第十五讲：初一年级上册册数学特训串讲讲义教学(学案)

第十五讲：初一数学上册特训串讲

姓名：自主评价

学法指导：初一数学复习的四点建议

一、适当多做题，养成良好的解题习惯。

要想学好初一数学，做一定量的题目是必需的，刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基

础，再找一些初一数学辅导书上的课外习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的初一数学解

题规律，熟悉掌握各种题型的解题思路。对于一些易错题，可备有错题集，写出自己错误的解题思路和正确的解题过

程，两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。在平时要养成良好的解题习惯。让自己的精力高度集中，思

维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。

如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中会充分暴露，故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的。

二、细心地挖掘概念和公式

很多初一同学对数学概念和公式不够重视，这类问题反映在三个方面：一是，对初一数学概念的理解只是停留在

文字表面，对概念的特殊情况重视不够。二是，对初一数学概念和公式一味的死记硬背，缺乏与实际题目的联系。这

样就不能很好的将学到的知识点与解题联系起来。三是，一部分同学不重视对数学公式的记忆。记忆是理解的基础。

如果你不能将公式烂熟于心，又怎能够在题目中熟练应用呢？

三、总结相似的类型题目

当你会总结题目，对所做的题目会分类，知道自己能够解决哪些题型，掌握了哪些常见的解题方法，还有哪些类

型题不会做时，你才真正的掌握了数学这门学科的窍门，才能真正的做到“任它千变万化，我自指然不动这个问题

如果解决不好，在进入初二、初三以后，同学们会发现，有一部分同学天天做题，可成绩不升反降。其原因就是，他

们天天都在做重复的工作，很多相似的题目反复做，需要解决的问题却不能专心攻克。久而久之，不会的题目还是不

会，会做的题目也因为缺乏对数学的整体把握，弄的一团糟。

四、收集自己的典型错误和不会的题口

同学们最难面对的，就是自己的错误和困难。但这恰恰又是最需要解决的问题。同学们做题目，有两个重要的目

的：一是，将所学的知识点和技巧，在实际的题目中演练。另外一个就是，找出自己的不足，然后弥补它。这个不足,

也包括两个方面，容易犯的错误和完全不会的内容。但现实情况是，同学们只追求做题的数量，草草的应付作业了事,

而不追求解决出现的问题，更谈不上收集错误。

希望以上四点初一数学复习的建议能让同学们找到适合自己的数学学习方法，打好初一数学基础。

数学趣题

从前有一位老年人，在他临终时，三个儿子围在床前。他对儿子们说：“我有十七匹马，留给你们，三个人分。

分马的时候，老大呢，出力最多，得总数的二分之一；老二嘛，得总数的三分之一；老三最小，你呀，就拿总数的九

分之一。”勉强说完这几句，老人就去世了。三兄弟执行遗嘱时，一致认为这些马是父亲生前心爱之物，决不能将其

中任何一匹劈成几块瓜分。但是遗嘱又要完全照办，如何是好呢？

正巧，这时他们的老娘舅骑马赶来了，听完事由，眉毛一扬，说：“我来分。”

猜猜看，老娘舅怎样分马？

第一部分：和绝对值有关的问题

一、知识结构框图:

绝对值的意义:

（1）几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|al。

（2）代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；

③零的绝对值是零。

a（当。为正数）

也可以写成：|。|=<0（当。为0）

（当。为负数）

说明：（I）|a|20即a|是一个非负数；（H）1a1概念中蕴含分类讨论思想。

二、典型例题

例1.（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：

则代数式|a|+|a+b|+|c-a|-1b-c|的值等于（）

A.-3aB.2c—aC.2a—2bD.b

解：|a|+|a+b|+|c-a|-1b-c|=-a-（a+b）+（c-a）+b-c=-3ab&°c

分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时,

必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用

了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对

值符号，完成化简。

例2.已知:x<0<z,xy>0,Ji|y\>|z|>|-v|>那么|x+z|+|y+z|-

的值（）

A.是正数B.是负数C.是零D.不能确定符号

解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示：

所以|x+z|+|y+z|Tx_y|

=x+z-（y+z）-（x-y）~z**

•Au

=0

分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数

轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给

出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。

例3.（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原

点的两侧，两点之间的距离为8,求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？

例4.（整体的思想）方程,―200a=2008-X的解的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.无穷多个

例5.（非负性）已知岫一2|与I”一1|互为相互数，试求下式的值.

1111

-------1---------------------------1---------------------------F•••H------------------------------------------

ah(a+l)(/?+l)(a+2)e+2)(«+2007)(/?+2007)

如果题目变成求_L+_L+_L++____1____值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在

2x44x66x82008x2010

课下继续探究。

三、小结

1.理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性

2.体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用

第二部分：代数式的化简求值问题

一、知识链接

1.“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子•它包括整式、分式、二次根

式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。

2.用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。

注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化

3.求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。

二、典型例题

例1.若多项式2m--x2+5x+8—(7d-3y+5x)的值与x无关，

求加2-(2机2-(5m-4)+”]的值.

分析：多项式的值与x无关，即含x的项系数均为零

因为2/«\二-X1+5x+8-(7%2-3y+5x)=(2m-8)x2+3y+8

所以m=4

将m=4代人，-[2m2—(5m—4)+«?]=—m~+4m—4=—16+16-4=—4

例2.x=-2时，代数式at，+"3+ex-6的值为g,求当x=2时，代数式公5+版3+J-6的值。

分析：因为ax'+6/+5-6=8

当x=-2时，一25。一23人一2c—6=8得到25。+238+2。+6=—8,

所以25。+23。+2。=-8-6=-14

当x=2时，ax^+bx^+ex—6=2,a+2,。+2c—6=(-14)—6=-20

例3.当代数式/+31+5的值为7时,求代数式3/+91一2的值.

例4.已知42+"—i=o,求a3+2a2+2007的值.

例5.（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待

遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工

龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？

例6.三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且x=；+g+5+回+囤+㈣，

|n||q|c|abacbe

2

则ax'+bx+<?%+1的值是_______o:

例7.将正奇数按下表排成5歹U：

第一列第二列第三列第四列第五列

第一行1357

第二行1513119

第三行17192123

第四行31292725

根据上面规律，2007应在

A.125行,3列B.125行，2列C.251行,2列D.251行,5列

三、小结

用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。希望同学们能体会用字母代替数后思维的扩展,

体会一些简单的数学模型。体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。

第三部分：与一元一次方程有关的问题

一、知识回顾

一元一次方程是我们认识的第一种方程，使我们学会用代数解法解决一些用算术解法不容易解决

的问题。一元一次方程是初中代数的重要内容，它既是对前面所学知识一一有理数部分的巩固和深化,

又为以后的一元二次方程、不等式、函数等内容打下坚实的基础。

典型例题：

二、典型例题

2丫一kX-3”

例L若关于x的一元一次方程1+土卫=1的解是x=-l,贝ijk的值是（)

32

A.2

B.1D.0

7

分析：本题考查基本概念“方程的解”

因为x=T是关于x的一元一次方程上——k+土Y—」4k=1的解，

32

匚G、i2x(—1)—k—1—3k.13

所以----——+-------=1,解&Z得JZ,3k=-一

3211

3/7—

例2.若方程3x-5=4和方程1-4三x=0的解相同，则a的值为多少？

3

分析：题中出现了两个方程，第一个方程中只有一个未知数x,所以可以解这个方程求得x的值；第

二个方程中有a与x两个未知数，所以在没有其他条件的情况下，根本没有办法求得a与x的值，因

此必须分析清楚题中的条件。因为两个方程的解相同，所以可以把第一个方程中解得x代入第二个方

程，第二个方程也就转化为一元一次方程了。

解：3x-5=4,3x=9,x=3

。一

因为3x-5=4与方程1-33=x=0的解相同

3

所以把x=3代人1—"3a—x=0中

3

3«-3

即1-----------=0得3-3a+3=0,-3a=-6,a=2

3

例3.(方程与代数式联系)

a、b、c、d为实数,现规定一种新的运算&b\=ad-bc-

cd\

(1)则12的值为.(2)当d-x)卜8时,尸

-12

例4.(方程的思想)如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高4厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置,

a+ba+ba+ba+〃

例5.小杰到食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多，就站在A窗口队伍的里面，过了

2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B

窗口队伍后面每分钟增加5人。此时，若小李迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队，将比

继续在A窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队。

分析：“B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人”相当于B窗口前

的队伍每分钟减少1人，

三、小结

1、体会方程思想在实际中的应用

2、体会转化的方法，提升数学能力

第四部分：图形的初步认识

一、相关知识链接：

1.认识立体图形和平面图形

我们常见的立体图形有长方体、正方体、球、圆柱、圆锥，此外，棱柱，棱锥也是常见的几何体。

我们常见的平面图形有正方形、长方形、三角形、圆

2.立体图形和平面图形关系

立体图形问题常常转化为平面图形来研究，常常会采用下面的作法

（1）画出立体图形的三视图

立体图形的的三视图是指正视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）得到的三

个平面图形。

（2）立体图形的平面展开图

常见立体图形的平面展开图

圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥、正方体（共十一种）

二、典型问题:

（一）正方体的侧面展开图（共十一种）

分类记忆：

第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种

第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。第四类，两排各三个，只有一种。

1

例1.下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体，每三个带数字的面交于正方体的

一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是（）6245

A.7B.8C.9D.10

3C

例2.一个正方体的展开图如右图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对

两个面所写的两个数之和相等，那么a+b-2c=（）84

A.40B.38C.36D.34b25

3.将如图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的图形是（)

a

□

C

A.B.

ABCD

5.观察下列由棱长为1的小正方体摆成的图形，寻找规律，如图⑴

所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图⑵所示:

(1)(2)<3)

共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图⑶所示：共有27个小立方体，其中19个看

得见，8个看不见……(1)写出第⑹个图中看不见的小立方体有个；(2)猜想并写出第(川

个图形中看不见的小立方体的个数为个.

第五部分：线段和角

一、知识结构图

二、典型问题：

(-)数线段一一数角一一数三角形

例1、直线上有n个点，可以得到多少条线段？____L.

分析：点线段ABCD

21

33=1+2

46=1+2+3

510=1+2+3+4

615=1+2+3+4+5

n1+2+3+…+(n-l)=-----

2

例2.如图，在/AOB内部从O点引出两条射线OC、OD,则图中小于平角的角

共有()个(A)3(B)4(C)5(D)6

AB

CD

拓展:1、在N408内部从。点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个?

0

类比联想:2、如图，可以得到多少三角形？

(二)与线段中点有关的问题A//\\

线段的中点定义：,CDB

文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点

4MB

图形语言：

几何语言：YM是线段AB的中点

，AM=BM=-AB,2AM=2BM=AB

2

典型例题：

例1.已知：一条射线。4,若从点0再引两条射线08、OC,使乙408=60。，ZM)C=2O0,

则N">C=度(分类讨论)

例2.4、0、8共线，0M、0N分别为NA0C、NBOC的平分线，猜想NM0N的度数，试证明

你的结论

3.如图，已知直线A8和CO相交于。点，NCOE是直角，OF平分NAOE,ZCOF=34\

求NBOZ)的度数.

4.如图，BO、CO分别平分NA8C和NACB,

(1)若/A=60。,求NO；

(2)若NA=100°,NO是多少？若NA=120°,N。又是多少？

(3)由(1)、(2)你又发现了什么规律？当/A的度数发生变化后，你的结论

仍成立吗？

(提示：三角形的内角和等于180°)

“希望杯”第四届全国青少年数学大赛

初赛题（七年级）

（时间；12（）分钟满分：120分）

八一

1—

题号二总分

13141J16

得分i

得分评卷入

一、选择题。（每小题6分，共36分）

1.第九届海峡交易会5月18日在榕城开幕，推出的重点招商项目总投资约450亿元人民币，将

450亿元用科学记数法表示为（）.

A.0.45X10"元B.4.50X10"元C.4.50X10"）元D.450XIO®元

2.使3|=沁|+3成立的条件是（）,

A.&为任意数B.a。。

C.a40D,

3.张老师出门散步,出门时5点多一点，他看到手表上分针与时针的夹角恰好为110°,回来时接近6

点.他又看了一下手表，发现此时分针与时针再次成“0°角.则张老师此次散步的时间是（）.

A.40分钟B.30分钟

C.50分钟D.非以上答案

4.若储十3/与|6-互为相反数，则（）.

A.a=-3,6=-1B.a=-3,6=1

C.a=3也=1D.a=3,b=-1

5.如图，数轴上有A,B,C,D,E,P六个点，已知AB=BC==CD=DE,aA…b

点表示一5,E点表示9,则下列四个整数中,P点最接近的是（）.

A.-1B.1C.2D.O

一七年级初赛-1-

6.世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：

1

~2~2

]

~3~6

111

T212T

1

2C

1111

30606030不

11】11

~7-42105140T0542V

则排在第10行从右边数第3个位置上的数是（

A-360B-H2c•焉D•盛

得分评卷人

二.填空题。（每小题6分•共36分。）

7•如图•点A・B在数轴上对应的数分别为m./r.则A.B间的距离是

0

.（用含山切的式子表示）

&高老师在电脑上设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表,

输入数据123456…

上5

喻出数据_234…

n一再34~47

那么,当输入数据是10时,输出的数据是

9.如图.A3〃CD，NBAP=35°，NDCP=45°^IJNAPEH

10.若一3%+2丁工-3,则9+6]-4y的值是

11.若-6是正核数，且756a=a的最小值是

12.式子27—条（工+2尸.在工时•有JR值是

得分评卷入

三、解答题。（每题12分•其48分）

13.已知P=/+3a〃+6・Q=。2-3a6+B，化简：P—[Q—2P—（一P—Q）1.

14.一个大人一餐能吃4个面包,4个幼儿一餐只吃一个面包，现大人和幼儿共100人.一餐刚好吃

光100个面包.这100个人中大人和幼儿各有多少?

15.a.b.c在数箱上的位置如图所示，化简|a+c!+la+b+c|-la—用+|6+，l.

16.如图./AOE=80\OB平