人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》章末练习题卷含答案解析(九)

人教A版高一数学必修第一册第五章《三角函数》单元练习题卷7

(共22题)

一、选择题(共10题)

1.设函数=4sin(3x+0)(4>0,3>0,-彳<0<])的图象关于直线x=y对称，它的最

小正周期为TT,则下列说法一定正确的是()

A.f(x)的图象过点(0j)

B./(x)在相司上是减函数

C.f(x)的图象的一个对称中心是(弱,0)

D.f(x)的图象的一个对称中心是色,0)

2.函数y=loga(%-3)+2(a>0且aHl)的图象过定点P,且角a的顶点在原点，始边与x

轴非负半轴重合，终边过点P,则sina+cosa的值为()

763

V5一

A--CD-

5B.555V5

3.如图是函数y=2sin(a%+?)(|0|V3的图象，那么()

10TT1071

A.(JL)=—，(D=—B.co=一，(0

11*611丫6

CTt

C.3=2n,(p=-D.3=2,cp=~l

,6

4.已知函数f(%)=sin(%+§.给出下列结论:

①/(%)的最小正周期为2TT；

②fC)是〃)的最大值；

③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移=个单位长度，可得到函数y=f(x)的图象.

其中所有正确结论的序号是()

A.①B.①③C.②③D.①②③

5.已知函数f(%)=COS(3X+0)(3>0)的最小正周期为7T,且对XER,f(%)之/竹)恒成立，

若函数y=/(x)在［0,a］上单调递减，则a的最大值是()

A.-B.-C.-D-?

633

6.将函数/(%)=sin(2x-g的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数

y=gM的图象，则函数g(%)的最小正周期是()

A.-B.ITC.2nD.4n

2

7.已知函数f(%)=sin(2x—§在区间［―a,a］(a>0)上单调递增,则a的最大值为()

A.-B.-C.-D.-

12643

0,5

8.设a=2,b=log43,c=cos于，贝！J()

A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

9.若则sina—cosa的值与1的大小关系是()

A.sina—cosa>1B.sina—cosa=1

C.sina—cosa<1D.不能确定

10.下列函数中，以］为周期且在区间《片)单调递增的是()

A./(%)=1cos2x|B./(%)=|sin2x|

C./(%)=cos|x|D./(%)=sinIx\

二、填空题(共6题)

11.函数/(%)=2sin(］%+§,若存在XLGCR，使得对任意xER都有/(%!)</(%)</(%2)

成立，则|%1-％2l的最小值是___.

12.将函数f0)=2sin(5+§(3〉0)的图象向右平移卷个单位，得到函数y=g(x)的图象，

若y=g(x)在［0用上为增函数，贝U3的最大值为一.

13.函数f(x)=sin2%+sinxcosx+1的最小正周期是__，单调递减区间是____.

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位

置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时，P的坐标为_.

15.设sin2a+sincr=0,aW&贝［］tan2a=_____.

16.如图，A,B为某市的两个旅游中心，海岸线I可看做一条直线，且与AB所在直线平行，现计

划将两个旅游中心与海岸线连接起来，由于地势原因，需在以AB为直径的半圆上选定一点P,

修建PA,PB,PQ三段公路，其中PQ1I,AB=20km,两平行直线AB与I之间的距离为

20km,公路PA和PB段的造价均为6千万元/km,公路PQ段的造价为5千万元/km,为

便于筹备充足资金，需要计算该项工程的最大预算，根据以上信息、，这三段公路总造价的最大值

为一千万.

三、解答题(共6题)

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为单位圆与x轴正半轴的交点，点P为单位圆上的一

点，且Z.AOP=p点P沿单位圆按逆时针方向旋转角Q后到点Q(a,b).

4

⑴当。=5时，求ab的值；

6

(2)设ee[p=],求b—a的取值范围.

18.已知函数f(无)=sin(3%+胃

(1)求/(%)的单调递增区间；

(2)若a是第二象限角，/图=geos(a+：)cos2a,求cosa-sina的值.

5sina-cosa«

19.若

-c--o-s--a-+—si—na=I-

⑴求tana的值;

cosa+sina

求+sinacosa的值.

⑵cosa-sina

20.某同学用“五点法〃画函数f(%)=Zsin(3%+⑴)(3>0,\(p在某一周期内的图象时，列表

如1T1011

X------X-1%2

331z3

।TC3ITQ

并填入的部分数据如表：3X+90771T271

sin(a)x+p)010—10

f(x)0V30y20

(1)请写出上表的％i，不，力，及函数f(x)的解析式；

⑵将函数/(%)的图象向右平移y个单位，再所得图象上各点的横坐标缩小为原来的纵

坐标不变，得到函数g(%)的图象，求g(x)的解析式及y=logi[^(x)-y]的单调递增区

间；

(3)在(2)的条件下，若F(x)=g2(x),gM-1在％E(0,2019n)上恰有奇数个零点,

求实数a与零点个数n的值.

21.在AABC中，求证：sin71+sinB+sinC=4cos^cos|-cosf.

22.函数/(%)=sin(tantox),其中3—0.

(1)讨论/(%)的奇偶性；

(2)3=1时，求证：/(%)的最小正周期是TT;

(3)36(1.50,1.57),当函数f(x)的图象与9(%)=3(%+］的图象有交点时，求满足条件的

3的个数，说明理由.

答案

一、选择题(共10题)

1.【答案】c

【解析】由题意，T=-=n,得3=2.

CO

又f(x)的图象关于直线X=y对称，

所以2x*+w=ZCTC+1，kE.Z,

贝ij0=—如，keZ.又一u<w<u,

622

所以9=3

所以/(%)=Zsin(2%+].f(0)=g故A错误；

当〈当时，H<2X+^<^,/(%)在此区间上先增后减，故B错误；

123362

/(工)=0,则点(工,0)是函数/(%)的图象的一个对称中心，故C正确.

/仁)=4故D错误，故选C.

【知识点】Asin(3x+ip)形式函数的性质

2.【答案】D

【解析】因为函数y=loga(x-3)+2的图象过定点P(4,2),且角a的终边过点P,

所以x=4,y=2,r=2-\/5,所以sina=9,cosa=等，

所以sina+cosa=g+手=|V5.

【知识点】对数函数及其性质、任意角的三角函数定义

3.【答案】C

【知识点】正弦函数的图象

4.【答案】B

【解析】因为/(x)=sin(x+=Y所以周期T=-=2TT,故①正确；

\3/3

f0=sin(]+9=sin詈="1,故②不正确；

将函数y=sinx的图象上所有点向左平移=个单位长度，

得到y=sin(x+§的图象，故③正确.

【知识点】Asin(3X+ip)形式函数的性质

5.【答案】B

【解析】因为函数/(%)=COS0%+9)的最小正周期为1T,所以3=午=2,

又对任意的X,都使得/(%)>/g),

所以函数f(x)在％=g上取得最小值，贝U*+0=Ji+2kmfcEZ,

即0=]+2/CTT,/C6Z,所以f(x)=cos(2x+

令2/CTI<2x+g<IT+2kmfcGZ,解得一，+/cn<x<]+km/cGZ,

则函数y=f(x)在[0,外上单调递减，故a的最大值是最

【知识点】Asin(3X+。)形式函数的性质

6.【答案】C

【解析】将函数/(x)=sin(2x-g的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,

得到函数y=g(x)=sin(x-])的图象，故g(x)的最小正周期为2n.

【知识点】三角函数的图象变换、Asin(3x+ip)形式函数的性质

7.【答案】B

【解析】由正弦函数的性质令2/CTT-^<2x-^<2kn+fceZ,

262

解得/CTT--<x<kn+-,ZcGZ,

63

所以/(%)的单调递增区间是[fcn-^kn+=](kez).

因为f(%)=sin(2%-5)在区间|-a,a](a>0)上单调递增，

所以[―a,a]c[加一也kn+J

所以

6

>0,

解得0Va<g

则a的最大值为p

6

【知识点】Asin(3X+ip)形式函数的性质

8.【答案】C

【解析】因为。=2。3>2。=1,

由0=log4l<log43<log44=1,得0<b<Lc=cos曰=-y>

所以a>b>c.

故选C.

【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质、任意角的三角函数定义

9.【答案】A

【知识点】任意角的三角函数定义

10.【答案】A

【解析】对于选项A,作出/(x)=|cos2x|的部分图象，如图1所示，

则f(x)在上单调递增，且最小正周期T=%故A正确.

对于选项B,作出f(x)=|sin2x|的部分图象，如图2所示，

则f(x)在上单调递减，且最小正周期T=p故B不正确.

对于选项C,

因为/(%)=cos|X|=cos%,

所以最小正周期T=2n,故C不正确.

对于选项D,作出f(%)=sin|%|的部分图象，如图3所示.

显然/(%)不是周期函数，故D不正确.

图1

424

图2

二、填空题（共6题）

11.【答案】2

【知识点】Asin（3x+ip）形式函数的性质

12.【答案】2

【解析】提示：函数gM=2sinwc，所以有；x生2T，所以3的最大值为2.

4Ct>4

【知识点】Asin（3X+。）形式函数的性质

13.【答案】TC；[―+ku,—+Mr],fcGZ

1-cos2x.sin2T1

原式n-------------r1

22

V2.

=­sin2%-+-

24/2’

故f(X)的最小正周期为TC,

令2/c7i+]42x—3W2kir+(kGZ),得/CTC+朗Wx<kn+(n(kGZ),

所以/（%）的单调递减区间为售+加壁+近，fceZ.

【知识点】Asin（3X+ip）形式函数的性质

14.【答案】(2—sin2,l—cos2)

【解析】根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P旋转了”2弧度，此时点尸的坐标为

xP=2—cos（2-1）=2-sin2,丫尸=1+sin（2-1）=1-cos2,

所以P（2—sin2,l-cos2）.

另解1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为黑’且乙PCD=2,

（y=1+sin”，

e311

2

（%=2+cos（如-2）=2-sin2,

则点P的坐标为Z（

Iy=1+sin——2）=1-cos2,

15.【答案】V3

【解析】因为sin2a=2sincrcoscr=—sina,

所以cosa=—I，

又ae&ir）,

所以sina=—,tana=—V3,

2tana

故tan2a=

l-tan2a

【知识点】二倍角公式

16.【答案】222

【解析】根据题意，设Z.PAD=6,则0W8W5

过点P作PD1AB,则P,D,Q三点共线，设这三段公路总造价为y,

Q

又由AB=20km,贝!JAP=2Ocos0km,BP=20sin。km,贝！JPD=2Ocos0sin0km,

又由两平行直线AB与l之间的距离为20km,贝!JPQ=(20—2Ocos0sin0)km,

贝ijy=6x(20sin6+2Ocos0)+5x(20—20cosOsin。)=12O(sin0+cos。)+100(1—sinJcos。),

设sinJ+cos。=3贝!Jt=V2sin^0则有14七〈鱼，

贝！JsinJcos。=

贝ljy=120t+100(1-手)=120t+100(7)=-50t2+120t+150,1<t<V2,

分析可得：t=，时，y取得最大值，且'max=222.

【知识点】三角函数模型的应用

三、解答题（共6题）

17.【答案】

(1)由三角函数的定义，可得Pkos：,sin：),Q(cos(E+0)，sin弓+

当3=-时，Qfcos—,sin—Y即a=cos—,b=sin—,

6y1121271212

rvI5TC.5TC1—5IT.5TC1.5IT1

所以aTb=cos——sin—=-x2xcos——sin——=-xsin——=

121221212264

（2）因为Q（cos（：+6）,sin（：+。）），所以a=cos（:+6）,b=sin（；+6）,

由三角恒等变换的公式，化简可得：

b-a=sin(：+6)-cosQ+e)

=V2[sin(:4-cos:—cosQ+6)sin；]

=J^sin仇

因为eEKe]'所以1<V2sin0<V2.

即b-a的取值范围为[L何

【知识点】任意角的三角函数定义、Asin（3x+⑼形式函数的性质

18.【答案】

(1)因为函数y=sinx的单调递增区间为［―5+2/otW+2kn］,keZ,

所以令---F2/CTT43xH—<—F2kn,/C6Z,

242

解得一三+码4工4二+四，kez,

43123

所以函数/(%)的单调递增区间为［一：+等，"+等］，k£Z.

(2)因为/(5)=sin(a+；)=gcos(a+gcos2a,

所以sincrcos-+cosasin-=-fcosacos--sinasin-)(cos2a—sin2a),

445\44/

即j(sina+cosa)=x(coscr—sina)(cosa—sina)(cosa+sina),

即sina+coscr=|(coscr—sina)2(cosa+sincr).

当sina+coscr=0,即tana=-1时，

因为CL是第二象限角，所以a=乎+2/CTT,fc6Z.

止匕时，cosa—sincr=一迎.

当sina+cosaH0时，有(cosa—sincr)2=

4

因为a是第二象限角，所以coscr<0,sina>0,所以cosa—sina=—9

综上所述，cosa—sina=—V2或—日.

【知识点】Asin(3x+⑼形式函数的性质、两角和与差的余弦

19.【答案】

5sina-cosa.乙日5tana-l.

-----：­=1,得------=1,

(1)cosa+sina14-tana

即5tana—1=1+tana,解得tana=

cosa+sina1+tana+sinacosa

+sinacosa

cosa—sina1—tanasin2a+cos2a

1+tanatana

1-tanatan2a+l

⑵

5

【知识点】同角三角函数的基本关系

20.【答案】

(1)由表格根据五点法作图的规律，可得g+与=Y=%2-％1=等一%2，

解得％1=拳％2=拳A=W,y2=-V3,/(%)=V3sinQx+y^.

(2)将函数/(x)=V3singx+^)的图象向右平移y个单位，

可得y=V^sin—=—Bsin^x的图象；

再所得图象上各店的横坐标缩小为原来的纵坐标不变，得到函数gM=V3sinx的图象.

函数y=logi[.g(x)-y]=logi[V3sinx-y],

由V3sinx—;y>0,可得sinx>

要求函数的单调递增区间，即求y=sinx的减区间，而y=sin%的减区间为植,目)，

故y=logiW—的单调递增区间为•

(3)F(x)=/(%)+ya-g(%)-1=3sin2%+asinx-1,

令F(x)=0,则asinx=1-3sin2%,

显然当sinx=0时，F(x)不存在零点，因此只需考虑sin%H0时，F(x)的零点情况，

-1_Q2-|

令t=sinx(sin%HO且0V%42TC),则tE[—1,0)U(0,1],a=---=--3t,

则函数y=J-3t在[-1,0)和(0,1]上单调递减，且t=1时y=2,

当t=-1时，y=-2f

所以当yG(—2,2)时，y=t与y=3t有两个交点，此时方程asinx=1—3sin2%存在4

个实根，

当ye(—oo,—2)U(2,+oo)时，y=t与y=^—3t有一个交点，此时方程asinx=1—3sin2%

存在2个实根，

当y=2或y=—2时，y=t与y=：—3力有两个交点，此时方程asinx=1—3sin2%存在

3个实根.

2

因为F(x)=5(x)+ya-5(x)—1在无e(0,2019it)上恰有奇数个零点，

所以当xe(2018Tt,2019Tt)时，F(x)只可能存在2个零点.

因此只有。=2时符合条件，

所以x6(0,2019it)时F(x)的零点为：2018x|+2=3029个.

【知识点】Asin(3X+W)形式函数的性质、正弦函数的图象

21.【答案】由A+B+C=180°,得C=180°一(4+8),即g=90°-等,

匚匚I、I

所以cosC-=s-iAn+^B—,

所以

sinA+sinB+sinC

2sin—•cos-^—+sin(A+B)

.ABC

4cos-cos-cos-.

即sinA+sinB+sinC=4cos-cos--cos-.

222

【知识点】二倍角公式、两角和与差的余弦

22.【答案】

(1)由(JL)X工kxH—得xW---TC,kEZ,

22co

所以函数/(%)=sin(tantox)的定义域为|%HWz}.

所以定义域关于原点对称.

/(—%)=sin[tanto(—%)]=sin(—taniox)=—sin(tano)%)=—/(%).

所以函数/(%)=sin(tandox)是[%AWz}上的奇函数.

(2)3=1,/(%)=sin(tan6)x).

函数/(%)是周期函数，且H是它的一个周期.

因为f(x+n)=sin[tan(%+IT)]=sin(tanx)=/(%),

所以函数/(X)是周期函数，且H是它的一个周期

假设To是函数/(%)=sin(tanx)的最小正周期，且0V70<n.

那么对任意实数x,都有/(%+To)=sin[tan(%+To)]=sin(tanx)=/(%)成立,

取％=0,贝！]sin(tanT0)=0,所以tanT。=krc,