高中数学选修2-3《2.1离散型随机变量及其分布列》测试卷

高中数学选修2-3《2.1离散型随机变量及其分布列》测试卷

解析版

1.设离散型随机变量X的分布列为P(X=i)=A,i=\,2,…，N,则°=()

N

A.1B.2C.3D.4

【分析】利用离散型随机变量的分布列的性质求解.

【解答】解：•.•离散型随机变量X的分布列为P(X=i)=且，i=l,2,N,

N

...胆=L解得。=].

N

故选：A.

【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量

的分布列的性质的合理运用.

2.已知随机变量？的分布列为：则？最可能出现的值是()

3-10

P0.70.2

A.0.7B.-1C.0D.1

【分析】比较S=-1、？=o、t=i的概率，即可得到S最可能出现的值.

【解答】解：'；p麓=-I)=0.7,P(1=0)=0.2,P鳍=1)=0.1,

最可能出现的值是-1.

故选：B.

【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列，考查学生分析解决问题的能力，属于基

础题.

3.随机变量t的概率分布规律为p(&=n)=aC1*)n("=1、2、3、4、…)，其中。是常数,

则的值为()

A.2B.Ac.$D.2

9393

【分析】估计所给的随机变量的分布列的特点，利用无穷等比递缩数列的各项之和写出

所有的变量的概率之和，使它等于1,求出。的值，利用互斥事件的概率公式写出结果.

【解答】解：•.•随机变量t的概率分布规律为p(g=n)=a(2)n(〃=1、?、3、4、…),

第1页共25页

2

3

1万

.,.a=A,

2

g<4）=P9=1）+p（w=2）=《x1--4-x4=-|

、22’23299

故选：c.

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的性质，是一个综合题目，在解题时一定要

注意所有的变量的概率之和的求法，注意应用分布列的性质.

4.若随机变量n的分布列如表：

n-2-10123

p0.10.20.20.30.10.1

则当P（n<x）=0.8时，实数x的取值范围是（）

A.xW2B.1WXW2C.1VXW2D.l<x<2

【分析】由离散型随机变量的概率分布列，寻找使得尸（n<x）=0.8成立的X的范围即

可.

【解答】解：由离散型随机变量的概率分布列知：

p5=-2）=0.1,p（”0）=0.3,

P（T1<1）=0.5,P（n<2）=0.8

则当P（n<x）=0.8时，实数x的取值范围是l〈xW2.

故选：C.

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，是历年高考的必考题型，解题时要认真审

题，注意等价转化思想的合理运用.

5.己知x分布列如图，设y=2x+i,则y的数学期望E（y）的值是（）

X-101

P11a

26

A.-AB.2C.1D.29

6336

【分析】根据所给的分布列和分布列的性质，写出关于a的等式，解出a的值，算出x

的期望，根据x与丫之间期望的关系，写出出要求的期望值.

第2页共25页

【解答】解：由已知得上4+a=i

26

.\a=—,

3

:.E(x)=-A+A=-A,

236

'：E(y)=2E(X)+1,

:.E(y)=2.

3

故选：B.

【点评】本题考查分布列的性质，考查两个变量分布列之间的关系，是一个基础题，这

种题目运算量比较小，是一个容易得分题目.

6.设随机变量f的分布列由p(&=k)=a/)k,k=l,2,3,则a的值为()

A.1B.且C.11D.&

131313

【分析】根据所给的随机变量的分布列和分布列的所有概率之和等于1.列出关于〃的一

元一次方程，得到字母的值.

【解答】解：•.•随机变量孑的分布列由p(&=k)=aC1)k,k=l,2,3,

23=

・•・根据分布列的性质有aX工+a(y)+a(1)1-

3

.'.a(―=aX_l^_=1,

392727

•〃一27

13

故选：D.

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的性质和简单应用，本题解题的关键是根据

分布列的性质得到关于字母系数的方程，利用方程思想来解题，本题是一个基础题.

7.设离散型随机变量t的概率分布列如表，则下列各式中成立的是()

-10123

P0.10a0.100.200.40

A.P(?<1.5)=0.4B.P(^>-1)=1

C.P9<3)=1D.P鳍<0)=0

【分析】由离散型随机变量E的概率分布列，先求出。=1-0.1-0.1-0.2-04=0.2,由

此能求出结果.

第3页共25页

【解答】解：由离散型随机变量E的概率分布列知:

a=l-0.1-0.1-0.2-04=0.2,

P(阵1.5)=Pp=l)+Pp=。)+PP=-1)=0.1+0.2+0.1=04；

P(F>-1)=1-0.1=0.9；

P(4<3)=1-0.4=0.6；

P(^<0)=0.1.

故A成立，B、C、。均不成立.

故选：A.

【点评】本题考查离散型随机变量分布列的性质的应用，解题时要认真审题，是基础题.

8.若离散型随机变量X的分布列函数为P(X=k)=」」，k=l,2,3,4,则P(X>1)

10

=()

A.-LB.9C.-LD.且

10101010

【分析】利用分布列，直接求解尸(X>1)即可.

【解答】解：离散型随机变量X的分布列函数为P(X=&)=-L,k=\,2,3,4,

10

则P(X>1)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=2+且4^£=且.

10101010

故选：D.

【点评】本题考查离散型随机变量X的分布列，互斥事件概率的求法，考查计算能力.

9.设离散型随机变量E的概率分布列为

f-10123

p_L_112

10~5Io

则下列各式成立的是()

A.P8<3)=2B.P(：>1)=2

C.P(2<^<4)=2D.P(^<0.5)=0

5

【分析】利用离散型随机变量m的概率分布列的性质直接求解.

【解答】解：由离散型随机变量t的概率分布列得：

P0<3)=P(?=-1)+P(S=0)+PG=l)+P8=2)故

A错误;

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P(E>1)=P(2=2)+P(J=3)=工二=3,故B错误;

555

P(2<S<4)=P9=3)=2,故C正确；

5

P(g<0.5)=P(g=-1)+P(《=0)=-1-4^.

故选：c.

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的

分布列的性质的合理运用.

10.已知离散型随机变量X的分布列为尸(X=区)=ak(k=l,2,3,4,5),则P(X

5

为()

A.AB.2c.3D.A

5555

【分析】由题意根据离散型随机变量的概率分布列的性质可得a+2a+3a+4a+5n=l,由此

解得a的值.再根据尸—3a+4a+5a,运算求得结果.

【解答】解：由题意根据离散型随机变量的概率分布列的性质可得a+2a+3a+4a+5a=l,

解得。=工.

15

：.P(X>1)=P(X=3)+P(X=A)+p(X=l)=3a+4a+5a=12a=名，

-55

故选：

【点评】本题主要考查离散型随机变量的概率分布列的性质的应用，属于中档题.

二.填空题(共20小题)

11.某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%,二等品率为20%,乙产品的

一等品率为90%,二等品率为10%,生产一件甲产品，若是一等品则获利润为4万元，

若是二等品则亏损1万元，生产一件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等

品则亏损2万元，设生产各种产品相互独立，

①记单位：万元)为生产一件甲产品和一件乙产品可获得的总利润，求x的分布列.

②求生产4件甲产品获得的利润不少于10万元的概率.

【分析】(1)根据题意做出变量的可能取值是10,5,2,-3,结合变量对应的事件和相

互独立事件同时发生的概率，写出变量的概率和分布列.

(2)设出生产的4件甲产品中一等品有”件，则二等品有4-〃件，根据生产4件甲产

品所获得的利润不少于10万元，列出关于〃的不等式，解不等式，根据这个数字属于整

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数，得到结果，根据独立重复试验写出概率.

【解答】解：(1)由题设知，X的可能取值为10,5,2,-3,且尸(X=10)=0.8X0.9

=0.72,

P(X=5)=0.2X0.9=0.18,P(X=2)=0.8X0.1=0.08,P(X=-3)=0.2X0.1=0.02.

X的分布列为

X1052-3

P0.720.180.080.02

(2)设生产的4件甲产品中一等品有"件，则二等品有4-〃件.

由题设知4〃-(4-«)》10,解得〃)四.

5

又〃6N,可得"=3,或”=4,故所求概率为P=C43XO.83XO.2+O.84=O.8192.

答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192.

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，考查相互独立事件同时发生的概率，考查

独立重复试验的概率公式，

考查互斥事件的概率，属于中档题.

12.已知随机变量n的分布列如表:

n123456

p0.2X0.350.10.150.2

则x=0；P5W3)-0,55.

【分析】由随机变量n的分布列的性质得0.2+x+0.35+0.1+0.15+0.2=l,由此能求出x,

从而能求出P(r]W3).

【解答】解：由随机变量口的分布列，得：

0.2+X+0.35+0.1+0.15+0.2=1,

解得x=0,

：.P5W3)=0.2+0+0.35=0.55.

故答案为：0,0.55.

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的

性质的合理运用.

’0,x<10

13.设随机变量X的分布函数为尸(x)=110、，用y表示对X的3次独立重

1—,x>10

X

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复观察中事件{X>20}出现的次数，则P{Y>1}=_2_.

一2一

【分析】由已知得P(X>20)>1-[2=2，P{Y>\}=P(y=2)+P(y=3)由此能

202

求出结果.

0,x<10

【解答】解：：随机变量X的分布函数为F(x)=4

1-^-,x>10’

X

：.P(X>20)>1-10

202

・・•用y表示对X的3次独立重复观察中事件{X>20}出现的次数,

，尸{丫>1}=尸(y=2)+p(丫=3)

=C3（f）2（f）+C3（1）3

~2'

故答案为：1.

2

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意〃次独立重复试验

事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用.

14.产量相同的机床I、n生产同一种零件，它们在一小时内生产出的次品数XI、X2的分

布列分别如下：

X10123X2012

P0.40.40.10.1P0.30.50.2

两台机床中，较好的是n,这台机床较好的理由是因为EXI=EX2,DXI>DX2.

【分析】先做出两组数据的期望，再做出两组数据的方差，把所求的期望和方差进行比

较，得到两台机器生产的零件次品数的期望相等，而第一台的方差大于第二台的方差，

得到结论.

【解答】解：先做出两组数据的期望，

EXi=1X0.4+2X0.1+3X0.1=0.9,

£X2=1X0.5+2X0.2=0.9,

.••两台机器的生产次品数相等，

再求出两组数据的方差，

DX1=0.4X0.01+0.1X10.21+0.1X4.41=1.466,

第7页共25页

0X2=0.5xo.o1+0.2义1.21=0.247,

第二个机器生产的零件质量稳定，

总上可知第二个机器好，

故答案为：//;EXI=EX2,0X1>0X2

【点评】求两组数据的平均值和方差是研究数据常做的两件事，平均值反映数据的平均

水平，而方差反映数据的波动大小，从两个方面可以准确的把握数据的情况.

X01

15.若离散型随机变量的分布列为P4a—13H+丹则。等于1

3

【分析】首先要了解到：0-1分布就是〃=1情况下的二项分布.即只进行一次事件的试

验，该事件发生的概率为p，不发生的概率为q=l-p.这是一个最简单的分布.故根据

题意可直接得到3a2+a+4a-1=1.即得到答案.

【解答】解：分析题中的分布列可得：是0-1分布.

故有：3a2+a+4a-1=1.因为“W0,故化简求得“=」

3

故答案为工.

3

【点评】此题主要考查0-1分布的概念问题，对于0-I分布是一个最简单的分布，同

学们需要知道它的分布列中的每个字母的含义，以便简单的解题.对于概念性的问题属

于基础题目.

16.设随机变量的分布列为P（S=k）=3，（4=1,2,3）,其中c,为常数，则&=_」4_.

2k一2一

【分析】由已知条件求出,=旦，从而得到尸9=1）=&,P聂=2）=2,P麓=3）

777

=—,由此能求出优.

7

【解答】解：；随机变量的分布列为P=与，（k=T,2,3）,

2k

:.pq=1）=£,p（w=2）=£,p（s=3）=2,

248

玲=1，解得c常，

：.P9=1）=匹，P（F=2）=2,P（《=3）=工，

777

;.&=ix4+2x-1-+3x4^4r-

7777

故答案为：11.

7

第8页共25页

【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，解题时要认真审题，是基础题.

17.已知某一随机变量X的分布列如下：

且E(X)=6,则a=0.3；b=6

【分析】由题意知:,由此能求出结果.

3X0.2+bXO.5+8a=€

【解答】解：由题意知：

[0.2+0.5+a=l,

13X0.2+bX0.5+8a=e，

解得d=0.3,h=6.

故答案为：0.3,6.

【点评】本题考查概率的求法，考查离散型概率分布列的性质的应用，解题时要认真审

题，是基础题.

18.随机变量X的分布列为P(X=A)•(工)”(左=1,2,3),则E(X)的值为」当.

3-13-

【分析】由已知求出“=2工，由此得P(X=l)=a，P(X=2)P(x=3)=

一L,由此能求出E(X).

13

【解答】解：•.•随机变量X的分布列为P(X=k)=«­(!)k(A=1,2,3),

Aa-[(y)+(y)2+(y)3]=1,

解得«=27

13

=l.=_9_

313

P(X=2)

13

P(X=3)

故答案为：IS

13

【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题,

在历年高考中都必考题型之一.

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19.已知随机变量T]的概率分布如下表:

n123456

p0.2X0.250.10.150.2

则尸0.1；P(n>3)=0.45；P(l<n<4)=0.45.

【分析】利用随机变量n的概率分布列的性质求解.

【解答】解：由随机变量n的概率分布列，知：

x=l-0.2-0.25-0.1-0.15-0.2=0.1.

P(T])=p(r)=4)+P(r|=5)+p(q=6)

=0.1+0.15+0.2=0.45.

p(i<r]^4)=p5=2)+p(口=3)+p(n=4)

=0.1+0.25+0.1=0.45.

故答案为：0.1,0.45,0.45.

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意离散型随机变量的分布列的性

质的灵活运用.

20.设X是一个离散型随机变量，其分布列如表格所示，则E(X)=2.

X204

P0.51-3qq

【分析】利用离散型随机变量的分布列的性质求解.

【解答】解：由已知得0.5+1-3g+g=l,解得q=0.25,；.E(X)=2X0.5+0X0.25+4X

0.25=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题.

21.设随机变量x的分布列为P=*(k=l,2),则入=近.

~2~

【分析】由题意知入+入2=1,由此能求出结果.

【解答】解：•.•随机变量X的分布列为P(x=k)(k=T,2),

.•.入+M=1,

解得入怎二，或入二遍-1(舍).

22

故答案为：后1.

2

第10页共25页

【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要注意离散型随机变量的分布列的

性质的合理运用.

22.设随机变量X的分布列为P(X=i)=±(/=1,2,3,4),则P(工<X<工)=___.

a225

【分析】利用概率分布列求出。，然后求解P(工<x(工)即可•

22

【解答】解：随机变量X的分布列为P(X=i)=上(i=l,2,3,4),

a

可得：1+2+3+4解得”=10,

a

P(i<x<—)=]+2+3=3.

22105

故答案为：3.

5

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，概率的求法，考查计算能力.

23.设随机变量X的概率分布为P(X=2A)=以(。为常数，k=\,2,3,4,5),则P(X

>6)=旦.

一五一

【分析】根据公式得出P(X=2)=a,P(X=4)=2a,P(X=6)=3a,P(X=8)=

4a,P(X=1O)=5a,

求解得出运用概率公式得出尸(X>6)=P(X=8)+P(X=1O).

15

【解答】解：：随机变量X的概率分布为尸(X=2Z)=ak(a为常数,k=l,2,3,4,

5),

•\P(X=2)=a,P(X=4)=2〃，P(X=6)=3〃，P(X=8)=4mP(X=10)=5。,

•.•〃+2。+3。+4〃+5。=1,

a=-L,

15

：.P(X>6)=P(X=8)+P(X=1O)=9a=a=2

155

故答案为：1

5

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意随机变量X的概率分布规律的

合理运用.和为1的运用.

24.随机变量？的分布列为：

E0123

第11页共25页

Px0.20.30.4

随机变量E的方差Dq)1.

【分析】由随机变量《的分布列的性质得求出x=0.1,从而得反=2,由此能求出。亭

【解答】解：由随机变量孑的分布列的性质得：

x+0.2+0.3+0.4=l,解得x=0.1,

.•倒=0X0.1+1X0.2+2X0.3+3X0.4=2,

：.D^=(0-2)2x0.1+(1-2)2x0.2+(2-2)2X0.3+(3-2)2X0.4=1.

故答案为：1.

【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运

用.

25.已知某一随机变量t的概率分布如下，且E(p=6.3,则a的值为7.

4a9

P0.50.1b

【分析】利用离散型随机变量的分布列的概率和直接求解即可.

【解答】解：E(P=4X0.5+aX05+bX9=6.3,0.5+0.l+b=l=a=7,6=0.4

【点评】本题考查概率的求法，考查离散型概率分布列的性质的应用，解题时要认真审

题，是基础题

26.设随机变量X的概率分布表如下:

X1234

P工a3,b

7S-

若E(X)=2.5,则a-6的值为0.

【分析】由离散型随机变量的分布列的性质和数学期望的性质，列出方程组求出小b,

由此能求出结果.

【解答】解：,:E(X)=2.5,

由随机变量X的概率分布表，得：

[+a《+b=l

13'

IX-+2a+3X^~+4b=2.5

48

第12页共25页

：.a-b=^-----?-=0.

1616

故答案为：0.

【点评】本题考查概率之差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变

量的分布列、数学期望的性质的合理运用.

27.离散型随机变量$的概率分布列如图，若&=1,则的值为0.4.

012

P0.2,，b

【分析】利用离散型分布列的性质，先求出a,b,由此能求出。，的值.

【解答】解：；段=1,

由离散型随机变量E的概率分布列，得［a+2b口，

10.2+a+b=l

解得4=0.6,6=0.2,

：.Dt,=(0-1)2x0.2+(1-1)2X0.6+(2-1)2x0.2=04

故答案为：0.4.

【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型分布列的性

质的合理运用.

28.某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为冬，第二、第

5

三种产品受欢迎的概率分别为，力小且不同种产品是否受欢迎相互独立.记s为公司向

市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为

0123

p2ad8

4545

贝！Jm^n—1

【分析】设事件4•表示“该公司第，•种产品受欢迎"，i=l,2,3,由题意知P(4)=生

P(A2)—m,P(A3)—n,求出彳=0,3的概率，即可求,的值.

【解答】解：设事件4表示“该公司第i种产品受欢迎"，i=l,2,3,由题意知P(4)

一_4,

5

设尸(A2)=m,P(A3)=〃，

第13页共25页

由题意知P(?=0)=P(AAA)=—(1-机)(1-〃)=-^->P(f=3)=P(AiA2A3)

123545

=£=_8_

T™45f

解得〃皿=2,m+n=1.

9

故答案为：1.

【点评】本题考查概率的计算，考查数学期望，解题的关键是确定概率，属于中档题.

29.随机变量2的分布列为「9=4)=.©々=1.2.3,其中c为常数，则尸解》2)

k(l+k)

=_1

【分析】由随机变量t的分布列的性质求出再由PG》2)=P簿=2)+P9=

3

3)=1-P(2=1),利用对立事件概率计算公式能求出结果.

【解答】解：•••随机变量S的分布列为尸&=&)=,0无=123,其中c为常数,

k(l+k)

.•____2_J—=1,

IX(1+1)H2X(1+H2)3X(1+3)

解得c=l,

3

：.P(W22)=P—=2)+P(t=3)=1-P(t=l)

当

=1-1=1.

23

故答案为：1.

3

【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的

分布列的性质的合理运用.

30.随机变量X的分布列为

XX]X2X3

PpipiP3

若pi,02,P3成等差数列，则公差”的取值范围是.

_3-3.

【分析】根据pi,P2,P3成等差数列，得到pi=5-d,根据”的范围，从而综合求出

d的范围.

【解答】解：由题意，p2=pi+d,p3=pi+2d.

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则pi+p2+p3=3pi+3d=1,

***pi=——d.

3

又OWpiWl,.".O^A-

即-2w“wL

33

同理，由o〈p3Wi,得-_lwdw2,

33

-上wdwL

33

故答案为：-LwdW工

33

【点评】本题考察了等差数列的定义，考察了随机变量，由pi=2-d,根据pi的范围，

3

求出d的范围是解答问题的关键，本题是一道中档题.

三.解答题(共10小题)

31.设XI,JC2…尤”是独立的连续型随机变量，尤，•的分布函数为B(x),令：

x(1)=min(xi,短…物)

x(/?)=max(xi,X2…初)

试求随机变量x(%)的分布函数.

【分析】由独立的连续型随机变量和分布函数，结合已知条件，利用F(x)=P(X

X(n)

(ri)Wx)和F(X)=P(X<1)Wx)=\-P(X(1)>X),能求出随机变量X(%)的分

X(l)

布函数.

【解答】解：由己知得：

F(x)=P(x(«)Wx)

X(n)

=P(XI…，Xn^x)

=P(XIWx)P(kWx)…尸(xn^x)

=Fl(x)F2(x)•••Fn(x).

F(x)=P(x(i)Wx)=]_P(x(I)>x)

x(l)

=1-P(XI>X,X2>XfX3>X,…，Xn>X)

=1-P(X1>X)P(X2>X)…P(Xn>X)

=1-(1-Fl(x))(1-Fl(x))…(1-Fn(x)).

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【点评】本题考查随机变量X（%）的分布函数的求法，是基础题，解题时要认真审题，

注意独立的连续型随机变量和分布函数的灵活运用.

32.某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照

明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为“，寿命为2年以上的

概率为R.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不

换.

（I）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；

（H）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概

率；

（III）当pi=0.8,p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概

率（结果保留两个有效数字）.

【分析】（/）一只灯泡需要不需要换，可以看做一个独立重复试验，根据公式得到在第

一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率和需要更换2只灯泡的概率.

（//）由题意知在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡

是两个独立事件，包括两种情况，这两种情况是互斥的，根据独立重复试验和互斥事件

的概率公式，得到结果.

（///）由题意知，至少需要更换4只灯泡包括需要环4只，需要换5只，根据独立重复

试验的概率公式写出结果.

【解答】解：因为该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为⑶，寿命为2年以上的概率为

P2.

所以寿命为1〜2年的概率应为p\-P2.其分布列为：

寿命0〜11〜22〜

P1-PlPl-P2P1

（/）一只灯泡需要不需要换，可以看做一个独立重复试验，根据公式得到

在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为"总需要更换2只灯泡的概率为C52Pl3

（1-pi）2;

（//）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡是两个独

立事件的和事件：

①在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-pi）2；

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②在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为pi(1-/72).

故所求的概率为。=(1-pi)2+pi(1-^2).

(///)由(〃)当pi=0.8,0=0.3时，在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来

说，该盏灯需要更换灯泡的概率p=(1-pi)2+p\(pi-p2)=0.22+0.8X0.7=0.6.

在第二次灯泡更换工作，至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况：

①换5只的概率为p5=0.65；

②换4只的概率为C51P4(1-p)=5X0.64(1-0.6),

故至少换4只灯泡的概率为：/?3=0.65+5X0.64X0.4=0.34.

即满两年至少需要换4只灯泡的概率为0.34.

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，考查独立重复试验的概率，考查相互独立

事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，是一个综合题，题干比较长，需要认真读

题来理解题意.

33.学校游园活动有这样一个游戏：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个

白球，2个黑球，这些球除了颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2

个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱).

(1)求在1次游戏中：

①摸出3个白球的概率.

②获奖的概率.

(2)求在3次游戏中获奖次数X的分布列.(用数字作答)

【分析】(1)①求出基本事件总数，计算摸出3个白球事件数，利用古典概型公式，代

入数据得到结果；

②获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据①求出摸出2个白球的概

率，再相加即可求得结果；

(2)确定在3次游戏中获奖次数X的取值是0、1、2、3,求出相应的概率，即可写出

分布列.

【解答】解：(1)①设“在1次游戏中摸到i个白球”为事件4(i=0,1,2,3),

②设“在一次游戏中获奖”为事件8,贝IJ8=A2UA3,

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CoCoci-cici1

又P(A2)■产•一■=」，且42、A3互斥,

cl喋C：2

oJbJ

所以P(B)—P(42)+P(A3)=』+」=_L

2510

(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3；

7)3=27

101OOO)

2=189

(1击1000

2.(1」)=如,

101000

3=343.

10001

所以X的分布列为

X0123

P27189441343

1000100010001000

【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式和离散型随机变量的分布列的应用问题,

也考查了互斥事件和相互独立事件等基础知识，是基础题目.

34.一个骰子的6个面上分别标有1,2,3,4,5,6,现抛掷3个这样质地均匀的骰子.

(1)求抛掷出的这三个骰子的点数之积是3的倍数的概率？

(2)设X为3个骰子中点数为3的倍数个数，求X的分布列及数学期望E(X).

【分析】(1)求出抛掷出的这三个骰子的点数之积是3的倍数的事件的个数，求出所有

可能的结果，从而求出满足条件的概率；

(2)列出X的所有的取值，分别求出尸(X=0),P(X=l),P(X=2),P(X=3)的

值，从而求出数学期望.

【解答】解：(1)抛掷出的这三个骰子的点数之积是3的倍数为事件A,

则A包括：三个点数中有3个数完全一致，2个数完全一致，没有重复数字三类,

即：(6,6,6),(3,3,3),

1,3),(1,1,6),(2,2,3),(2,2,6),

(3,3,1),(3,3,2),(3,3,4),(3,3,5),

(3,3,6),(4,4,3),(4,4,6),(5,5,3),

(5,5,6),(6,6,1),(6,6,2),(6,6.3),

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(6,6,4),(6,6,5),

(3,6,x),(3,x,x),(6,x,x),

2+18C1+C^A3+2