新教材2024高考数学二轮专题复习分册二探究一四三角函数与平面向量

四三角函数与平面对量必记结论1.诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀函数名不变，符号看象限函数名变更，符号看象限2.三种三角函数的性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象单调性在(k∈Z)上单调递增；在(k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上单调递增对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：(k∈Z)3.三角函数图象的变换由函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.tan(α±β)＝.sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式)．cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－sin2β.5．二倍角、帮助角及半角公式(1)二倍角公式sin2α＝2sinαcosα.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝.①1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2.②1－sin2α＝(sinα－cosα)2.(2)帮助角公式y＝asinx＋bcosx＝(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝sin(x＋φ)，其中角φ的终边所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tanφ＝(a≠0)确定．(3)半角公式sin＝±，cos＝±，tan＝±＝＝.6．正、余弦定理及其变形定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA；(5)＝＝2RcosA＝；cosB＝；cosC＝7.平面对量数量积的坐标表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立易错剖析易错点1不清晰向量夹角范围【突破点】数学试题中往往隐含着一些简洁被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题胜利的关键，如当a·b<0时，a与b的夹角不愿定为钝角，要留意隐含的状况．易错点2忽视正、余弦函数的有界性【突破点】很多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时留意正、余弦函数的有界性．易错点3忽视三角函数值对角的范围的限制【突破点】在解决三角函数中的求值问题时，不仅要看已知条件中角的范围，更重要的是留意挖掘隐含条件，依据三角函数值缩小角的范围．易错点4图象变换方向或变换量把握不精确【突破点】图象变换若先作周期变换，再作相位变换，应左(右)平移个单位．另外留意依据φ的符号判定平移的方向．易错快攻易错快攻一忽视向量的夹角范围致误1已知向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为()A．B．C．D．易错快攻二函数图象平移的方向把握不准2将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为()A．B．C．0D．四三角函数与平面对量[典例1]解析：因为(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，所以所以即设a，b的夹角为α，则cosα＝＝，因为α∈[0，π]，所以α＝，即a，b的夹角为，故选C.答案：C[典例2]解析：将函数y＝sin(2x＋φ)的