高考数学二轮复习 第二部分 突破热点 分层教学 专项二 五 1 第1讲 直线与圆学案-人教版高三全册数学学案

第1讲直线与圆

居搞图册

年份卷别考查内容及考题位置命题分析

圆的方程、直线与圆的位置关

卷II

2018系•T19（2）1.近两年圆的方程成为高

卷m直线与圆的位置关系・丁6考全国课标卷命题的热点，

圆的性质、点到直线的距离、双需重点关注.此类试题难度

卷1

曲线的几何性质•T15中等偏下，多以选择题或填

圆的弦长问题、双曲线的几何性空题形式考查.

卷U

2.直线与圆的方程偶尔单

质•T9

2017

直线与圆的位置关系、点到直线独命题，单独命题时有一定

的距离、椭圆的离心率的深度，有时也会出现在压

卷HI

直线与圆的方程、直线与抛物线轴题的位置，难度较大，对

直线与圆的方程（特别是直

的位置关系•T20

圆的方程、点到直线的距离应线）的考查主要体现在圆锥

卷II

曲线的综合问题上.

2016用•T4

卷m直线与圆的位置关系•16

考点突破‘T夯实核心知识，突破重难瓶颈

r■___________________

考点㊀

直线的方程（基础型）

n两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线心的斜率左，左存在，则11〃心0左=左，，1，40左左=-1.

若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.

a2个距离公式

(1)两平行直线Z：Ax+By-\-Ci—Q,l2zAx+的+G=0间的距离d=

|Axo-\-Byo-\-C\

⑵点（刘，㈤到直线/：而+少+。=0的距离公式d=

［考法全练］

1.若平面内三点4(1,—a),6(2,a2),<7(3,d)共线，则a=)

A.1土(或0B.2或°

—D.4或。

2_i_

解析：选A.因为平面内三点2(1,-a),6(2,a?),C(3,a')共线，所以左尸标，即生拜

乙-1

4+己I-

=：_；,即a(/一23-1)=0,解得a=0或a=l土铺.故选A.

2.若直线勿x+2p+/=0与直线3sx+(勿一1)夕+7=0平行，则力的值为()

A.7B.0或7

C.0D.4

解析：选B.因为直线mx+2y+/n=0与直线3以x+(刃一l)y+7=0平行，所以

=3/77X2,所以勿=0或7,经检验，都符合题意.故选B.

3.两条平行线人人分别过点户(一1,2),0(2,-3),它们分别绕八0旋转，但始

终保持平行，则人人之间距离的取值范围是()

A.(5,+8)B.(0,5]

C.(展，+8)D.(0,弧]

解析：选D.当直线尸0与平行线，，人垂直时，1图为平行线Z,入间的距离的最大值，

为人(一1—2)4[2—(—3)1=取,所以L,心之间距离的取值范围是(0,a].故

选D.

4.已知点4(1,2),6(2,11),若直线尸卜一|jx+lEW0)与线段46相交，则实数

〃的取值范围是()

A.[-2,0)U[3,+8)B.(-8,-1]u(0,6]

C.[-2,-1]U[3,6]D.[-2,0)U(0,6]

解析：选C.由题意得，两点4(1,2),8(2,11)分布在直线尸卜一外叶1(mW0)的两

侧(或其中一点在直线上)，所以卜一泉一2+112(®一D一11+1W0,解得一2W〃W—1或

3W故选C.

5.(一题多解)己知直线/：x—厂1=0,Ji：2x—y—2=0.若直线心与，关于直线/

对称，则直线心的方程是.

解析：法一：，与乙关于/对称，则，上任意一点关于/的对称点都在心上，故,与

，的交点(1,0)在,2上.

又易知(0,—2)为Z上的一点，设其关于/的对称点为(X,力，则

xy—2

-——^——1=0,

X=­l

,解得

上义1=-1

X

即(1,0),(—1,—1)为心上两点，故可得4的方程为x—2y—1=0.

法二：设人上任一点为(无。，其关于/的对称点为(荀，%),则由对称性可知

rx+xiy+yi

~21=0,

<

一

y7Xl=-1,

^X~X\

fxi=p+l,

解得1

因为(矛1,%)在Z上，

所以2(y+1)—(x—1)—2=0,即入的方程为x—2y—l=0.

答案：x—2厂1=0

考点㈡

圆的方程(综合型)

圆的3种方程

(1)圆的标准方程：(x—a)'+5—6)2=/

(2)圆的一般方程：_/+/+圆+。+尸=0(万+1-4冷0).

(3)圆的直径式方程：(x—不)(x—莅)+(y—K)(y—%)=0(圆的直径的两端点是力(为，

yi),6(x2,〃)).

［典型例题］

例；F］在平面直角坐标系x6y中，曲线r：y=f—0x+2〃EeR)与X轴交于不同的两

点4B,曲线〃与y轴交于点C

(1)是否存在以为直径的圆过点。若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理

由.

(2)求证：过4B,C三点的圆过定点.

【解】由曲线尸廿一以x+2〃(〃GR),令y=0,得3—以*+20=0.

设/(xi,0),B(xz,0),则可得zl=fn—8ni>0,xi+x2=ni,XiX2=2m.

令x=0,得y=2m,即。(0,2ni).

(1)若存在以43为直径的圆过点C,贝朗。•6C=0,得xi兹+4疡=0,

1

-

即2%+4方=0,所以"=0或m=2

由/>0得加0或必>8,所以必=一2,

此时C(0,-1),45的中点«一；,0)即圆心，半径下=|如=乎,

故所求圆的方程为b+f+/=*

(2)证明：设过48两点的圆的方程为〃x+£『+2必=0,

将点C(0,24代入可得£=—1—2/，

所以过4B,C三点的圆的方程为3+炉一〃x—(1+24y+2〃=0,

整理得xy—y—m{x-\-2y—i)=0.

网陶筋肉

求圆的方程的两种方法

(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐

标、半径，进而求出圆的方程.

(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进

而求出圆的方程.

［对点训练］

1.圆(x—l)?+(y—2M=1关于直线y=x对称的圆的方程为()

A.(x—2"+(y—1)2=1

B.(矛+1-+5—2y=1

C.U+2)2+(/-l)2=l

D.(x—l)^+5+2)2=1

解析：选A.由题意知圆心的坐标为(1,2).易知(1,2)关于直线y=x对称的点为(2,

1),所以圆(x—l”+(y—2尸=1关于直线y=x对称的圆的方程为(x—2)'+(y—1¥=1,故

选A.

2.已知△/6C三个顶点的坐标分别为4(1,0),6(0,4)，C(2,/)，则△/6C外接

圆的圆心到原点的距离为()

5A/21

A.-B.{

00

4

3

解析：选B.设外接圆圆心为a因为△/以外接圆的圆心在线段及7的垂直平分线上，即

尸平,所

直线X=1上，可设圆心户(1,P),由序=阳得|/=3+(P—木)2,解得

以圆心坐标为A1,

故选B.

3.经过原点且与直线x+y—2=0相切于点(2,0)的圆的标准方程是()

A.(jr—1)2+(y+l)2=2

B.(x+lT+Cr—1/=2

C.(x—1尸+(y+1)2=4

D.(jr+l)2+(y—1)2=4

解析：选A.设圆心的坐标为(a,加，则抖公产①，(a—2)4八/②，£=1③,

联立①②③解得a=l,b=~l,合=2.故所求圆的标准方程是(x—l>+(y+l)2=2.故选A.

考点㈢

直线与圆、圆与圆的位置关系(综合型)

E1直线与圆的位置关系的判定

(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：相交；d=r=相

切；色>r=相离.

(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式/来讨论位置

关系：/>0o相交；4=0=相切；/<0o相离.

a圆与圆的位置关系的判定

(1)。>"+逸=两圆外离.

(2)d=-+r2=两圆外切.

(3)|_n—及|<£/<乃+勿=两圆相交.

(4)d=|六一(_n#_n)=两圆内切.

⑸OWd<|ri—g|(riW_n)o两圆内含.

［典型例题］

口命题角度一圆的切线问题

丽(2018•永州模拟)自圆C：(x—3>+5+4y=4外一点P(x,y)引该圆的一条切

线，切点为0,网的长度等于点尸到原点。的距离，则点尸的轨迹方程为()

A.8x—6y—21=0B.8x+6p—21=0

C.6x+8y-21=0D.6x—8p—21=0

【解析】由题意得，圆心。的坐标为(3,-4),半径r=2,如图.

因为加0|=|如I，且尸在攵,

所以|如「+产=|用2,

所以/+y+4—(x—3/+(y+4)2,

即6为一8/-21=0,所以点户的轨迹方程为6x—8y—21=0,故选D.

【答案】D

网01法膻

过一点求圆的切线方程的方法

⑴过圆上一点(荀，㈤的圆的切线的方程的求法

若切线斜率存在，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率瓜20),由垂直关系知切线

斜率为T，由点斜式方程可求切线方程.若切线斜率不存在，则可由图形写出切线方程X

=XQ,

(2)过圆外一点(荀，㈤的圆的切线的方程的求法

当切线斜率存在时，设切线斜率为A,切线方程为p—照)，即Ax—p+为一Axo

=0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程.当切线斜率不存在时要加以验证.

口命题角度二直线与圆相交问题

瞅可在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与y轴相切，且过点〃一小).

(1)求圆C的方程；

(2)已知直线，与圆C交于46两点，且直线处与直线"的斜率之积为一2.求证：直

线/恒过定点，并求出定点的坐标.

【解】⑴因为圆C过点〃(1,邓),M1，一事),

所以圆心C在线段温的垂直平分线上，即在x轴上，

故设圆心为C(a,0),易知a>0,

又圆C与y轴相切，

所以圆。的半径

所以圆。的方程为(x—42+炉=/

因为点〃(1,在圆c上，

所以(1—抄2+(/)2=/,解得a=2.

所以圆C的方程为(x—2/+/=4.

(2)记直线OA的斜率为4(20),

则其方程为y=kx.

\(x—2)?+炉=4,

联立，得，消去八得(2+1)£—4才=0,

[p—kx,

4

解得Xi=0,用=尸>+].

…(44A、

所以♦+J

22

由k•koB=-2,得koB=—p直线OB的方程为y=一甘

在点4的坐标中用一缶换4,得■+4,7+4)

44旅4

当直线/的斜率不存在时，==庐/，得如=2,此时直线/的方程为x=g.

44彦

当直线，的斜率存在时，乔百即始W2.

4A—84

A2+l始+4

则直线1的斜率为p----丁=

?+1-7+4

4k（^+4）+8A（A'+l）3k（'+2）3k

4（炉+4）—4:（女+1）=-4一：-=2~t

故直线1的方程为y一三=法（了一号力.

即尸治（x—0,所以直线/过定点0）.

综上，直线/恒过定点，定点坐标为6，o）.

网菖法明

直线与圆相交问题的求法

（1）弦长的求解方法

①根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系/="+:（其中1

为弦长，A为圆的半径，d为圆心到直线的距离）.

②根据公式/=行示|为一后|求解（其中，为弦长，为，为为直线与圆相交所得交点的

横坐标，"为直线的斜率）.

③求出交点坐标，用两点间距离公式求解.

（2）定点、定值问题的求解步骤

①设：设出直线方程，并代入圆的方程整理成关于x（或了）的一元二次方程.

②列：用参数表示出需要证明的直线或者几何式子.

③解：判断直线是否过定点或对表示出的代数式进行化简求解.

［对点训练］

1.（2018•黄山模拟）已知圆。：/+4=1,点?为直线;十究=1上一动点，过点?向圆

。引两条切线序，PB,A,6为切点，则直线26经过定点（）

XV

解析：选B.因为点尸是直线］+*=1上的一动点，所以设尸（4—2如ni）.因为以，PB

是圆/+/=1的两条切线，切点分别为4B,所以如，用，OBLPB,所以点46在以8

为直径的圆C上，即弦48是圆。和圆C的公共弦.所以圆心。的坐标是(2一如U，且半径

(4—2加2+«

的平方r=

4

所以圆C的方程为程一2+血2+1|/=(4―2：)",①

又/+/=1,②

所以②一①得，(2勿-4)x—初+1=0,

[—4x+1=0,

即公共弦Z8所在的直线方程为(2x—p)〃+(—4x+1)=0,所以由°八得

[2x—y=0

「1

x=I，

<]所以直线四过定点g，习.故选B.

、尸5'

2.已知圆C经过点/(0,2),6(2,0),圆「的圆心在圆/+/=2的内部，且直线3x

+4y+5=0被圆C所截得的弦长为2艰.点尸为圆C上异于48的任意一点，直线序与x

轴交于点弘直线以与了轴交于点儿

(1)求圆。的方程；

(2)若直线尸x+1与圆C交于4,4两点，求胡1•胡2；

⑶求证：|/川•|飒为定值.

解:(1)易知圆心。在线段46的中垂线y=x上，

故可设C(a,a),圆。的半径为r.

因为直线3x+4y+5=0被圆。所截得的弦长为2事,且r=y]a+(a-2)2,

所以C(a,a)到直线3x+4y+5=0的距离一=-/_3r2a2—4a+l,

0

所以a=0或5=170.

又圆。的圆心在圆/+/=2的内部，

所以a=0,圆C的方程为x+y=4.

(2)将y—x-\-1代入x?+/=4得2x?+2x—3=0.

设4(矛1,%),4(x2,必)，

E.3

则矛+1色=-1,XxX2=~~

所以物i•BA2=（矛l2）（生一2）+刃刃=矛1至一2（矛1+就+4+（矛1+1）（至+1）=2XIX2—

+3+5=-3+1+5=3.

(3)证明：当直线用的斜率不存在时，|/川・|阳|=8.

当直线必与直线外的斜率都存在时，设尸(刘，丹)，

直线身的方程为尸TX+2,令y=0得/卢，0).

照12—%)

直线处的方程为尸表(L2),令户。得《。，色

_2y^,Y

所以•|驯=2-

2—x。入2-y0J

%.刘刘先

=4+4

XQ—2yo—2（施一2）（jo—2）

/—2〃+3—2照+土乂）

=4+4X

（Ab—2）（乂）一2）

4—2yo-2照+助为

=4+4X

（Ad-2）（yo—2）

=4+4X匕红上二=8

4—2jo-2照+苞为

故Mm•I飒为定值&

■■■专题强化训练■■■L

一、选择题

1.(2018•高考全国卷III)直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A,8两点，点?在

圆(x—2/+/=2上，则△/如面积的取值范围是()

A.[2,6]B.[4,8]

C.[事,3^2]D.[272,3y[2]

解析：选A.圆心(2,0)到直线的距离412哭21=2s,所以点夕到直线的距离4

e：V2,3y/2].根据直线的方程可知46两点的坐标分别为4(—2,0),B(0,-2),所以

\AB\^2y[2,所以△/即的面积.因为372],所以Se[2,6],

即△/第面积的取值范围是[2,6].

2.圆。与x轴相切于7(1,0),与y轴正半轴交于/、8两点，且|/引=2,则圆C的

标准方程为()

A.(x—1尸+5一镜尸=2

B.(x-l)2+(y-2)2=2

C.(x+l)2+(y+收=4

D.(x—1)?+(y—镜)。=4

解析：选A.由题意得，圆C的半径为加不1=小，圆心坐标为(1,小),所以圆。的

标准方程为(x—l>+(y—出]=2,故选A.

3.半径为2的圆。的圆心在第四象限，且与直线x=0和x+y=2/均相切，则该圆的

标准方程为()

A.(jr—1)2+(y+2)2=4

B.(x-2)2+(y+2)2=2

C.(jr-2)2+(y+2)2=4

D.U-272)2+(y+2-72)2=4

解析：选C.设圆心坐标为(2,一a)(a>0),则圆心到直线x+y=2镜的距离d=

2―%2郎=2,所以a=2,所以该圆的标准方程为(x—2)?+(y+2)2=4,故选C.

4.(2018•湖南湘东五校联考)圆(x—3>+(y—3产=9上到直线3x+4y—11=0的距离

等于2的点有()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解析：选B.圆(x—3尸+(y—3/=9的圆心为(3,3),半径为3,圆心到直线3x+4y—

|3X3+4X3-11|

11=0的距离d==2,所以圆上到直线3x+4y—11=0的距离为2的点有

^32+42

2个.故选B.

5.在平面直角坐标系内，过定点户的直线ax+y—1=0与过定点。的直线加：x—

ay+3=0相交于点〃，则|肺「+|第2=()

B.y[ld

C.5D.10

解析：选D.由题意知?(0,1),0(—3,0),因为过定点尸的直线ax+y—1=0与过定

点0的直线x—ay+3=0垂直，所以物L他，所以|解「+|颇||%2=9+1=10,故选

D.

6.(2018•郑州模拟)已知的三个顶点坐标分别为/(—2,3),6(—2,-1),以6,

-1),以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为()

A.x+y=1

B./+/=37

C.丁+/=4

D.*+/=1或/+/=37

解析：选D.如图，易知〃所在直线的方程为x+2y—4=0.点。]

到直线x+2y—4=0的距离4=三^=等〉1,勿=、(一2)"+3'=寸

V13,08=7(-2)?+(一+=乖,0，=«6°+(7)2=病,‘，

所以以原点为圆心的圆若与三角形46C有唯一的公共点，则公共点为(0,-1)或(6,-1),

所以圆的半径为1或屈则该圆的方程为/+/=1或/+y=37.故选D.

二、填空题

7.(2018•南宁模拟)过点(嫡，0)引直线/与曲线丁=41—卜相交于46两点，。为

坐标原点，当△水省的面积取最大值时，直线/的斜率等于

解析：令P(小，Q),如图，易知|而|=|同=1,

所以酸如=；|的|,|0B\•sinZAOff

11

=,sinN/如W],

当NZ仍=90°时，△/如的面积取得最大值，此时过点。作人四于点〃，贝『明=乎,

亚

\OH\___2__1

于是sinAOPH—W=V2=2'易知/勿狎为锐角，所以/勿狎=30°,

则直线46的倾斜角为150°,故直线46的斜率为tan150

3,

答案：一平

8.已知动直线/o：ax+by-\-c—2=0(a>0,c>0)恒过点尸(1,m),且0(4,0)到动直线

19

1。的最大距离为3,则针+一的最小值为________.

Zac

解析：动直线4：dx+by-\-c—2=0(5>0,c>0)恒过点尸(1,ni),所以a+6勿+c—2=0.

又0(4,0)到动直线1。的最大距离为3,

所以yj(4—1)2+(0—777)2=3,解得m=0.

所以a+c=2.

121七+3噂+或+勺出|+26刁号，当

又a>0,c〉0,所以为+]=]（a+c）

4

且仅当c=2a=不时取等号.

0

9

答案：I

9.(2018•桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考)设圆C满足：①截y轴所得弦长

为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线7：x—2y=0的距离为

d.当d最小时，圆C的面积为.

解析：设圆C的圆心为C(a,6),半径为r,则点。至!Jx轴，y轴的距离分别为必，Ia|.

由题设知圆C截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°,知圆。截x轴所得的弦长为镜“故

f=2况又圆C截y轴所得的弦长为2,所以合=a?+l,从而得2而一d=l.又点以a,6)

到直线X—2尸0的距离d=a^

，所以5-=(a—26)2=@2+4而一4a/^a'+M。一2(a?+

\a—b

Z?2)=2Z?2-a2=l,当且仅当即旨=炉=1时等号成立，止匕时d取得最小值，此

[2t)~a=l

时d=2,圆C的面积为2口.

答案：2n

三、解答题

10.已知点户(2,2),圆C：V+/—8y=0,过点户的动直线，与圆C交于48两点,

线段的中点为弘。为坐标原点.

(1)求〃的轨迹方程；

⑵当|用=1M时，求/的方程及a/w的面积.

解：(1)圆，的方程可化为5—4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.

设〃(x,y),则aa(x,y—4),MP=0—x,2—j).

由题设知西^真=0,

故x(2—x)+(y—4)(2—y)=0,

即(x—1)?+5—3尸=2.

由于点尸在圆C的内部，

所以〃的轨迹方程是(x—lM+(y—3/=2.

(2)由(1)可知〃的轨迹是以点Ml,3)为圆心，/为半径的圆.

由于|。|=|刎，故。在线段冏/的垂直平分线上.

又P在圆"上，从而烈L9

因为阴的斜率为3,所以/的斜率为一(，

1O

故/的方程为y=—

ou

又1M=1如=2镜，。至！j/的距离为"幽，|掰=包旦所以4/w的面积为弓.

OUO

11.(2018•高考全国卷II)设抛物线a/=4x的焦点为凡过尸且斜率为A(A>0)的直

线，与C交于48两点，|/8|=8.

(1)求/的方程；

⑵求过点46且与C的准线相切的圆的方程.

解：⑴由题意得网1,0),/的方程为尸A(x—1)。>0).

设/（X1,ji）,8（x2