新教材同步备课2024春高中数学课时分层作业15离散型随机变量的方差新人教A版选择性必修第三册

课时分层作业(十五)离散型随机变量的方差一、选择题1．若随机变量X听从两点分布，且胜利的概率p＝0.5，则E(X)和D(X)分别为()A．0.5和0.25 B．0.5和0.75C．1和0.25 D．1和0.752．已知ξ的分布列为ξ－101P111则在下列各式①E(ξ)＝－13；②D(ξ)＝2327；③P(ξ＝0)＝A．0B．1C．2D．33．(多选)投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示，表1股票甲收益的分布列收益X/元－102P0.10.30.6表2股票乙收益的分布列收益Y/元012P0.30.40.3则下列结论中正确的是()A．投资股票甲的期望收益较小B．投资股票乙的期望收益较小C．投资股票甲比投资股票乙的风险高D．投资股票乙比投资股票甲的风险高4．设随机变量X的概率分布为P(X＝i)＝13，i＝1，2，3，则D(XA．13 B．C．1 D．25．(多选)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝ak+1(k＝1，2，5)，a∈R，E(ξ)，D(ξ)分别为随机变量A．P(0<ξ<3.5)＝5B．E(3ξ＋1)＝7C．D(ξ)＝2D．D(3ξ＋1)＝6二、填空题6．随机变量ξ的分布列是ξ24Pab若E(ξ)＝83，则D(ξ7．若随机变量X的分布列为：X012P11aD(X)为随机变量X的方差，则D(3X＋1)＝_______________．8．已知离散型随机变量X的分布列如下表．X－1012Pabc1若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________．三、解答题9．数字1，2，3，4，5随意排成一列，假如数字k恰好在第k个位置上，则称有一个巧合．把存在此种状况的数字的个数称为巧合数ξ．(1)求巧合数ξ的分布列；(2)求巧合数ξ的期望与方差．10．(2024·广西钦州期中)已知离散型随机变量X的全部可能取值为0，1，2，3，且P(X≥1)＝23，P(X＝3)＝16，若X的数学期望E(X)＝54，则DA．19 B．16C．194 D．711．(2024·浙江宁波十校期末联考)将3个小球放入3个盒子中，盒子的容量不限，且每个小球放入各盒子的概率相等．记X为放入后所剩空盒的个数，Y为放入后不空盒子的个数，则()A．E(X)＝E(Y)，D(X)＝D(Y)B．E(X)＝E(Y)，D(X)≠D(Y)C．E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y)D．E(X)≠E(Y)，D(X)≠D(Y)12．(多选)已知随机变量X的分布列如下表，则下列说法正确的是()XxyPyxA．存在x，y∈(0，1)，E(X)>1B．对随意x，y∈(0，1)，E(X)≤1C．对随意x，y∈(0，1)，D(X)<E(X)D．存在x，y∈(0，1)，D(X)>113．已知随机变量X的分布列如下：X012P11p则当p＝13时，E(X)＝________；当0<p<1时，D(X14．有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如表所示，其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度．ξA110120125130135P0.10.20.40.10.2ξB100115125130145P0.10.20.40.10.2试比较甲、乙两种材料的稳定程度(哪一个稳定性较好)．15．为了解与驾驭一些基本的地震平安防护学问，某小学在9月份开学初对全校学生进行了为期一周的学问讲座，并事后进行了测试(满分100分)，依据测试成果评定为“合格”(60分以上包含60分)“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”定为10分，“不合格”定为5分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示．等级不合格合格得分[20，40)[40，60)[60，80)[80，100]频数6a24b(1)求a，b，c的值；(2)用分层随机抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈，再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ)；(3)设函数f(ξ)＝EξDξ(其中D(ξ)表示ξ的方差)是评估平安教化方案成效的一种模拟函数．当f课时分层作业(十五)1．A[∵X听从两点分布，∴X的分布列为X01P0.50.5∴E(X)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5，D(X)＝(0－0.5)2×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25．故选A．]2．C[由题意，依据随机变量的期望与方差的计算公式可得：E(ξ)＝(－1)×12＋0×13＋1×16所以①正确；D(ξ)＝-1+13又由分布列可知P(ξ＝0)＝13，所以③正确．3．BC[甲收益的期望E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，方差D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29，乙收益的期望E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，方差D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，所以E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)，则投资股票乙的期望收益较小，投资股票甲比投资股票乙的风险高．]4．B[因为P(X＝i)＝13，i＝1，2，3E(X)＝1×13＋2×13＋3×1所以D(X)＝13×(1－2)2＋13×(2－2)2＋13×(3－2)2＝5．ABC[因为P(ξ＝k)＝ak＋1(k＝1，2，5)，所以P(ξ＝1)＝a1＋1＝a2，P(P(ξ＝5)＝a5所以a2＋a3＋P(0<ξ<3.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝12＋1因为E(ξ)＝1×12＋2×13＋5×1所以E(3ξ＋1)＝3E(ξ)＋1＝3×2＋1＝7，故B选项正确；D(ξ)＝12×(1－2)2＋13×(2－2)2＋16×(5－2)2＝2D(3ξ＋1)＝32D(ξ)＝9×2＝18，故D选项错误．]6．89[由分布列的性质可得，a＋b＝1，又因为E(ξ)＝83，所以2a＋4b＝83联立①②，解得a＝23，b＝1所以D(ξ)＝23×2-837．6[由题意可知13＋13可得a＝13，所以E(X)＝13(0＋1＋2)则D(X)＝13[(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2]＝2所以D(3X＋1)＝9×23＝6．8．51214[由分布列的性质知a＋b＋c＋112由均值和方差的计算公式，得－a＋c＋16＝0，(－1－0)2×a＋(1－0)2×c＋(2－0)2×112＝1，联立①②③，解得a＝512，b＝14，c＝19．解：(1)ξ可能取值为0，1，2，3，5，数字1，2，3，4，5随意排成一列，其基本领件的总数为A55，ξ＝5时，5个数字均在对应位置，有1种排法，所以P(ξ＝5)＝1A55＝1120；ξ＝3，有3个数字在对应位置，另外2个数字互换位置，P(ξ＝3)＝C53A55＝10120＝112；ξ＝2，有2个数字在对应位置，另外3个数不在对应位置，所以P(ξ＝2)＝C52×2A55＝20120则巧合数ξ的分布列为ξ01235P113111(2)E(ξ)＝0×44120＋1×45120＋2×20120＋3×10120＋5×1120＝1，D(ξ)＝1×44120＋0＋1×10．A[由题知P(X＝0)＝13，设P(X＝1)＝a，则P(X＝2)＝23－16－a＝12－a，因此E(X)＝0×13＋1×a＋2×12-X0123P1111则D(X)＝13×0-542＋1因此D(4X－3)＝16D(X)＝19．故选A．]11．C[由题意得X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝A3333＝29，P(X＝1)＝C32∴E(X)＝0×29＋1×23＋2×D(X)＝0-89Y的可能取值为1，2，3，P(Y＝1)＝P(X＝2)＝19，P(Y＝2)＝P(X＝1)＝2P(Y＝3)＝P(X＝0)＝29，∴E(Y)＝1×19＋2×23D(Y)＝1-199∴E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y)．故选C．]12．BC[依题意可得x＋y＝1，E(X)＝2xy，又2xy≤(x＋y)22＝12，所以E(X)≤12，当且仅当D(X)＝(x－2xy)2y＋(y－2xy)2x＝(1－2y)2x2y＋(1－2x)2y2x＝[(1－2y)2x＋(1－2x)2y]yx＝[(2x－1)2x＋(1－2x)2y]yx＝(1－2x)2(x＋y)yx＝(1－2x)2yx，∵0<x<1，∴－1<2x－1<1，∴0<(2x－1)2<1，∴D(X)<yx，即D(X)<12E(X)，∴C∵D(X)＝(1－2x)2yx<xy≤(x＋y)213．561E(X)＝0×1-p2＋1×12＋2×p2当p＝13时，E(X)＝1当0<p<1时，D(X)＝0-1+2p22×1-p2+1-当且仅当p＝12时，等号成立，故D(X)的最大值为1214．解：E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125．D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165．由此可见E(ξA)＝E(ξB)，D(ξA)<D(ξB)，故两种材料的抗拉强度的均值相等，但稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性较好．15．解：(1)由频率分布直方图可知，得分在[20，40)的频率为0.005×20＝0.1，故抽取的学生答卷数为60.1＝60，又由频率分布直方图可知，得分在[80，100]的频率为0.2所以b＝60×0.2＝12．又6＋a＋24＋b＝60，得a＋b＝30，所以a＝18．c＝1860(2)“合格”与“不合格”的人数比例为36∶24＝3∶2，因此抽取的10人中“合格”有6人，“不合格”有4人，所以ξ的可能取值为40，35，30，