人教A版新课标高中数学必修1第一册练习 《简单的三角恒等变换》同步测试

《简单的三角恒等变换》同步测试

恒等变换（1）

]0L

1.已知cosa=-,aw（兀,2兀），则cos万等于（）

A娓B.一逅C.近

A.----D.

333

已知=」，…cos2a+sin2a+1z.丁,

2.tana则---------;--------等于().

2cosa

3

A.-B.3C.6D.12

sin20°cos20°_

3.

cos50°

1

4.若。是第二象限的角，且cos0<O,则-'二"勺的值是

2s.in0----cos—0

22

什1+tana八八一1

5.右--------=2014,则rlI-------+tan2a=

1-tanacos2a

恒等变换（2）

1.求[2sin500+sin10°-(1+A/3tanl0°)]-71-cos160°的值.

_/兀、

cos2x-tan(—+x)

2.化简：---------——.

cos2(--x)

4

,、cos2a1._

3.求证：—：--------=—sin2a.

1a4

u.2a.exa-2a

।5sin—+8osin—cos—+1Icos----8o

4.已知tana=——，试求---------------------------------的值.

4V2sin(fz—

5.已知A,B,C的坐标分别为A(4,0),8(0,4),C(3cosa,3sina).

(1)若ae(—兀,0),且AC=3C,求角a的大小；

,、,寸42sin?a+sin2a-

(2)若ACJ.8C,求----------------的值.

1+tana

恒等变换（3）

1.已知tana=2,求cos'('+a)-cos'(a-马的值.

36

2.求证：sin3x=4sin(60°-x)sinxsin(60°+x).

3.求值：sin6°sin42osin66osin78o.

4.若sin(x+20°)=cos(x+10°)+cos(x-10°),求tanx.

5.已知0<a<(,尸为函数/(x)=cos(2x+/)的最小正周期，若向量

(八，/c、>2cos2a+sin2(a+J3)

a-tana-v—p,-l,b=(cosa,2),ab=m.求---------------------的值.

II4/；cosa-sina

6.设a=(l+coscr,sina),h=(l-cos/7,sin(3),c-(1,0),其中ae(0,兀),

（71,271）,。与c的夹角为仇，方与c的夹角为％，且4一。2=£，求Sin与2的

值.

答案与解析

恒等变换（1）

B.cosa=g,ere（7i,2K）,yG

1.r4

cos2a+sin2a+12cos2a+2sina・cosa

2.B.------------------------=------------------；---------------=2+2tana=3o.

cos'acosa

3sin200cos20。fin-gin-」

2cos50°cos50°sin4002

。是第二象限的角，且cos^vO,

4.-1.2E+一兀<—<2/at+一兀（丘z）,

2422

2。°.eo.oo.o

.cos——2sin--cos—+sin2—cos——sin—

J1-sin。V2222=22

~~00~eo~~~eo

sin——cos—sin——cos—sin——cos

222222

5.2014._J_+tan2a==（出j+sina#

cos2acos2acosa-sin-a

cos+sin1+tana八八一

=------------------=-------------=2014.

cosa—sina1-tancr

恒等变换（2）

1.分析：只需把正切化正、余弦，再运用三角函数公式一步一步化简直到最简结果.

-cos100+—sin100

原式=2sin50°+2sinl0°--------------------------------•夜coslO°

cos10°

=272[sin50°-cosl00+sinl0°-cos（60°-10°）]

=2V2sin(50°+10°)=2V2x^=V6.

小1+tanx八小cosx+sinx

cos2%--------2cos2x----------------

2.原式=________1-tanx_________cosx-sinx

八F[l+cosg-2x)]-1+行2》

22

c_cosx+sinx

2cos2x------------

____________cosx-sinx2cos2xcosx+sinx

--------：---=2.

sin2x+2sinxcosx+cos2x(cosx+sinx)2cosx-sinx

3.证明:

(方法)左边

aa

2C2~ao%a।

caoas2

a.aa,a0a.a2cos>cr

cos—sin-cos----sin—cos----sin

222222

.aa.aa

sin—cos-sin—cos—

2222

二—cosasina=—sinacosa=—sin2。=右边,

224

，等式成立.

.a

sin—sin2——(1-C0S6Z

a2:2、l-cosasina

（方法二）tan一2

2a.aa1.sina1+C0S6Z

cos—sin—cos——sm。

2222

cos2acos2asina

；・左边二=—sinacosa=—sin2a=右边,

1+cosal-cos6z2cosa24

sinasince

・•・等式成立.

aCa

cos2ertan—2tan

1

(方法三)左边=----------2=—COS2a2=-1cos2Ftanc

21202

l-tan~—1-tan—

22

=—sinacosa=—sin2a=右边.

24

「1一cosa.-1+cosa

5---+4Asina+lb———8o

4.原式=22

->/2cosa

5-5cosa+8sina+11+11cosa—16

-2V2cosa

8sina+6cosa_8tana+6

-2-^2cosa-25/2

5.(1)由已知得>J(3cos<z-4)24-9sin2a=J9cos2a+(3sina-4)2

aG(一兀，0),.

(2)由(3cosa—4)-3coscr4-3sincr(3sincr-4)=0

得sina+cos。=一，

4

7

平方得sin2a=—,，

16

2sin2cr+sin2cr2sin2crcos«+2sin(7cos2a.八7

-------------=-------------------------=2sinacosa=sin2cr=

1+tanasina+cosa16

恒等变换(3)

丁tana=2•二cos2a=-

55

又cos4q+a)-cos4(弓-a)=cos4(1+a)-sin4(；+a)

ITTTzTT

cos2(耳+a)—sin2(—+a)=cos(—+2a)

3-473

=cos—cos2a-sin—sin2cr=

3310

2.sin3x=sin(x+2x)=sin%cos2x+cosxsin2x

=sinx(l—2sin2x)+2(1—sin2x)sin%=3sin九一4sin3x,

[走cosHsinjsinx

4sin(60°-x)sinxsin(600+x)

122J

=4(：cos?x-^-sin2xj-sinx=4(-1-sin2xj-sinx=3sinx-4sin3x,

故sin3x=4sin(60°-x)sinxsin(60°+x)

3sin60sin42°sin66°sin78°=sin6°cos12°cos24°cos48°

_(2cos6°sin6°)cos12°cos24°cos48°_(2sin12°cos12°)cos24°cos48°

2cos6022cos6°

sin96°_1cos6°_1

=2’cos6。一五cos6。一记

sin(x+20°)=cos(x+10°)+cos(x-10°)

4.

sinxcos20°+cosxsin20°=2cosxcosl0°，

sinxcos200=(2cosl00—sin200)cosx.

2cos100-sin20°2cos(30°-20°)-sin20°6cos20°

tanx=

cos20°cos20°cos20°

5.因为夕为/(x)=cos2x+g的最小正周期，故/?=兀.

因40=相，又ab=cosof-tan]a+；/?j-2.故cosa•tan]a+；1/?j=m+2.

4

71

由于0<a<一,所以

4

2cos2a+sin2(a+/?)_2cos2a+sin(2a+2兀)

cosa-sinacosa-sina

_2cos2a+si