2024年高中数学专题2-1重难点题型培优精讲直线的倾斜角与斜率学生版新人教A版选择性必修第一册

专题2.1直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角(1)倾斜角的定义①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.2．直线的斜率(1)直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα.(2)斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角(范围)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围)k＝0k>0不存在k<0(3)过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).3．两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在图示4．两条直线垂直的判定图示对应关系l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2【题型1直线的倾斜角】【方法点拨】直线倾斜角的概念和范围：(1)求直线的倾斜角主要依据定义来求，其关键是依据题意画出图形，找准倾斜角，有时要依据状况分类讨论．(2)留意倾斜角的范围．【例1】直线x-3yA．30° B．45° C．120° D．150°【变式1-1】直线3xA．120∘ B．60∘ C．30【变式1-2】过A(1,-3)A．45 B．60° C．120° D．135°【变式1-3】直线ax+A．π6 B．π4 C．2【题型2直线的斜率】【方法点拨】求直线的斜率：(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的．(2)斜率公式与两点P1，P2的先后依次无关．【例2】如图，直线l1,lA．k4<C．k4<【变式2-1】将直线3x-3A．33 B．-33 C．【变式2-2】直线y=A．33 B．C．-3 D．【变式2-3】已知在直角坐标系中，等边△ABC中A与原点重合，若AB的斜率为32，则BCA．33 B．34 C．-【题型3倾斜角和斜率的应用】【方法点拨】倾斜角和斜率的应用(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系．(2)涉及直线与线段有交点问题，常依据数形结合思想，利用斜率公式求解．【例3】设点A(3,-5)，B(-2,-2)，直线l过点A．k≥1或kC．-1【变式3-1】直线l的倾斜角等于直线x-3yA．233C．23 D．【变式3-2】设直线l的斜率为k，且-1≤k<3A．0,π3C．π6,【变式3-3】已知直线m:x-2y+2=0，n:2x-y+1=0A．-1 B．-23【题型4两条直线平行的判定】【方法点拨】推断两条不重合的直线是否平行的方法【例4】直线ax-2y-1=0和直线2A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交【变式4-1】若直线x+my+3=0与直线4A．12 B．-12 C．1【变式4-2】直线l1:a-1x+A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式4-3】满足下列条件的直线l1与l2，其中①l1的斜率为2，l2过点A1,2②l1经过点P3,3，Q-5,3，l2③l1经过点M-1,0，N-5,-2A．①② B．②③C．①③ D．①②③【题型5两条直线垂直的判定】【方法点拨】推断两条直线是否垂直：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应留意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．【例5】下列方程所表示的直线中，确定相互垂直的一对是(

)A．ax+2y-1=0与2C．2x+3y-7=0与【变式5-1】下列直线中，与直线l:A．直线y=-C．直线y=1【变式5-2】已知直线l1:x-2y+1=0A．1 B．12 C．-1【变式5-3】m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【题型6垂直与平行的应用】【方法点拨】用代数运算解决几何图形问题(1)利用直线的斜率判定平面图形的形态一般要运用数形结合的方法，先由图形作出揣测，然后利用直线的斜率关系进行判定．(2)明确运算对象，探究运算思路，是对逻辑推理与数学运算核心素养的考查．【例6】已知A-4,3，B2,5，C6,3，D-【变式6-1】设A(5,-1)，B(-3,0)，【变式6-2】在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针依次依次是O