2025版新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质题型探究新人教A版选择性必修第一册

3.2双曲线3.2.2双曲线的简洁几何性质第1课时双曲线的简洁几何性质题型探究题型一由双曲线的方程求几何性质1．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.[分析]将双曲线方程化为标准方程，先求出参数a，b，c的值，再写出各个结果.[解析]双曲线的方程化为标准形式为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1.∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝eq\r(13).又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－eq\r(13)，0)，(eq\r(13)，0)，实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(13),3)，渐近线方程为y＝±eq\f(2,3)x.[规律方法]由双曲线的方程探讨几何性质1．把双曲线方程化为标准形式.2．由标准方程确定焦点位置和a，b的值.3．由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质.提示：把双曲线方程化为标准形式是求其几何性质的前提.对点训练❶(1)双曲线2x2－y2＝－8的实轴长是(D)A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)(2)双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是(C)A．y＝±3x B．y＝±eq\f(1,3)xC．y＝±eq\r(3)x D．y＝±eq\f(\r(3),3)x[解析](1)双曲线方程可变形为eq\f(y2,8)－eq\f(x2,4)＝1，所以a2＝8，a＝2eq\r(2)，故实轴长2a＝4eq\r(2).(2)令x2－eq\f(y2,3)＝0，则y＝±eq\r(3)x.题型二依据双曲线几何性质求其标准方程2．求满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)虚轴长为12，离心率为eq\f(5,4)；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±eq\f(3,2)x；(3)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2).[分析]eq\x(分析双曲线的几何性质)→eq\x(求a，b，c)→eq\x(确定\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(探讨))焦点位置)→eq\x(求双曲线的标准方程)[解析](1)设双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0).由题知2b＝12，eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1或eq\f(y2,64)－eq\f(x2,36)＝1.(2)方法一：当焦点在x轴上时，由eq\f(b,a)＝eq\f(3,2)且a＝3，得b＝eq\f(9,2)，∴所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,\f(81,4))＝1.当焦点在y轴上时，由eq\f(a,b)＝eq\f(3,2)且a＝3，得b＝2.∴所求双曲线的标准方程为eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1.方法二：设以直线y＝±eq\f(3,2)x为渐近线的双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝λ(λ≠0).当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2eq\r(4λ)＝6，解得λ＝eq\f(9,4)；当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2eq\r(－9λ)＝6，解得λ＝－1.∴双曲线的标准方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,\f(81,4))＝1或eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1.(3)设与双曲线eq\f(x2,2)－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为eq\f(x2,2)－y2＝k(k≠0)，将点M(2，－2)的坐标代入得k＝eq\f(22,2)－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1.[规律方法]1.由几何性质求双曲线标准方程的解题思路由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应留意分类探讨，为了避开探讨，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0).2．常见双曲线方程的设法(1)渐近线为y＝±eq\f(n,m)x的双曲线方程可设为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；假如两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0).(2)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝λ(λ≠0).(3)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ＞0)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置.对点训练❷求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为eq\f(5,3)；(2)过点(2,0)，与双曲线eq\f(y2,64)－eq\f(x2,16)＝1的离心率相等.[解析](1)设所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由题意知2b＝8，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)，从而b＝4，c＝eq\f(5,3)a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为eq\f(x2,64)－eq\f(y2,16)＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝eq\f(1,16)，故所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－y2＝1；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为eq\f(y2,64)－eq\f(x2,16)＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－eq\f(1,4)<0(舍去).综上可知，所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.题型三求双曲线的离心率3．已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是(C)A.eq\r(2) B．eq\f(5,3)C．eq\f(5,2) D．eq\r(5)[解析]由双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2，则圆心到直线的距离为d＝eq\f(|－5a|,\r(b2＋－a2))＝eq\f(5a,c)，则eq\f(5a,c)＝2，可得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,2).[规律方法]求双曲线离心率的方法(1)干脆法：若可求得a，c，则干脆利用e＝eq\f(c,a)得解.(2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解.对点训练❸中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(D)A.eq\r(6) B．eq\r(5)C．eq\f(\r(6),2) D．eq\f(\r(5),2)[解析]由题意知，过点(4，－2)的渐近线的方程为y＝－eq\f(b,a)x，∴－2＝－eq\f(b,a)·4，∴a＝2b.方法一：设b＝k，则a＝2k，c＝eq\r(5)k，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5)k,2k)＝eq\f(\r(5),2).方法二：e2＝eq\f(b2,a2)＋1＝eq\f(1,4)＋1＝eq\f(5,4)，故e＝eq\f(\r(5),2).易错警示4．双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(3,4)x，则离心率为(C)A.eq\f(5,4) B．eq\f(\r(5),2)C.eq\f(5,3)或eq\f(5,4) D．eq\f(\r(5),2)或eq\f(\r(15),3)[错解]由双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(3,4)x，得eq\f(b,a)＝eq\f(3,4)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(5,4)，故选A.[辨析