高中数学函数的应用求最大利润解答题训练含答案

高中数学函数的应用求最大利润解答题专题训练含答案

姓名：班级：考号：

一、解答题（共20题）

1、经济学中，函数的边际函数w㈤定义为血（幻=/卜+1）：*6,利润函数干㈤

的边际利润函数定义为此㈤=网芯+1）一尸㈤。某公司最多生产100台报警系统装置，

生产X台的收入函数为&x）=m0ao.t-2。/（单位：元），其成本函数为二凶=50日+4000（单

位：元），利润是收入与成本之差。

（1）求利润函数尸㈤的边际利润函数妫㈤，

（2）利润函数H㈤与边际利润函数抽㈤是否具有相等的最大值；

（3）你认为本题中边际利润函数取最大值的实际意义是什么？

2、（1）写出年利润“El（万元）关于年产量x（万箱）的函数解析式；（利润=销售

收入一成本）

（2）年产量为多少万箱时，该酒庄的利润最大？并求出最大利润.

3、某企业生产过，B两种产品，根据市场调查与预测，过品的利润与投资成正比，其关系

如图一；8产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二

（注：利润和投资单位：万元）,

•，例润1

I、俐闰］

0.4：r.....……・•二

0至---二AT?：

__.

可1包懒I⑴分别将过、B

两种产品的利润

图'—图二表示为投资的函

数关系式；

(2)该企业已筹集到18万元资金，并全部投入d,5两种产品的生产,

①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？

②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约

为多少万元.

4、某公司生产一批工产品需要原材料500吨，每吨原材料可创造利润12万元，该公司通过

设备升级，生产这批工产品所需原材料减少了x吨，且每吨原材料创造的利润提高了0.5x%；

若将少用的x吨原材料全部用于生产公司新开发的8产品，每吨原材料创造的利润为

U(a--^-x)

1000万元，其中a>0.

(1)若设备升级后生产这批4产品的利润不低于原来生产该批月产品的利润，求x的取值范

围；

(2)若生产这批B产品的利润始终不高于设备升级后生产这批力产品的利润，求。的最大值.

5、某企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润与投资成正比，其关

系如图1,乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资的单位:

万元).

图1图2

(I)分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资的函数关系式;

(II)该企业筹集了100万元资金投入生产甲、乙两种产品，问：怎样分配这100万元资金，

才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？

6、某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需

5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若

生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.

(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润八元)；

(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？

7、某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润

的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出1万元，则超出部分按1空式海+D进行

奖励.记奖金为y(单位：万元)，销售利润为晨单位：万元).

(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；

(2)如果业务员小江获得£2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？

8、某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需

5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若

生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.

(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润武元)；

(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？

9、某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润

的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为4万元，则超过部分按21鸿"/+1)

进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励.记奖励总额为y(单位：万元)，销售利

润为x(单位:万元).

(I)写出该公司激励销售人员的奖励总额与销售利润的函数表达式；

(II)如果业务员老张获得5.5万元的奖励总额，那么他的销售利润是多少万元？

10、某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优

化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为

叫，喘0万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润为原来1+蠢1倍.

（I）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多可

以调整出多少名员工从事第三产业;

（II）若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则a的最大取

值是多少。

11、某民营企业生产A,B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，

其关系如图1,B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单

位是万元）

（1）分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式.

（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A,B两种产品的生产，问：怎样分配这10

万元投资，才能是企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）.

12、某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表:

（1）若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程;

（2）据（1）的结果估计当销售额为1亿元时的利润额.

13、某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优

化产业结构，调整出x（x£N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为

loE丽）万元（a>0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.

（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调

整出多少名员工从事第三产业？

（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利

润，则a的取值范围是多少？

14、某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利

润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超出部分为A万元，则超出部分按

万阳式4+1）进行奖励，没超出部分仍按销售利润的io%进行奖励。记奖金总额为丁（单位:

万元），销售利润为x（单位：万元）。

（1）写出该公司激励销售人员奖励方案的函数表达式；

（2）如果业务员老张获得5.5万元的奖励，那么他的销售利润是多少万元？

15、甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求IWxWlO）,每小时可获

得的利润是tool得元.

/13）

（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为lOOaf+W-尹J元；

（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最

大利润.

16、某造船公司年造船量是20艘，已知造船工艘的产值函数为冠为=幻0似+非公-10/（单

位：万元），成本函数学=（单位：万元），又在经济学中，函数/的边际

函数》炉（乃定义为灵穴方=。

（1）求利润函数产旧及边际利润函数超演布（提示：利润=产值-成本）；

（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？

（3）求边际利润函数反式为的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是

什么？

17、甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求IWxWlO）,每小时可获得

3

利润是100（5x+l—k）元.

（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；

（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大

利润.

18、某车间生产一种仪器的固定成本是7500元，每生产一台该仪器需要增加投入1Q0元，

已知总收入满足函数：

...,（400x-eWxMQOD）,

R（x）=4

.40000,（^>200）,其中才是仪器的月产量.

（利润=总收入一总成本）.

（1）将利润表示为月产量x的函数；

（2）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润是多少元？

19、某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过20万元时，按销售利

润的20%进行奖励；当销售利润超过20万元时，若超出部分为A万元，则超出部分按210g$

（A+2）进行奖励，没超出部分仍按销售利润的20%进行奖励.记奖金总额为y（单位：万元），

销售利润为x（单位：万元）.

（1）写出该公司激励销售人员奖励方案的函数表达式；

（2）如果业务员老张获得8万元的奖励，那么他的销售利润是多少万元？

20、某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利

润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为4万元，则超出部分按210g5（4

+1）进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励.记资金总额为y（单位：万元），销

售利润为x（单位:万元）.

（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；

（2）如果业务员老张获得5.5万元的资金，那么他的销售利润是多少万元？

========参考答案™==

一、解答题

1、解：⑴由题意得：尸㈤=⑺=&。00-2口炉）_（500衣+4口呵

=-20x2+2500x-4000（1

所以弧㈤=网芯+1)-=2480-40x,(1x£100,xe----4分

(125^2

vP(x)=-20丁741251tq._..

(2)或63时，产1以雌=/1㈤元

v%㈤=24S0-40x.1.X=1时，髓=2440元

--网幻与强㈤不具有相等的最大值10分

(3)边际利润函数前1b)当x取1时有最大值，说明生产第2台与生产第一台的总利

润差最大，即第2台报警系统利润最大;11分

加K?：)是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润相比较，利润在减

少。-------12分

-3X2+180X-40,0<X<20

3000(x-1)

-10x+-----------40,x>20

2、1)x+2

(2)年产量为28万箱时，该酒庄的利润最大，最大利润为2380万元.

【分析】

(1)分0<xM20和x>20两种情况列出解析式即可;

(2)分别结合二次函数在某区间上的最值以及利用均值不等式求出最值，进而比较即可求

出结果.

(1)

当0<xW20时，Af(x)=xH(x)-(40+100x),

所以=x(280-3x)-(40+100%)=-3X2+180X-40

MxH

当工>20时，=(^)-(40+100x);

3000(x7)3000(x-l)

M(x)=x-90+-(40+100x)=-10x+——^—-40

所以x(x+2)

-3x2+180x-40,0<x<20

M(x)=<3000(x-1)

-1Ox+-----------40,x>20

因此x+2

(2)

1)知当0<xW20时，M(X)=-3?+180X-40对称轴为=30,开口向下，所以

由(>x

M"(x)=-3/+180x-40在(0,20］上单调递增，因此当入=20时

M(“-3X202+18°X20-40=2360

当〜。时，幽…整-4。

=-10X-^2+2960

x+2

=-10(x+2)-^+2980

x+2

、9000

<x+2)-----+2980=2380

\+2

当且仅当晔+即18时，等号成立,

因为2380>2360,所以年产量为28万箱时，该酒庄的利润最大，最大利润为2380万元.

3、解：(1)设甲乙两种产品分别投资x万元(x±0),所获利润分别为f(x)、g(x)万元

由题意可设f(x)=缸*,

根据图像可解得f(x)=0.25xQ"；'，g(x)=2&Q之口…3,(没有定义域扣1分)

⑵①由I得f(9)=2.25,g⑼=2赤=6,...总利润y=8.25万元

②设B产品投入x万元，A产品投入18-x万元，该企业可获总利润为y万元,

则y=；(18—x)+26,其中0WxW18

11,,、234

——।i—4)—

令石=t,其中0名£名302

贝ijy=4(-t+8t+18)=4'+4

34

.,.当t=4时，y111ali=4=8.5,此时x=16,18-x=2

/•A、B两种产品分别投入2万元、16万元，可使该企业获得最大利润8.5万元.

4、【解析】（1）由题意得：12（500-x）（l+0.5z%）>12x500.

整理得：/-300x<0,又x>0,故0<xW300.（4分）

12（。-----

（2）由题意知，生产B产品创造的利润为1000万元，

设备升级后，生产工产品创造的利润为12（500-X）（1+0.5A%）万元，。分）

13

3-——x)x<12(500-x)(l+0.5A%)

则121000恒成立,（6分）

f3X5003

ax工+500+—xa£-------4-------+一

1252,且x>0,125x2.(8分)

%,500^„lx500_x500

---+之上咕卜"-—4-----=------

V125X,125X,当且仅当125x,即x=250口寸等号成立,

/.0<a<5,5,

a的最大值为5.5.(12分)

「(1)甲丁=5%乙7=36(2)应投资36万元，最大利润34万元

5、4

6、解：（1）依题意每天生产的伞兵个数为100—才一外

所以利润V=5x+6y+3y)

=2x+3y+300.

(2)约束条件为

r5x+7jH-4100-x-jrW600,

<100—x—

一启0,户0,xWZ,

x+3j<200,

整理得Jx+j«100,

.Bo,代0,x&,元z,

目标函数为42x+3y+300,如图所示，作出可行域.

初始直线4：2x+3y=0,平移初始直线经过点/时，/有最大值.

由"：3‘得:x::最优解为川50,50),

[x+产100,3=50,所以町《=550（元）.

答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元.

0A5x,0<x<8

7、解：⑴由题意知”L1.2+hg5(2x-15),x>8

⑵由题意知L2+log式琳一◎=3.2,解得元=却.所以，小江的销售利润是20万元.

8、解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100—%一%

所以利润片5x+6y+3(100—x—y)=2x+3y+300.(3分)

[5x+7jH-4100-x-jr<600,

⑵约束条件为10°一广后°，

,x,N.

[x+3j<200,

整理得《x+100,.

l.jf^O,x,y^.N.

目标函数为ir=2x+3y+300.

作出可行域.如图所示:

（8分）

初始直线h；2x+3尸0,平移初始直线经过点/时，田有最大值.

x+3尸200,jx=50,

x+y=10Qf得g50.

最优解为2（50,50）,所以%<=550元.

所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元.（12

分）

9、解：（1）由题意,

*0.1x0151

y=J.52)!og5?xl4?x>15.J.......6分

(2)(0,15］时,0.lxW1.5,----------------8分

又y=5.5>1.5,/.x>15,-----------------9分

所以1.5+21og5(x—14)=5.5,x=39.--------------11分

答：老张的销售利润是39万元........12分

10、解：(1)由题意得：10(1000-x)(1+500)^10X1000,

BPx2-500x^0,又x>0,所以0VxW500.

即最多调整500名员工从事第三产业.。。。。。。。。。。。。。5分

（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为1°（&一品）x万元，

从事原来产业的员工的年总利润为1°（1000-X）（1+500X）万元，。。。。7分

则I。-悬)x<10(100"x)⑴嘉)

12

所以500x

2x2

-4-1000+x

所以ax<500

恒成立,10分

2,1000、)2x1000—

因为的x+^丁》2V50。x-4

2x_1000

当且仅当500=x,即x=500时等号成立.

所以aW5,又a>0,所以0VaW5,

即a的最大取值5ooooooooooooo

12分

11、解：

(1)投资为X万元，A产品的利润为了。)万元，B产品的利润为g。)万元,

由题设/。)=用X,g(x)=O],石，.

/(1)=——g(4)=—左2=2

由图知4..14,又名2:.24

从而/。)=^'"*°),g0)=z",(x")3分

(2)设A产品投入x万元，则B产品投入10-x万元，设企业的利润为y万元

//、/1A、—+-J10―K

Y=/W+g(l0-^)=44,(0<x<l0),

,JIO_X=UH3=^^+2Z=_1«_2)2+@,(OV£VM),

令444216

5s25

t=-Ax=10——

当2,必飒口4,此时4=3.75

；.当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元。

12、(1)销售额和利润额具有相关关系，列表如下：

“z”112-5X6X3.4

所以匕=200-5X6="S''

后y一方x=3.4-6X0.5=0.4.+从而得回归直线方程W则双笠

=0.5x+0.4.

(2)当x=10时,"由6c①=Q5义10+0.4=5.4(百万元).

故当销售额为1亿元时，利润额估计为540万元.

13、解:(1)由题意得10(1000—x)(1+0.2x%)210X1000,

即x2—500xW0,又x>0,所以0<x<500.

即最多调整出500名员工从事第三产业.

(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为101”丽,万元，

从事原来产业的员工创造的

年总利润为

10(1000-x)l500。万元，

则lof^sJxWlOdOOO-x)V500ZJ,

3x2J_

所以ax-500^1000+2x-x-500x2,

2x2

所以axW丽+1000+x,

2x1000

即aW丽+~T~+1恒成立，

2£1000/2—00口

因为丽+^^2^500,~=4,

生1000

当且仅当丽=一1，即x=500时等号成立.

所以aW5,又a>0,所以0〈aW5,

即a的取值范围为(0,5].

O.lx.O<^<15

14、解：(I)由题意，得“V5+21ogc(x-14Lx>15

(H)时，0.1芥41.5,

又丁=5.5>1.5二笈:器15,

故1.3+21限卜-14)=5.5,解得天=39,

答：业务员老张的销售利润是39万元.

15、【答案】⑴见下

(2)当生产速度为6千克/小时，这时获得最大利润为457500元。

.―a

【解析】(1)证明：由题知，生产a千克该产品所需要的时间小时，

""，旦记到、「y=上1°仪5芥+1一口=10须◎+”一[x元》其中1三富41。

所获得的利润XXXX

5H......——

所以,生产a千克该产品所获得的利润为100a〈x元；(证毕)

(2)由(1)知，生产900千克该产品即a=900千克时，获得的利润

y=100-900(5+1-4-)=90000[5+-(1-3-)]

X7TXX

1111

由二次函数的知识可知，当_x=_6,即x=6时，yV<Q…0000T5+—6H'---5)'1

=450000+7500=旧500阮)

所以，当生产速度为6千克/小时，运时获得最大利润为457500元.

16、(1)网3=&00-6方=~】浸+45/+究4以-50加(xe27\l^x^20).

MP(x)=+1)-PtA)=-30xJ+60x+3275(xe27*,111x^19)...(4分)

2

(2)=-30x+90x4-3240=-30(x~12)(x+9)vx>0,:.产(工)=0时，x=12

所以当04xvl2时,尸(亢)>0,当*>12时,产0)耳。.衣=12时,

「(方有最大值...(7分)

即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大。(8分)

(3)MP(x)=-30?+60x4-3275=-30(x-l)2+3305,

所以，当了家时，反收布单调