2024八年级数学下册专题4.8中心对称知识讲解新版浙教版

Page13专题4.8中心对称（学问讲解）【学习目标】1、理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，驾驭他们之间的区分和联系；2、驾驭关于原点对称的点的坐标特征，以及如何求对称点的坐标；3、探究图形之间的变更关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵敏运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【要点梳理】要点一、中心对称和中心对称图形1.中心对称：把一个图形围着某一个点旋转180°，假如它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．

这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．特别说明：（1）有两个图形，能够完全重合，即形态大小都相同；（2）位置必需满足一个条件：将其中一个图形围着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不愿定是中心对称的，而中心对称的两个图形确定是全等的).2.中心对称图形：把一个图形围着某一个点旋转180°，假如旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．特别说明：(1)中心对称图形指的是一个图形；(2)线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.3.中心对称与中心对称图形的区分与联系：中心对称中心对称图形区分①指两个全等图形之间的相互位置关系．

②对称中心不定．①指一个图形本身成中心对称．

②对称中心是图形自身或内部的点．联系假如将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．假如把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．要点二、关于原点对称的点的坐标特征关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立.要点三、中心对称、轴对称、旋转对称1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：2.中心对称图形与轴对称图形比较：特别说明：中心对称图形是特别的旋转对称图形；驾驭三种图形的不同点和共同点是灵敏运用的前提.【典型例题】类型一、中心对称与中心对称图形➽➼图形识别➼➻中心对称图形✭✭轴对称图形1．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】依据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，假如旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，假如一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形，进行推断即可．解：A．该图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点拨】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确驾驭相关定义是解题关键．举一反三：【变式1】如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是______．【答案】【分析】连接与的对应点，其对应点连线的交点，即为对称中心点，进而得出坐标．解：如图，连接，，两连线的交点，即为对称中心点，∴对称中心点的坐标是．故答案为：【点拨】本题考查了坐标与图形、中心对称图形的定义，解本题的关键在正确找出对称中心．【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为_____.【答案】（2,1）【分析】视察图形，依据中心对称的性质即可解答.解：∵点P（1，1），N（2，0），∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1），∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，∴对称中心的坐标为（2，1），故答案为（2，1）．【点拨】本题考查了中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．类型二、中心对称与中心对称图形➽➼作图➼➻面积✭✭点坐标2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．把绕点C顺时针旋转90°得到，在网格中画出；若与关于点O成中心对称，在网格中标出点O．【答案】(1)见分析(2)见分析【分析】（1）将点A、B绕点C顺时针旋转90°得到对应点，再顺次连接即可得;（2）连接与交点即为所求．（1）解：如图所示，即为所求．（2）解：如图所示，点O即为所求．【点拨】本题考查了旋转作图及确定中心对称图形的对称中心，解题的关键是驾驭旋转变换及中心对称的特点，规范作图．举一反三：【变式1】如图，在平面直角坐标系内，的顶点坐标分别为，，．平移，使点移到点，画出平移后的将绕点旋转，得到，画出旋转后的；与是否关于某点成中心对称？若是，干脆写出对称中心的坐标：若不是，请写出理由．【答案】(1)见分析(2)见分析(3)是，坐标为（2，）【分析】依据平移的性质即可画出平移后的；依据旋转的性质即可将绕点旋转，得到；依据中心对称的性质即可进行推断，连接交点即为对称中心．（1）解：如图，即为所求；（2）如图，即为所求；（3）与关于某点成中心对称，连接交点即为对称中心，∵∴对称中心的坐标为即．【点拨】本题考查了平移作图，旋转作图，中心对称，解决本题的关键是驾驭平移以及旋转的性质．【变式2】ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．按要求作图：画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1．将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△A2B2C2，则B2的坐标为．求△A2B2C2面积．【答案】(1)见分析(2)（﹣2，0）(3)【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应B2，C2即可；（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去四周的三个三角形面积即可．解：（1）（1）如图，△ABC与△A1B1C1关于原点O成中心对称图形；（2）如图，△A2B2C2即为所求，B2的坐标为为（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）；（3）＝3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3＝．【点拨】本题考查作图﹣旋转变换，中心对称变换，三角形的面积等学问，解题的关键是驾驭平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．类型三、中心对称➽➼中心对称性质➼➻面积✭✭长度✭✭角度3．如图，，交点为，点、是以为对称轴的对称点，点、是以为对称轴的对称点，试说明点、是以点为对称中心的对称点.【分析】依据轴对称的对称点被对称轴垂直平分，可得MN是AA1的垂直平分线，PQ是AA2的垂直平分线，依据垂直平分线的性质，可得，，同理，，，再依据中心对称的性质，可得答案．解：如图，连结、、、、.、是以为对称轴的对称点，是的垂直平分线.，.同理，，、、在同始终线上，且.点、是以点为对称中心的对称点.【点拨】本题考查了中心对称，利用了轴对称的性质，中心对称的性质．举一反三：【变式1】已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．（1）求证：AC=CD；（2）若∠BAC=2∠MPC，请你推断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等；（2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案．解：(1)证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，∴△ABM≌△ACM，∴AB=AC，又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，∴△ABE≌△DCE，∴AB=CD，∴AC=CD；(2)∠F=∠MCD.理由：由(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，∴∠F=∠CPM−∠PMF=α−β，∠MCD=∠CDE−∠DMC=α−β，∴∠F=∠MCD.【点拨】本题主要考查轴对称、中心对称性质和全等三角形的判定及性质.通过轴对称与中心对称的性质得出全等三角形的判定条件是解题的关键.【变式2】如图,D是△ABC边BC的中点,连接AD并延长到点E,使DE=AD，连接BE．图中哪两个图形成中心对称；若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．【答案】（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；（2）8．【分析】（1）干脆利用中心对称的定义写出答案即可；（2）依据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形BDE的面积，依据等底同高确定ABD的面积，从而确定ABE的面积．解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，∴△EDB的面积也为4，∵D为BC的中点，∴△ABD的面积也为4，所以△ABE的面积为8．【点拨】本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较小．类型四、中心对称➽➼平面直角坐标系➼➻坐标✭✭面积✭✭角度4．如图所示，已知的三个顶点的坐标分别为，，．请干脆写出点关于原点对称的点的坐标；将绕坐标原点逆时针旋转，得到，画出图形，并干脆写出点的对应点的坐标．【答案】(1)(2)图见分析，【分析】（1）依据对称性质即可写出点关于原点对称的点的坐标；（2）依据旋转的性质即可将绕坐标原点逆时针旋转，得到，进而可以写出点的坐标．（1）解：点关于点对称的点的坐标为，故答案为；（2）如图，即为所求，由图可知，点．【点拨】本题主要考查了坐标与图形、关于原点对称的点的特征、图形的旋转等学问，娴熟驾驭关于原点对称的点的特征以及图形旋转的性质是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为，，．画出关于点O的中心对称图形；将绕点O顺时针方向旋转90°后得，画出，并写出A2点的坐标．【答案】(1)见分析(2)见分析，【分析】（1）依据中心对称的性质作图即可．（2）依据旋转的性质作图，即可得出答案．解：（1）如图，即为所求．（2）如图，即为所求．点的坐标为．【点拨】本题考查作图-旋转变换、中心对称，娴熟驾驭旋转和中心对称的性质是解答本题的关键．【变式2】如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出；以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得，请在图中画出；与关于某点成中心对称，请干脆写出该点的坐标为____________．【答案】(1)见分析(2)见分析(3)（－3，1）