高中数学解析几何大题专项练习

解析几何解答题

22

的两个焦点为R、E,短轴两端点BuB2,已知

2L..V-

1、椭圆G：1(ab0)

22

ab

Fl、F2、BI、B2四点共圆，且点N(0,3)到椭圆上的点最远距离为52.

(1)求此时椭圆G的方程；

(2)设斜率为k(k10)的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F,Q为EF的中点，问E、F两点能否关于

过点P(0,°)、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由.

3

2、已知双曲线221221

Xy的左、右顶点分别为A、Az,动直线I:ykxm与圆xy相切，且与双曲

线左、右两支的交点分别为

R(xi,yi),R(X2,y2).

(i)求k的取值范围，并求x2x的最小值;

(n)记直线RA的斜率为ki，直线P2A2的斜率为1<2，

1

2

3、己知抛物线c.yax的焦点为曰点长(1,0)为直线I与抛物线C准线的交点，直线I与抛物线C相交于A、

B两点，点A关于X轴的对称点为

D.(1)求抛物线C的方程.

(2)证明：点F在直线BD匕

iLiruuirg

(3)设一

FA7FB

,求BDK的面积.9

彳

4、已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上，离心率为,点P(2,3kA、B在该椭圆上，线段AB的

2

中点T在直线OP上，且A、O>B三点不共线.

(I)求椭圆的方程及直线AB的斜率；

(n)求PAB面积的最大值.

2

222

X_的焦点分别为R(1,0)、F2(1,0),直线I:

yXa

5、设椭圆1(0)

ab

22

ab

unruuur

交x轴于点A，且

AF12AF2.

(I)试求椭圆的方程；

(n)过R、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于

27

的面积为,求DE的直线方程.

7

6、已知抛物线P：x2=2py(p>0).

(I)若抛物线上点M(m,2)到焦点F的距离为3.

(i)求抛物线P的方程：

(ii)设抛物线P的准线与y轴的交点为E,过E作抛物线P的切线，求此切线方程；

(II)设过焦点F的动直线I交抛物线于A,B两点，连接AO,BO并延长分别交抛物线的准线丁C,D

两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F.

3

7、在平面直角坐标系xOy中，设点P(x,y),M(x,4),以线段PM为直径的圆经过原点0.

<1)求动点P的轨迹W的方程；

(H)过点E(0,4)的直线I与轨迹W交于两点A,B,点A关于y轴的对称点为A',试判断直线A'B是否恒

过一定点，并证明你的结论.

J(ab0)的离心率为三0，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形

8、已知椭圆一

M:

周长为642.

(I)求椭圆M的方程;

(n)设直线I与椭圆M交于A,B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,

求ABC面积的最大值.

4

9、过抛物线C:22（°）

ypxp上一点M（2,p）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于A、B两点。

（1）求证：直线AB的斜率为定值；

20

（2）已知AB两点均在抛物级C:2

ypxy上，若^MAB的面积的最大值为6,求抛物线的方程。

22

10、已知椭圆「小的左焦点F（c,0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右

221(aD0）

ab

顶点，过点F且不与y轴垂直的直线I交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为ki,k2.

（1）当点D到两焦点的距离之和为4,直线IX轴时，求仁："的值;

（2）求ki:L的值。

5

11、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2L2_1(a>b>0)的离心率为4，其焦点在圆x2+y2=1上.

a2b22

(1)求椭圆的方程；

(2)设A,B,M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角3,使

UULLTuurUU

IT・

OMcosOAsinOB

(i)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；

(ii)求OA2+OB2.

225«2

V222十

12、已知圆乂：(x3)y的圆心为M,圆N:(x3)y的圆心为N,一动圆与圆M

内

1616

切，与圆N外切.

(I)求动圆圆心P的轨迹方程：

(n)(I)中轨迹上是否存在一点Q,使得MQN为钝角？若存在，求出Q点横坐标的取值范围;若不存在,

说明理由.

6

的右焦点，点M(m,0)、N(0,n)分别是x轴、y轴上的动点,

13、已知点F是椭圆1(0)

____Y_a__,

2

1a

且满足MNNF。.若点P满足0M2ONPO.

(I)求点P的轨迹C的方格

(口)设过点F任作一直线与点P的轨迹交于A、B两点，直线OA、OB与直线xa分别交于点S、T(0

LUTu是否为定值？若是，求出这个定值；若不

11r是，请说明理由.

为坐标原点)，试判断FSFT

：4、在平面宜角坐标系xOy中，已知圆(x1)2y216与点A(1,0),P为圆B上的动点,

线段PA的垂直

平分线交直线PB于点R,点R的轨迹记为曲线Co

(1)求曲线C的方程；

(2)曲线C与x轴正半轴交点记为Q,过原点O且不与x轴重合的直线与曲线C的交点记为M,N,连结

QM,QN,分别交直线xt(t为常数，且x2)于点E,F,设E,F的纵坐标分别为yi,y2,求山y2的

值(用t表示)。

7

答案:

1、解：（1）根据搠曲I俅顺段匕松马段B1B2互相垂直平分，故蒯心幽联物融圆

1分

22y22b2

故偏圈a2b，2&W痛处3分

设（x,y）摘圆一点,则

222

4分

22

HN3)(y3)2b18,其中byb

£

2b

若。b3,MIb时HN|有最大值695分

2bb

由6950352

b得(舍去)(WU)2+39<27,故无解)6分

2b2

若b3,当V3期N有最大埴187分

2y2

—

2b

2

由2b1850得16,所求脚案的.匚

8分3216

221

Xy

11两式相减得

(1)（殳，)，，).()

32161

EXi1Fx_yQxy则22

1F20o

2y

X2

3216

13

xo2ky00……③又直随k直绩.,直BQ方程为x

匚1匚

3

将点Q（x°,y）代入上式得,•…④..

0yox

11分

।

厂厂k3

233

由③④得Q（卜）

3，分

3

22

Xo*

y

0

而Q点必在隔部1

3216

9494

由此得2kkk

k，又0,0或0，故当

222

9494

k（2，°）（°，2）

时E、F两点关于点P、Q的直耨14分

m

2,解：＜|)QI与阙切，1212

mk

①

ykxm222

由

221，得（1k）x2mkx（m1）

8

2

1k0

222222

4mk4(1k)(m1)4(m1k)80,

21

0

XX1

122

k

21,

k1—k-1,故k的取彳y范围为（1,1).

2

2mk222220

由于'Q0k1当

2k时，X2Xi

XX——x-(XX)4xx

12221121222

1k1k1k

取最小值22.6分

（n）由已知可得A,4的坐标分别为(1,0),(1,0),

yyy(kxm)(kxm)

1kk1212

R--------TIT'2(x彳

121)(x1)

------^―12

x1x1

12

2

22m12mk

22

k-x-x——mk(xxn-

kmk

12m

22T

XX(XX)1k1k1

1J2212

m121«

2

k1k1

2222222222

mkk2mkmikmkm

22

22222

m122k1

mk

1

由①，得221

kk(322）为定值.12分

mk12

322

3、解:(1)24

yx

设的方程为

A(xi,yi),B(X2,y2).D(xi,—yrtrlxmy1(m0).

(2)将xmy1代人：242440

yx并整理得ymy

从而yiy24m,yiy24.

y

直线BD的方程为2V、

Vy(xX

2?

xX

21

2

yy

即4y令12

2

y0,得x1.

yy(x)4

2

yy4

21

所以点F(1,0)在直线BD上

2

(3)由①知，xiX2(myi1)(my21)4m2

9

uuruur

(

X|X2(myi1)(my21)1.因为FA(x1,y),FBXty)

1122

uirmr

2

FAFB(x1)(x1)yyxx(xx)1484m

12_12121_2

4

84m,解得m

3

9

所以।的方程&x4y30,3x_4y30_|

16111616

又由①知yy4m故SKF?yy?2?

12T2233

22,

xy

221(ab0)

4、解：（I）椭Ml方程为

ab

16212

,b

22

ab

221

皿xy

所以撕网为3分

1612

鹿的方程为kxt

（礴可知直般斜率存在）,

22

xy1

武(x,y),B(x,y),跑1612'得

1122

ykxt

22

2----------------221216

34kx8ktx4t480由。，得；k

--------8kt，田xy

xxo,o

122

34k

4t48

xx

122

34k_

4kt3t，易知x00，

x,y

0202

34k34k

一—y31

由OT与OP斜率相等可得。，即k

x2

o一

221

xy1

所以酬诩孰,直州的斜率为2•••6分

1612

1

(II)设期的方程为

yxt,即x2y2t0,

2

10

1

y一xt,

由2

1612

得22120

Xtxt

24(212)0

静

t,4t4.............................8匚L

xxt,V515

12222

2|AB|(1k)[(xx)4xx](483t)16t

XXt______

12『-1212

12.742

_|82t

点p到直绸的距离由Vr-

"~T75

于是PAB的面的

1|82t|151

3

S16t(4t)(123t).....................10分

PAB

2522

32

设(t)(4t)(123t),f'(t)12(t4)(t2),其中4t4.

在区间2,4)内,f'(t)0,f⑴是减函数；在区何4,2)内，f'(t)0,f(t)是增函数.所以f(t)的最

大借(2)6.于是SPAB的最大面8..................................12分

1444r---

2

|FF|2c2,A(a,0)

5、解：(I)由题，一—一1分

121

uuurour

QAFi2AF2F2AF1的中点---------2分

a?b22

3,

-----------3分

x

即：腑的

3

2

(II)当直用E与X轴直时-b-------4

।DE|2,此卜MN|2a23,

a

----------3

|DE||MN|

四遵DMEN的面积

S4不符合题故舍掉；--------4分

2

同理当MN与x轴直时也有四透DMEN的面积符合题故舍掉；

5分

当直线MN均与x新垂直时@E：yk(x1),

2x2k2xk

代入消去y得：(23k)6(36)0.-----------6分

2

6k

xx

22

23k

设)，(x,y),

D(x,yE则---7分

1122

2

3k6

XX

122

23k

11

r

所以I4、3、k1

4x-----------8分

k

12

«-2

所以I

2

DE|k1p(-----------9分

1

_____f7^-

1

2-------

同43[()1]43(1)

理2

kk

1

1)24(/222)

所

以k

四6*2113

边

形2

的k

面

积

27

由2

Sk2k2,

--------12分

7

所以直线IDE：2xy20或联：2xy20

分

或I:2x2y20或IDE：2X2y20--------13

DE

6、解：(I)(i)由抛物线定义可知，抛物线上点M(m,2)到焦点F的距离与到准线距离相等，即M(m,2)

到P

1V的距离为3；

2

p,解得p2.

23

2

抛物线P的方程为24

xy•4分

(ii)抛物线焦点F(0,1),抛物线准线与y轴交点为E(0,1),

显然过点E的抛物线的切线斜率存在，设为k,切线方程为ykx1.

24—

由XV>消y得2440

y

1xkx6分

ykx

2

16k160,解得k1.7分

,切线方程为yx1.8分

P

口）直线I的斜率显然存在，设I:ykx

2

设

A(x,y),B(X2,y2),

11

22

Xpy

由2220

p消y得

ykxXpkxP.且0.

2

2

Xi2pk,

xxP；

12

12

A(x,y),直线OA：1

11yx

X

与艮

匚,同理得,P

Jy联立可得10分

2C()D)

2y22y2

12

P

,/焦点F(0,),

Z

uuirUULT12分

•'­px'

1

FC(,-p)FDL,p)

2y2y

12

uuiruiir2

——px——px—px—pxpXX

12122122

FCFD(一一-p)(，p)pP

2y2y2y2y4yy

121212

2440

pXXPP

12222

PPP

222

XXXXp

1212

4

2p2p

以CD为直径的圆过焦点F.14分

7、解:(I)由题意可得OPOM,2分

uuirUULT

所以OPOM0>即(x,y)(x,4)04分

即24024

xy,即动点P的轨迹W的方程为xy5分

(ii)设直线I的方程为ykx4,A(x,y),B(x,y),则A'(Xi,yi).

1122

v/kx

由y4消y整理得24160

---------Xkx,6分

2

x4y

2

则16k640,8P|k|2,7分

XiX24k,XiX216.9分

yy

直线21

A'B:y­y—*X)-

2

xx

21

yy

21

y(xx)y

22

XX

21

2212分

XX1

212

y(XX)X

22

4(xx)4

12

2

XXXXX1

2

21212

yXX

2

44

XXXX

y2112

X

44

13

XX

即

~74

yx

4

所以,直线A'B恒过定点（0,4）.13分

8、解：（1）因为椭圆M上一点嘉的两个焦点构成的三角形周长为642,

所以2a2c61分

即c2222

又椭圆的离心率为22,

，所以c，2分

a3a

J3

所以a3.c22.4分

2

X

2

所以b1，椭圆M的方程为1

5分