五年级奥数几何圆和扇形包含和排除和旋转对称(B级)

捆地球的绳子

假设地球上即无山，又无海，完全像一个大圆球，现在想用一根很长很长的绳子，沿着赤道用绳子捆

上一圈，问绳长多少？如果绳长加上1米，绳子围成一个大圆圈之后，就要离开赤道一段距离，形成围绕

地球的一个等距离的圆环，问圆环和地球之间的间隔有多大？（已知地球半径约为6400千米，万取3.14）

答案提示：地球赤道长：27rr=2x3.14x6400=40192（千米），所以绳长40192千米；

一般我们会想对于4万多千米来说，仅仅延长1米，会有多大的间隔？即使有间隔，恐怕也只能在显微镜

下才能看见！让我们来计算一下吧！假如绳长加上1米变为40192001米，则有：

40192001-27?--6400000«0.159（米），大约为16厘米，差不多有一支铅笔长。简直不可思议！

圆的知识:

1.当一条线段绕着它的一个端点。在平面上旋转一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫做圆，

点0叫做这个圆的圆心.

2.连结一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径.

3.连结圆上任意两点的线段叫做圆的弦；过圆心的弦叫做圆的直径.

4.圆的周长与直径的比叫做圆周率；圆周上任意两点间的部分叫做弧.

5.圆周长=直径义m=半径义2n圆面积=mX半径2

扇形的知识：

1.扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形.顶点在圆心的角叫

做圆心角.

2.我们经常说的:圆、g圆、J圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆

246

心角占这个圆周角的几分之几.那么一般的求法是什么呢？关键是念

rijrrYITTVnrrr^

3.扇形中的弧长=次.扇形的周长=/+2r.扇形的面积="二=-lr.

1801803602

弓形的知识：

弦与它所对的弧所组成的图形叫做弓形。【一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积.（除了半圆）】

常用方法：

1.常用的思想方法：

①转化思想（复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的）

②等积变形（割补、平移、旋转等）

③借来还去（加减法）

④外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的“关系”）

2.包含与排除法：重叠想减就是应用了包含与排除的思想，用包含与排除求面积时，关键是考虑重

叠部分的面积如何正确处理，应该加上还是减去，要仔细甩考，正确选择。

3.旋转对称：将不规则图形或几个图形经过旋转、对称之后成为一个或几个规则图形进行面积计算

的方法。

重点：利用容斥原理就是重叠相减法求面积。

旋转图形问题的重点研究是当一个图形绕一点进行旋转轨迹扫过的面积。

难点：利用容斥原理如何对重叠部分的面积进行正确的处理。

如何利用旋转对称对所求图形进行简化。

［例1］如图，直角三角形的边长分别为6,8,10,求阴影部分的面积.（兀取3）

阴影面积=半径为3的半圆的面积+半径为4的半圆的面积+直角边为6和8的直角三角形面积一

半径为5的半圆的面积

阴影部分的面积=;rx3?+2+万x4?+2+6x8+2-7x52+2=24

【巩固】如图，AB与CD是两条垂直的直径，圆0的半径为15,ABE是以C为圆心，AC为半径的圆弧.求

阴影部分面积.

1阴影部分是月牙，不能直接去求，

阴影部分的面积=半径为15的半圆ABD+底30高15的三角形ABC一扇形ACB

三角形BCO是等腰直角三角形，BC2=OB2+OA2=450

阴影部分的面积="乂15x15+2+15x30+2-”x2x15x15+4=225

【例2】图中长方形的长是10厘米，宽是4厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？（用的式子表示）

阴影部分的面积=大扇形面积-（长方形面积-小扇形面积）

或者是=大扇形面积+小扇形面积-长方形面积

阴影部分的面积=x102+4+x42+4—10x4=29乃—40

【巩固】如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米，（用的式子表示）

AD

阴影部分的面积=扇形ADE+半圆AFB-三角形ABD

阴影部分的面积=7x5?+8+;rx2.5?+2-5x5+2=6.25乃一12.5平方厘米

【例3】如图所示，求阴影部分的面积。（用的式子表示）

I阴影部分面积=直径为4的小半圆+2个半径为2的四分之一圆+直径为8的大半圆-长8宽2的

长方形面积

阴影部:分面积=^,x22+2+7x2?^-4x2+^x42-^2-8x2=12^-16

【巩固】（2008年四中考题）已知三角形ABC是直角三角形，AC=4cm,8c=2cm,求阴影部分的面积.（用

兀的式子表示）

阴影部分的面积=半径为4的半圆+半径为2的半圆一三角形的面积

阴影部分的面积=2x;r+2+”xl2+2-4x2+2=25乃一4

【例3】三个圆的半径都是5厘米，三个圆两两相交于圆心，求三块阴影部分的面积之和。

如图所示，阴影部分经过翻转之后，正好得到半个圆。

阴影部分的面积=乃*52+2=12.5乃（平方厘米）

【巩固】四个小圆的半径都是5厘米，大圆半径为小圆的直径，求三块阴影部分的面积之和。

如图所示，阴影部分经过翻转之后，正好得到一个小圆。

阴影部分的面积="x5?+2=12.5乃（平方厘米）

【例4］（奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是100

平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米.那么图

中3个阴影部分的面积的和是多少平方厘米.

I才出容斥原理得：100x3-5^短一2x42=144,所以阴影面积=100x3-144-2x42=72

【巩固】（2010年四中）四个圆的半径都是10厘米，三个圆两两相交于圆心，求四块阴影部分的面积之和。

如图所示把阴影部分补全为右图，

则此时阴影部分的面积=三个外圆面积之和减去中间的圆的面积=2个圆的面积

（因为四个圆的面积是相等的。）

通过观察可以发现，原题中的阴影部分为右图中阴影部分的三分之二。

2400

原题中的阴影部分面积=/rx102x2x-=------n

33

【例5］草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见

如图）.问：这只羊能够活动的范围有多大？（圆周率取3.14）（用的式子表示）

I羊能够活动的范围如图所示，是由三个扇形组成的.半径为30的四分之三圆，半径为20的四分

之一圆，半径为10的四分之一圆。

2212

总面积：一X/TX3O+—'江乂20+—x/rxio?=8004-=2512

444

【巩固】一只狗被拴在底座为边长3米的等边三角形建筑物的墙角上（如图），绳长是4米，求狗所能到的

地方的总面积.（圆周率按3.14计算）

狗能所到达的范围如图所示：是由三个扇形组成的,

半径为4的六分之五圆，半径为1的三分之一圆，半径为1的三分之一圆.

总面积：—xx42+—xxI2x2=14^-=43.96zn2

63

【例6】正三角形ABC的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A点再次落在这条直线上，那

么A点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角

形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米？（用的式子表示）

1A点在翻滚过程中经过的路线分为两段120度的圆弧,

所以路线的总长度为：2;rx6x------x2=8汗（厘米）

360

三角形在滚动过程中，扫过的图形为两个120度的扇形加上一个与其相等的正三角形,

120

面积=1x6———x2+15=24i+15（平方厘米）

360

【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为4CM和3cM的长方形I.它的对角线长恰好是5CM.让

这个长方形绕顶点B顺时针旋转90度后到达长方形H的位置，这样连续做三次，点A到达点E

的位置.求点A走过的路程的长.（用的式子表示）

ABCDE

因为长方型旋转了三次，所以A点在整个运动过程中也走了三段路程。如图所示,

黝段弧4A长度：2x^x4+4

第2段弧4向长度：2X^X5+4

第3段弧冬后长度：2xx3+4

A的路程=2x*x4+4+2x；rx5+4+2x”x3+4=6尸

【例71如图所示，直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米，NABC=60。，此时8c长5厘米.以点B

为中心，将澳8c顺时针旋转120。，点A、C分别到达点E、。的位置.求AC边扫过的图形

即图中阴影部分的面积.（兀取3）（用的式子表示）

I如图所示，将图形移补为下列图形，

因为角EBD是60度，那么角ABE为120度.

则阴影部分为圆环的三分之一。

阴影部分的面积="x（A82-8C2）+3=75厘米

【巩固】（2006年数学解题能力高年级初试8题）如下图，△/回是一个等腰直角三角形，直角边的长度

是1米。现在以C点为圆点，顺时针旋转90度，那么，4?边在旋转时所扫过的面积是多少平方

米（万=3.14）

31

所求面积为=(/rxI2+4-I2+2)+(I2-r2-e-4=—7T----=0.6775

82

［例8］如图30-14,将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4,BC=3,AC=5,求AD边扫过部

分的面积.（》取3.14）

【解析】如图所示，端点A扫过的轨迹为，端点D扫过轨迹为，而AD之间的点，扫过的轨迹在以A、D轨

迹AD、所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过，所以AD边扫过

片的图形为阴影部分.

所以，阴影部分的面积，进行以下处理，利用割补法,

发现阴影部分的面积为四分之一圆环的面积.

9

阴影部分的面积=(^x52—^x42)+4=—=7.065

【巩固】(祖冲之杯竞赛试题)如图，A3CD是一个长为4,宽为3,对角线长为5的正方形，它绕。点按

顺时针方向旋转90。，分别求出四边扫过图形的面积.

DC

(1)DC边和BC边

容易发现DC边和BC边旋转后扫过得图影都是以线段长度分别为4和3的为半径的圆的四分之

9

—.因此DC边扫过的面积为4,了，因此BC边扫过的面积为一”.

(2)AB边

在整个AB边上，距离C点最近的点是B点，最远的点是A点，因此整条线段所扫过部分应该介

于这两个点所扫过的弧线之间，如下图所示.

观察的阴影部分面积等于扇彩ACA'与三角彩A3C'面积和减去扇形8CB'与三角形A8c的

面积和.阴影部分面积=”x5,+4-万x3?+4=4不

(2)AD边

在整个AD边上，距离C点最近的点是A点，最远的点是D点，因此整条线段所扫过部分应该介

于这两个点所扫过的弧线之间，如下图所示.

,9

方法同上，求得阴影部分面积=开x*4-4x4?+4=—万

4

【答案】

9

(1)BC边扫过图形的面积为一〃

4

(2)AB边扫过图形的面积为4万

9

(3)AD边扫过图形的面积为一万

4

(4)DC边扫过图形的面积为4万

[例9](2004年第九届华杯赛初赛)半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑

动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？

对于这类问题，可以在初始位置时在小环上取一点A,观察半径0A,如图(1),当小环内壁滚动

到初始位置时，即滚动半个大圆周时，如图(2),半径0A也运动到了与初始时相对的位置，这

是0A沿大环内壁才滚动了1圈，继续进行下半圈，直到0A与初始位置重合，这时0A自身转了

一圈.因此小环自身也转了一圈.

【巩固】如图所示，大圆周长是小圆周长的"(〃>1)倍，当小圆在大圆内侧(外侧)作无滑动的滚动一圈后

又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？

】如图所示，大圆周长是小圆周长的“(”>l)倍，当小圆在大圆内侧(外侧)作无滑动的滚动一圈后

又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？

I圆与扇形【难度】☆☆☆☆【题型】解答

I研究小环的圆心轨迹即可.

设小环半径为1,大环半径为N,

内侧：内侧滚动时，小环的圆心运动的半径为N-1,圆心滚动的距离为：2；rx(N-l)

所以小环绕自己的圆心转动了：2乃x(N-l)+(2G=N-1

外侧：外侧滚动时，小环的圆心运动的半径为N+1,圆心滚动的距离为：2;rx(N+l)

所以小环绕自己的圆心转动了：2”x(N+l)+(2;r)=N+l

1、下图是一个直径为3的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60度，此时B点移动到B'点,

求阴影部分的面积。(用的式子表示)

AB

阴影部分的面积=半径为1.5的-

3

=半径为3扇形的面积=一左

2

2、如图，四个小圆为完全相同的圆，且半径为2,如图，求阴影部分的面积。

如图所示，图中的阴影部分通过分割拼接，发现阴影部分是由一个小半圆和一个底为4,高为2

的等腰直角三角形的面积之和.

阴影部分的面积=IX2?+2+4x2+2=+4

3、长方形的长为10,宽为4,求图中阴影部分的面积。（取3）

阴影部分的面积=半径为5的半圆+半径为2的半圆一长方形的面积一半..

阴影部分的面积=7x5?+2+;rx22+2-10x4+2=14.5^-20=23.5

4、直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边8c长10厘米.如下图所示，三角形由

位置I绕A点转动，到达位置II,此时台，C点分别到达4,G点；再绕⑸点转动，到达位置III,

此时A,G点分别到达人，点.求C点经G到G走过的路径的长.（用的式子表示）

由于BC为AC的一半，所以角CAB-30度，

1on_a。5

则弧cq为大圆周长的....-=—；

36012

弧Gg为小圆周长的四分之一；

而eg+GG为点经G到g走过的路径.

所以C点经C,到C,走过的路径长=2^-x20x—+2^-xl0+4=—

-123

5、有三个面积都是S的圆放在桌上,桌面被圆覆盖的面积是2s+2,并且重合的两块是等面积的,直线a过两

个圆心A、B,如果直线a下方被圆覆盖的面积是9,求圆面积S的值.

I设一个阴影部分的面积为X、

则有：3S-2x=2S+2,于是S=2x+2

33

又2s——x=9,所以，2(2x+2)——x=9,

22

解得,x=2>所以，S=2x2+2=6.

1、在解决圆与扇形的组合图形时，先观察图形中自己会求得图形的面积，然后再分析如何利用这几个图

形来求组合图形的面积。

2、解决旋转图形的问题时，要认真分析运动着的物体所经过的路线或范围。

1、如图所示，圆的半径为4,BC=10,求阴影部分的面积。（用的式子表示）

I阴影部分的面积=梯形面积减去四分之一圆面积

阴影部分的面积=（4+10）x44-2-^x42+4=28-4^-

2、如图，矩形48切中，46=6厘米，8c=4厘米，扇形/庞半径/£=6厘米，扇形物'的半径四=4厘米,

求阴影部分的面积.（用的式子表示）

I阴影部分的面积=扇形ABE+扇形CBF-矩形ABCD

阴影部分的面积=<7X6?+4+^x4?+4-6x4=13乃一24平方厘米

3、在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是1。。平方厘米，盖住桌面的总面积

是144平方厘米，1,2,3,部分的面积和为80,3张纸片共同重叠的面积是阴影部分，求阴影部分得

面积。

根据容斥原理得：100x3-5.3x2-80=144

所以阴影面积（100x3-144-80）+2=38（平方厘米）

4、一个正方形的边长为2,它的一半是一个等腰直角三角形，逆时针旋转90度，得到如下图型，求阴影

部分得面积。（用的式子表示）

阴影部分面积=