高中数学必须第二册（苏教版）课后习题第十五章概率：模块综合测评

模块综合测评

（时间:120分钟满分:150分）

一、选择题:本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320,300,380.为调

查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应

抽取高二年级学生的人数为（）

A.68B.38

C.32D.30

gg]D

庭丽根据题意得,用分层抽样在各层中的抽样比为提=看,则高二年级应抽取的人数是300x^=30.

2.某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：

9189909294879396918589

93889893

这组数据的60百分位数、90百分位数分别为（）

A.92,96

B.93,96

C.92.5,95

D.92.5,96

雪D

理画将这组数据按从小到大排列得85,87,88,89,89,90,91,91,92,93,93,93,94,96,98,则

15x60%=9,15x90%=13.5,所以60百分位数为丝皆=92.5,90百分位数为96.

3.若|z-2|=|z+2|,则复数z对应的点Z在（）

A.实轴上

B.虚轴上

C.第一象限

D.第二象限

函B

噩;|z-2|=|z+2|,...点Z到（2,0）和（-2,0）的距离相等，即点Z在以（2,0）和（-2,0）为端点的线段的中垂线

上.

4.在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心.若圆柱的轴

截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图的面积为（）

A.V5TIB.V6TT

C.3兀D.4兀

暖丽圆锥的侧面展开图是半径为花，弧长为2兀的扇形，其面积S=，r=327tx花=遍兀,所以圆锥的侧

面展开图的面积为遍兀

5.已知底面边长为1,侧棱长为鱼的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）

C.2兀D.y

画正四棱柱的底面边长为1,侧棱长为..正四棱柱体对角线的长为、1+1+2=2.又正四棱柱

的顶点在同一球面上,；.正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球的半径R=1,根据球的体积公

式,得此球的体积V=^7r/?3=-y.

6.在AABC中，内角A,2,C的对边分别为°力,c.若NBC的面积为S,且°=1,45=从+31,则4BC外接圆

的面积为（）

A.4兀B.2兀

C.7TD.^

|¥¥|P

|解析|由余弦定理得,/+/-”2=26久0$A,a=l,所以h2+c2-\=2hccosA.又S=ycsinA,4s所以

4x/csinA=2bccosA,RF>sinA=cosA,tanA=lE0VA<兀,所以A=£由正弦定理，得工=2R(R为AABC

外接圆的半径），得R与所以NBC外接圆的面积为今

7.已知tan，是方程f-6x+l=0的一实根，则《«2（。+，等于（）

A。B-

A，4%

奉C

解析［***tan。是方程f-6x+1=0的一实根,

・'tan%-6tan夕+1=°，则氏卷—1=0,

可得sin2^-6sinHeosff+cos2ff=0,'5r得sinOcosff=y,

6

1O(7T)1+COS(20+TT)l-sin26_1/_1

sin20=2sinGeos0=-,cos210+-，-------———=

-2~---3*

8.在边长为2的菱形4B8中,NBAO=60°,E是BC的中点厕近•荏等于（）

A.芋B.,

32

C.V3D.9

SIJD

|解析|由题意NA8C=120。-BC=2x2xcos120°=-2,^C•AE=（BC-~BA）-（BE-~BA）=（BC-~BA）-（

^BC-BA）=^BC2--BA-BC+BA2=Ax224x（-2）+22=9.

22222'，

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分.部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列各式中，值为日的是（）

A.2sin15°cos150

l+tan15°

K，2（l-tanl5°）

C.l-2sin2150

3tanl5°

D，l-tan215°

答案|BCD

瓯2smi5。315。=sin3。。与藁*=2'短黑。广如。+15。）>

60°=gl-2sin215°=cos30°=、;=条an30。=摩故选BCD.

22l-tanz15注唱2l-=ta"nz15.#嘴2.2

10.对于AABC,有以下判断，其中正确的是（）

A.若sin2A=sin28,贝!]zkA8C必为等腰三角形

B.若A>8,则sinA>sinB

C.若a=5/=3,8=60°，则符合条件的A48C有两个

D.若COS2A+COS2B-COS2C>1,则△ABC必为钝角三角形

答案|BD

回画因为sin2A=sin2B,又0<2A<2兀,0<2B<2兀,0<2A+2B<2兀，所以2A=28,或2A+2B=7t,即A=8,或

A+8=3所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A不正确;若A>8,则a由正弦定理，一=

七=2R,得2RsinA>2Rsin艮即sinA>sinB成立，故B正确油余弦定理可得出2=52+/外5X0*2=9,可

得d-Sc+ieR.AcO,方程无解，故C不正确;若COSNA+COS^B-COS2c>1,则l-sidA+l-si/B-l+sin2c>1,可

得sinZA+si^BvsiMC,则根据正弦定理得次+/々2,可得C为钝角，可得AABC是钝角三角形，故D正

确.

11.为比较甲乙两地某月14时的气温，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据制成统计

表如下：

地

温度

区

甲2629283131

乙2830312932

从表中能得到的结论有()

A.甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温

B.甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温

C.甲地该月14时气温的方差小于乙地该月14时气温的方差

D.甲地该月14时气温的标准差大于乙地该月14时气温的标准差

答案|AD

隆画甲地该月5天14时的平均气温为§<(26+28+29+31+31)=29,乙地该月5天14时的平均气温为

3(28+29+30+31+32)=30,故可得甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温，故A正

确,B不正确.甲地该月5天14时温度的方差为襦=ix[(26-29)2+(28-29)2+(29-29)2+(31-29)2+(31-

29月=3.6;乙地该月5天14时温度的方差为名=JX[(28-30)2+(29-30)2+(30-30)2+(31-30)2+(32-

乙5

30)4=2,故可得甲地该月14时气温的方差大于乙地该月14时气温的方差，甲地该月14时气温的标

准差大于乙地该月14时气温的标准差，故C不正确,D正确.故选AD.

12.(2021福建三明三元模拟)如图，在三棱锥P-A8C中,。,£,尸分别为棱PCACAB的中点,PAL平面

ABC,NA8C=90°,AB=PA=6,BC=84J()

A.三棱锥O-BE尸的体积为6

B.直线PB和直线。尸垂直

C平面OE尸截三棱锥P-A8C所得的截面面积为12

D.点P与点A到平面BDE的距离相等

答案|ACD

而对于A,由三角形中位线定理可得。E=杷4,且SME*4sMsc.所以三棱锥BEF的体积为独户.

--------L4o

ABC=^X2x：x6x8x6=6,故A正确;对于B.由已知得BC_LP氏又EF〃BC,可得EF_LP8，假设直线PB

832

与直线OF垂直，又O/TIEF=F，可得P8_L平面DEF,又A8，平面OEF,与过平面外一点有且只有一条

直线垂直该平面矛盾，故B错误;对于C,如图，取PB中点M,连接OMFM可得平面DE尸截三棱锥P-

A8C所得的截面为矩形MFED,面积为3x4=12,故C正确;对于D,由已知可得PA〃Z)E,而PAC平面

DBE,DEu平面DBE,所以PA〃平面DBE,故点、P与点、A到平面BOE的距离相等，故D正确.故选

ACD.

三、填空题:本题共4小题.每小题5分，共20分.

13.已知向量a=(x,2),b=(2,I),c=(3*),若a〃b,则|a+c|=.

1^5V2

解析因为a〃b,所以x-2x2=0,解得x=4,

则b+c=(2,1)+(3,4)=(5,5),所以|b+c|=5VZ

14.已知在三棱锥P-ABC中，若PAL平面ABC,PA=AB=AC=BC,则异面直线PB与AC所成角的余弦

值为.

|解析|过点B作BD//AC,S-BO=AC,连接A£),则四边形ADBC为菱形，如图所示,

（或其补角）即为异面直线PB与AC所成角.

设PA=AB=AC=BC^a,

.\AD=a,BD=a.

平面ABC,

PB=PD=y/PA24-AD2=缶，

。瓜+炉孑标_2a2+。2-2。2V2

2xPBxBD2xy/2axaT,

.•.异面直线PB与AC所成角的余弦值为£

4

15.甲、乙、丙三人向同一飞机射击,设击中的概率分别为0.4,0.5,0.8,若只有1人击中，则飞机被击落

的概率为0.2;若2人击中，则飞机被击落的概率为0.6;若3人击中，则飞机一定被击落.飞机被击落的

概率为

答案「492

解画设甲、乙、丙三人击中飞机为事件A,8,C,依题意,A,8,C相互独立，故所求事件概率为

P=[P(ABC)+P(AB

6+P(彳万C]xO.2+[P(A成)+尸(彳BC+P(A互C]x0.6+尸(ABC=(0.4X0.5X0.2+0.6X0.5X0.2+0.6X0.5X0.8)

x0.2+(0.4x0.5x0.2+0.6x0.5x0.8+0.4x0.5x0.8)x0.6+0.4x0.5x0.8=0.492.

16.在A48C中,NA8C=90°,A8=4,8C=3,点。在线段AC上，若N8OC=45°，则8D=,cosZ

ABD=.

盛后]12鱼7V2

I在型处中，由正弦定理，得鼻=击^,而AB=4,ZADB=^,

AC=7AB2+BC2=5,sinNBAC=%=|,cos/8AC岑=士所以竿,

cosZABD=cos(ZBDC-ZBAC)=cos45°cosZBAC+sin45°sinZBAC=^.

四'解答题:本题共6小题.共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.

(1)求ab的值及|a+b|的值;

(2)当实数比为何值时,(a+2b)_LOa-b)?

阚(1)由向量的数量积的运算公式，

可得a-b=|a||b|cos120°=4x8x)=-16,

|a+b|=Va24-h24-2ab=J42+82+2x(・16)=4V5.

(2)因为(a+2b)_L(&a-b),

所以(a+2b)・(ka-b)二履2-2廿+(2匕1用上二0,

整理得16hl28+(2hl)x(-16)=0,解得k=-7.

即当k=-7时,(a+2b)_L(履-b).

18.(12分)如图，在三棱锥A-3C。中，点旦F分别是30,3c的中点,A3=AO,AE，BC求证:

A

心C

*

⑴所〃平面AC。；

(2)AEJ_CD

|证明k1)因为在4BCD中，点E,F分别是BD,BC的中点，

所以EF//CD.

又因为£7过平面AC£>,C£)u平面ACD,

所以EF〃平面ACD.

(2)因为点E是8。的中点，且AB=AD,

所以AE_LBD

又因为AE_L8c,BCu平面BCD,BDu平面8C£>,BCn8£)=仇所以AE_L平面BCD.

因为COu平面BCD,所以AELCD.

19.(12分)在AABC中,cos(A+C)=O,sinA=/

(1)求sinC的值；

(2)设NABC的平分线与AC交于点。，若AC=3,求BD的长.

网(1)由cos(A+O=0,得A+C苦，

又因为A+B+C=TT,所以8=去

因为sinA=g,所以cos4=手，

所以sinC=sin(]-A)=cosA=竿.

(2)在RtAABC中,sinA=g,AC=3,

1

所以BC=ACsinA=3xi=l.

在XDBC中,sinN3£)C=sin)=—(sinA+cosA)=:,

426

由正弦定理，得皿嗡温=8V2-4

"7-,

20.(12分)某集团公司为了加强企业管理,树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚.现在员

工中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人迟到，处罚时，得到如下数据:

处罚金额

5()10()15()200

x/元

迟到的人

5()40200

数y

若用表中数据所得频率代替概率.

(1)当处罚金额定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少?

(2)将选取的200人中会迟到的员工分为A,B两类:A类员工在罚金不超过100元时就会改正行为;B

类是其他员工.现按分层抽样的方法从A类与B类员工中抽取4人依次进行深度问卷调查，则前两位

均为B类员工的概率是多少？

解］(I)设“当处罚金额定为100元时，员工迟到“为事件A,则P(A)=券/不处罚时，员工迟到的概率为

80_2

200-5,

所以当处罚金额定为100元时,比不进行处罚员工迟到的概率会降低去

(2)由题意知,A类员工和B类员工各有40人,分别从A类员工和B类员工中各抽出两人，

设从A类员工抽出的两人分别为44,从B类员工抽出的两人分别为即以设“按分层抽样的

方法从A类与B类员工中抽取4人依次进行深度问卷调查，首先抽出Ai”为事件M,

则M-{(4142囚,民),(4I,A2,B2,BI),(AI,BI也,&),(414,&A),(AI,&也,81),(Ai层囚A)}，共6个样

本点，

同理，首先抽出A2囚,&的样本点也各有6个，故样本空间中共有24个样本点，

设“抽取4人中前两位均为B类员工”为事件N,则

N={(BI,&,4,A2),(B,B2,A2A),(B2,8IAH2),(82,BI,A2,AI)}^4个样本点，所以P(M=5=

o

所以抽取4人中前两位均为B类员工的概率是:.

6

21.(12分)已知向量m=(cosx,sinx),n=(cosx,-sinx),函数於尸m・n+g.

(1)若J(P=1J£(0,兀)，求tanQ+p的值；

Z4

(2)若刎=4,ae,,》,sin£=M.eQ?,求2a+£的值.

阚(1)因为向量m=(cosx,sinx),n=(cosx,-sinx),

所以於尸m-n+5=cos2«r-sin2x+5=cos2x+-.

因为"'?二1,所以cosx+；=l,即cosx=1.

又因为(0,兀)，所以x=^.

tan^+tan^

所以tanU+?=tanq+：=-2-V3.

1-tan驱吗

⑵因为他尸焉,

1