，连接DE，CE，若∠A＝∠B＝∠DEC，则

的值为________．第3题图3.(2023重庆A卷)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD.过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为________．3第4题图4.如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，点D是CB延长线上一点，且AB＝DB，连接AD，若AD＝6，则△ACD的面积为________．9第5题图5.(2023荆州)如图①，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1＝∠2＝∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．(1)如图②，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；图①图②解：(1)作图如解图①；(注：只需作出其中三种)方法1方法2方法3方法4方法5方法6第5题解图①方法7方法8方法9第5题解图①(2)如图③，在Rt△APC中，∠A＝90°，AC>AP，延长AP至点B，使AB＝AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD，将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF.①确定△PCF的形状，并说明理由；第5题图图③(2)①△PCF是等腰直角三角形．理由如下：如图，过点C作CN⊥BE交BE的延长线于点N.N由折叠的性质得AC＝CM，∠CMP＝∠CME＝∠A＝90°，∠1＝∠2，∵∠A，∠CPD，∠PBD互为等联角，∴∠A＝∠CPD＝∠PBD＝90°.∵AC＝AB，∠A＝∠PBD＝∠N＝90°，∴四边形ABNC为正方形，∴CN＝AC＝CM.又∵CE＝CE，∴Rt△CME≌Rt△CNE(HL)，∴∠3＝∠4.∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°，∠CPF＝90°，∴∠PCF＝∠2＋∠3＝∠CFP＝45°，∴△PCF是等腰直角三角形．第5题图图③N②若AP∶PB＝1∶2，BF＝

k，求等联线AB和线段PE的长(用含k的式子表示)．②如解图②，过点F作FQ⊥BE于点Q，作FR⊥PB交PB的延长线于点R，则∠R＝∠A＝90°.∵∠1＋∠5＝∠5＋∠6＝90°，∴∠1＝∠6.由△PCF是等腰直角三角形，得PC＝PF，∴△APC≌△RFP(AAS)，∴AP＝FR，AC＝PR.∵AC＝AB，第5题解图②∴AP＝BR＝FR.∵在Rt△BRF中，BR2＋FR2＝BF2，BF＝

k，∴AP＝BR＝FR＝k.∵AP∶PB＝1∶2，∴PB＝2AP＝2k，∴AB＝AP＋PB＝BN＝3k.由BR＝FR，∠QBR＝∠R＝∠FQB＝90°，得四边形BRFQ为正方形，∴BQ＝QF＝k，由FQ⊥BN，CN⊥BN，得FQ∥CN，第5题解图②∴

，而QE＝BN－NE－BQ＝3k－NE－k＝2k－NE，即