导学案九年级上册数学人教版全册书答案

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

三、自学反馈

小35

解：⑴X1+X2=3,xi•x=-l；⑵X1+X2二一一Xi•X2二—一；

222

(3)XI+X2=6,XI,X2=0.

四、合作探究

活动1小组讨论

7

例1解：(1)XI+X=6,XI•X=-15(2)X1+X2=一一，xi•X=-3；

2232

小51

⑶X1+X2二一，X1•X2二一.

44

3

解：另一根为士，k=3.

2

3

解：⑴⑵19；⑶回或-扬.

22.2二次函数与一元二次方程

知识梳理参考答案:

1.X=XQ

2.相等的不等的

3.大值小值

典型例题

【例111【解析】由于球的飞行高度丸与飞行时间f的关系是二次函数丸=20/—5/.

所以可以将问题中”的值代入函数解析式，得到关于f的一元二次方程，如果方程有合

乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中介的值；否则，说明球的飞行高度不能达

到问题中的值.

解：（1）解方程15=20-5产.

厂一4/+3=0.

4=1/2=3.

・••当球飞行Is和3s时，它的高度为15m.

(2)解方程20=20/—5/.

——今+4=0.

4=^=2.

.•.当球飞行2s时，它的高度为20m.

(3)解方程20.5=20/—5产.

产一々+4.1=0.

V(-4)2-4x4.1<0

，方程无解.

即球的飞行高度达不到20.5m.

(4)解方程0=207—5/.

产—4/=0.

%=0,=4.

.•.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m,

即0s时球从地面飞出.4s时球落回地面.

画出二次函数h=20t-5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案.

总结：

一般地，我们可以利用二次函数深入讨论一元二次方程依2+以+。=0.

【例2】【解析】通过描点法作出函数图象，即可求解.

解：作y=/—2x—2的图象，如下图，

它与X轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7.

方程2x—2=0的实数根为为«-0.7,x2»2.7

(2.7.01

三、课上练习

1.【解析】由。<0,可知抛物线开口向下，又当x=—l时，y^a-b+c>Q,所以抛

物线有在x轴上方的图象，必与x轴有两个交点，则方程有两个不等实根，A=b2-4ac>0,

即可求解.

解：y=ax2+fex+c中a<0,

，抛物线的开口向下

又当x=-1时，y=a-b+c>0,

•••抛物线有在第二象限的点。

它的示意图如图。

.♦.抛物线与x轴有两个交点。

令y=0,得ax2+bx+c=O

方程有两个不相等的实数根

\=F-4«c>0

故选Ao

2.【解析】结合图象，抛物线与x轴交点个数，即可得到一元二次方程根的关系.

解：由图象可得，抛物线与尤轴有两个交点，

即一元二次方程a^+bx+c=0有两个不相等的实数根，

且一根小于1,一根大于2.

故选D.

【3.解析】欲确定抛物线的开口方向，要看m-2>0,还是m-2<0,由一1<根<2,

可知俏-2<0,得知抛物线开口向下；Xc=m+l>0,得知抛物线与y轴交点在无轴上方;

再由A=〃-4改>0,得知抛物线与x轴有两个交点

解：

a=m—2<Q

.••抛物线开口向下；

又■:C=7M+l>0,

•••抛物线与y轴的交点在x轴上方；

令y=0,得(加-2)尤2+2mx+m+l=O

A=b~-4AC=4m2-4(〃z-2)(m+1)

=4m+8

=4(m+1)+4>0

...抛物线与x轴有两个不同的交点。

4.【解析】结合二次函数开口方向即与x轴的交点的性质，即可求解.

解：由题可知，

要使二次函数丁=办2+灰+。对于x的任何值都恒为负值，

需开口向下，即4<0；

且抛物线与X轴无交点，

即一元二次方程ax2+bx+c=0无解

.,.△<0.

故选D.

22.3实际问题与二次函数(第1课时)

参考答案

一、设计问题，创设情境

(1)开口方向：向上;对称轴是X3；顶点坐标是(2,^);最小值是用.

3325至

⑵开口方向响下;对称轴是尸-7;顶点坐标是(-\彳)；最大值为7.

二、信息交流，揭示规律

(1)5=-7+207;

(2)0<2<20,图象略；

(3)当2=10m时,场地的面积最大,最大值是10m2.

三、运用规律，解决问题

(l)y=-2/+20^0<Y<10;

(2)当户5时,矩形的面积y最大,面积的最大值是50m2.

四、变式训练，深化提高

6-1I

L设窗框的长为xm,则宽为2m,透光面积为ym；根据题意得：

卜”a

y=x'=~x+3x,

当x=l时,y取得最大值,最大透光面积是1.5m2.

2.略

布置作业

1.(1)有最高点，('，")(2)有最低点，(-

2.设利润为p元,贝！Jy-(^-30)(100~x)=~x+130x~3000.

当xW5时,p有最大值,最大利润是1225元.

22.3实际问题与二次函数(第2课时)

二、

[例1]

1)设每件涨价X元，由题意可得利润为

y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)

y=-10x2+100%+6000(0<%<30)

b

.,.当尤=----=5时，

2a

>最大值=-10X25+100X5+6000=6250

(2)设每件降价x元，由题意可得利润为

y=(60—x)(3OO+20%)—40(300+20x)

y=-20x2+100%+6000(0<x<60)

b

・••当x=----=2.5时，

2a

y最大值=-20X6.25+100X2.5+6000=6150

・••当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元.

参考答案

一、设计问题，创设情境

1.(1)能；(2)设计成边长为2m的正方形,此时透光面积最大.

2.哪家便宜就去买哪家的;略

二'信息交流，揭示规律

练1.【解析】根据降价关系，列出价格与降价百分率的函数关系，即可求解.

解：第一降价后y=18(l—%),

第二次降价后y=18(l-x)(l—x)=18(1—x)2

故选D。

练2.【解析】结合图象，抛物线与x轴、y轴的特殊点坐标，代入解析式即可求解.

解：由图象可得，抛物线过点(0,0),(40,0),(20,16)

设抛物线解析式为y=ax(x-40)

.16=20(20-40)

1

a--

215

y

--x(x-40)

215

y--28

25X+.X即为抛物线的解析式.

练3

设降价x元,利润为y元,根据题意得：

尸(135-x-lOO)(100%x)河Ox+3500.

当x书时,y最大.即降价5元时,每天获得的利润最大.

布置作业

定价为350元时,宾馆利润最大.

22.3实际问题与二次函数(第3课时)

参考答案

一、设计问题，创设情境

1.设二次函数的解析式为y=a(x-H)2+k(幽).

因为顶点坐标为(8,9),所以尸a(x-8)2%(存0).

I

又因为图象过点(0,1),可得a(0-8)2对=1,解得:a=-

所以二次函数的解析式为尸-。(工毛尸孙

2.设二次函数的解析式为y=ax+bx+c(M).

因为图象过(0,1),(1,3),(-1,1)三点,可得：

0+0+e=1.

a+b+u=3.a=L

od♦c=1,b=1,

J

所以二次函数的解析式是y=x+x+\.

二、信息交流，揭示规律

以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，设这条抛物线表示

的二次函数为尸a*(存0).由抛物线经过点⑵-2),可得：

I

_2-aX22,解得.3--

故这条抛物线表示的二次函数为尸-2/.

当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3,此时的x=上丫吊,水面的宽度为2vim,水

面的宽度增加(2VM)m.

还可以有其他的建立平面直角坐标系的方法,如

1.以水面7为x轴y轴过抛物线的顶点,建立坐标系；

2.以水面/为x轴,水面的左端点为原点,建立坐标系.

三、运用规律，解决问题

1.【解析】根据二次函数图象中特殊点坐标，即可求解.

解：•.•建立坐标系后，图象过点(土2,-2)

代入函数解析式y=得产―/

故选择C.

2.【解析】根据图中特殊点坐标，代入函数解析式，即可求解.

解：由题可知，抛物线过点(0,1),(4,3),

设二次函数解析式为h=-4y+3

将点坐标代入，得

1=«(0-4)2+3,

1,

h=——"4)2+3

8

2

h=-Lt+t+1

8

故选C.

3.(1)以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系,设这条抛物线

表示的二次函数为尸ax"怒0).根据条件可设抛物线的图象过点(10,㈤⑸m+等,

可得：

(100a=m,广一：

'25a-m+3禽刀/曰a.

所以抛物线解析式为尸-玉,

可以建立不同的平面直角坐标系,得出不同的函数解析式.

⑵5小时.

⑶能.

变式训练,深化提高

略

五、反思小结，观点提炼

L建立直角坐标系；

2.求二次函数解析式；

3.得出实际问题的答案.

布置作业：

112«2C

(1)y-+2x+*⑵尸3/-3x-5

第22章二次函数

数学活动

参考答案

一、设计问题，创设情境

b4,分〉

二、信息交流，揭示规律

设第一个两位数的个位上的数为X,则第二个两位数的个位上的数为(10-X).两个两位

数的乘积

产(90+x)[90+(10-x)]=-/<L0xv9000

当x书时,两个两位数的乘积最大,即95与95的乘积最大,最大值为9025.

三、运用规律，解决问题

设第一个三位数的十位上的数与个位上的数组成的数为x,则第二个三位数的十位上的

数与个位上的数组成的数为(100-x).两个三位数的乘积

y=(900+x)[900+(100-^)]=-/+100x为00000

当x-50时,两个三位数的乘积最大,即950与950的乘积是最大值,最大值为902500.

四、变式训练，深化提高

答案如下：

⑴如图.猜这条曲线是抛物线.

⑵PA=PM.过点A作ABLPM,连接PA.

在RtAA6中，

有P百+AE=PM

.：/^2=(y-2)2+Z

:PA=PM,

.：(y—

整理，得尸*x+l,

从而说明曲线/是抛物线.

布置作业

解：⑴证明：:DG=DH,

ADHG=ADGH=2,

同理，NC67三2,

.：/DGH+/CGF=2

又：•菱形ABCD^,AD//BC,

.：ZZ?+Z(7=180°

"DGH+NCGF帮：

；"HGFWQ°.

同理，NGHE冯0°,NEFG冯0°,

.:四边形第第是矩形.

(2)/庐a,/心60°,则菱形/四的面积是怎；

设BE=x,则AE=a-x,

则△/皮的面积是4,

史

△颜的面积是~

、Tv3(*x/口

则矩形用6〃的面积尸7a2-2

即尸-V3/+Jax,

则，当x=忘=；时，函数有最大值，

止匕时BE=

23.2.1中心对称

三、自学检测

1.解：（1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D点.

⑵A，B，C，D关于中心D的对称点是A，，B'，C'，D'，这里的D，与D重合.

2.分析：因为D是对称中心且AD是4ABC的中线，所以C，B为一对对应点，因此，

只要再作出A关于D的对应点即可.

解：（1）延长AD，且使AD=DA，，因为C点关于D的中心对称点是B（C），A点关于

中心D的对称点为A;

⑵连接A，B，，A'C'.则AA'BD为所求作的三角形，如图所示.

四、合作探究

（二）跟踪练习：：

1.如图，把△AOC以A为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△AO'B的位置，则

△AOC^AAO,B.

.\AO=AO,，OC=O,B.

又•.•/OA（y=60°，

...△AO'O为等边三角形..*.AO=OO,.

在△BOO,中，00'+OB>BCY，

即OA+OB>OC.

23・2.2中心对称图形

二、自学检测

j.

三、合作探究

（―）

1.常见的中心对称图形：线段（线段中点）、平行四边形（对角线交点）、矩形、菱形、正

方形、圆（圆心）等.

2.区别：中心对称指两个全等图形的相互位置关系；中心对称图形指一个图形本身成

中心对称.

联系：如果将成中心对称的两个图形看成一个整体，则它们是中心对称图形；如果将中

心对称图形对称的部分看成两个图形，则它们成中心对称.

3.有一个对称中心

绕某一点旋转180°

旋转后与原来的图形重合

（二）1.（”，I，N，O，S，X，Z）.

2~5略

23•2.3关于原点对称的点的坐标

三、自学检测：

1.A，B，C，D，E，F点关于原点O对称点分别为A<3，-1），B'（4，0），C（0，

-3），D，（-2，-2），E'（-3，2），F，（2，2）.

这些点的横纵坐标与已知点的横纵坐标互为相反数.

2.AABC的三个顶点A（-2，2），B（-4，-1），C（1，1）关于原点的对称点分别为A'（2>

-2），B'（4，1），C（-1--1），依次连接AB，B'C'，A'C，就可得到与4ABC

关于原点对称的△APC，,如右图所示.

23.3课题学习图案设计

二、知识构建

知识点1

1•B

2.C

知识点2

解：答案不唯一，图略

三、知识运用

基础巩固

4.A5.B6.C7.②⑤

8.解：答案不唯一，如图：

□

能力拓展

略

24.1.1圆的基本性质

二、知识构建

1.A2.B

3【解析】本题主要考查圆的定义和矩形的性质.判断几个点是否在同一个圆上，要看能否找

到一个定点，使这几个点到定点的距离相等，即OA=OB=OC=OD,根据圆的定义可证.

【答案】证明：•••四边形ABCD是矩形

11

AO=OC=—AC；OB=OD=—BD；AC=BD

22

-,.OA=OB=OC=OD

:.A、B、C、D在以。为圆心以OA为半径的圆上。

【变式】C

4.B5.C6.略【变式】6

三、知识运用

7.B8.A9.B10.D11.A12.D13.16n14.22.5

15.解：(1)如图1,分别以48为圆心，1.5cm为半径画。4和08,它们的交点C〃为所求.

ye

图2

⑵如图2,以4为圆心，1.5cm为半径画。4;以6为圆心，1cm为半径画。旦。/和相交

于点户和Q,则两条倒弧所围成的图形为所求(不含弧).

16.解:分为两种情况：

⑦若这个点在坐标轴上,那么有四个,它们是(0,5),(5,0),(3,0),(0,-5);

含漕这个点在象限内，：于幺叮手,而尸都是整数点，.：这样的点有8个，

分别是(3,4),(-3,4),(3,-4),(-3,-4),(4,3),(",3),(4,-3),(-4,-3).

这样的点共有12个.

24.1.2垂直于弦的直径

二、知识构建

1.8cm2.3cm3.3cm

4.精讲点拨:

设半径为R,圆心为0,作0CLAB,垂足为点D,交弧AB于点C,

AD=DB=18.7,CD是拱高.

在Rtz\A0D中，由勾股定理，

得OA2=OD2+AD",即RJ(R—7*2)2+18.72,

解得足27.9m.

因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.

5.8米

三、知识运用

6.解：6.7.358.5

9.证明:作OE_LAB于E.则CE=DE.

VOA=OB，OE±AB＞

；.AE=BE-

；.AE—CE=BE—DE.

即AC=BD.

10.过点。作OE_LAB于点E.则AE=BE，CE=DE.

.•.AE—CE=BE—DE.

即AC=BD.

11•解：过点O作直线OELAB于点E＞直线OE与CD交于点F.由AB〃CD＞则OF

±CD.

(1)当AB'CD在点O两侧时，如图①.连接AO'CO，则AO=CO=25cm-AE=20cm，

CF=24cm.

由勾股定理知OE=15cm‘OF=7cm.

・・・EF=OE+OF=22(cm).

即AB与CD之间距离为22cm.

图①图②

(2)当AB，CD在点O同侧时，如图②，连接AO，CO.则AO=CO=25cnz，AE=20cm，

CF=24cm.

由勾股定理知0E=15cm，OF=7cm.

EF=OE—OF=8(cm).

即AB与CD之间距离为8cm.

由⑴⑵知AB与CD之间的距离为225或8cm.

24.1.3弧、弦、圆心角

二、知识构建

1.C2.C3.A4.A5.C6.B7.C8.D9.C10.50JI

11.55°12.①②③④13.6

三、知识运用

14.略

15.解：⑴：•将沿直线B对折，得△比M连跋，△比侬.-.CD=CA,DM=AM,Z

DCM=Z.ACM,NCDM=/A.又:CA=CB,/.CD=CB,:"DCN=/ECF-Z.DO^°-ADCM,

4BCN=Z.ACB-2ECF-NACMWQ°-45°-ZACM=45°-Z.ACM,ZDCN=ZBCN.

又；CN=CN,.：△徼匕△枷；.DN=BN,/CDN=/B.

.：/MDN=4CDM+4CDN=/A+4B=QN.

.:在RtAJW^,由勾股定理

得MN=D^+DN,即M而=A而+B而.

(2)解析式涸=A讹+BN仍然成立.

证明：：'将沿直线CF对折,得△比弘连GN,

；.XGC3MAeM.

・：CG==CA,GM=AM,/GCM=/ACM,/CGM=/CAM.

又：・CA=CB,得CG=CB.

・・•/GCN=/GCM+/ECF=/GCM+^。,

/BCN=4ACB-/ACN30。-(ZECF-ZACM)=45°+/ACM,,・・/GCN=/BCN.又・・・CN=CN、.'•△CGN

经丛CBN.

・・・GN=BN,/CGN=/B45°,NO浙/。加180°—NO少=135°.

・•・/MGN=4CGM-/CGN=133°-45°-90°.

.:在Rt△磔V中，由勾股定理得成=6射外加.即MAM+BN.

24.1.4圆周角

二、知识构建

1.65°.2.50°.3.65°.4.29°.

三、知识运用

5.65°6.64°

7.；AB为直径>.,.ZACB=90°.

BC==8(cm).

：CD平分/ACB，，/ACD=NBCD>

；.AD=BD.由AB为直径，知AD_LBD，

•••△ABD为等腰直角三角形，

：.AD2+BD2=2AD2=2BD2=AB2，

AD=5cm，BD=5cm.

8.10cm

9.30°.

lO.YNAOB是劣弧所对的圆心角，

ZACB是劣弧所对的圆周角，

.\ZAOB=2ZACB.

同理/BOC=2/BAC>VZAOB=2ZBOC><*.ZACB=2ZBAC.

11.ZA=50°

24.2.1点和圆的位置关系

二、合作探究，解决问题

【活动1]

例1

•/OA=^OD2+AD2=6^2<10,

...点A在。。内.

VOB=\[OI^+BI^=10,二点B在。。上.

,/OC=y)OD-+CD-=y[]U>10,

...点C在。O夕卜.

例2假设△ABC中有两个角是钝角，不妨设NA、NB为钝角，

AZA+ZB>180°,这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立，原命题正确.

即一个三角形中不可能有两个角是钝角.

【活动2】

1.的半径为4cm,4V7,...点1在G。夕卜.

2.在圆上任取两条弦，根据垂径定理，垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的

垂直平分线即可.

3.如图，假设°与6相交于点M,则过M点有两条直线平行于直线c,这与过直线外

一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾，所以a〃尻

cl---------------一一一一f

、)为

b-------------------，\

c----------------------

【活动3】

【例3】(1)证明：：NACB=90。，且NACB为。。的圆周角，为。。的直径，

ZA£D=90°,；.NACB=ZAED.

,：AD是△ABC中ZBAC的平分线，

ZCA£>=NEAD,：.CD=DE,

[AD=AD,

在RtAACD与RtAA£D中,

[CD=ED,

：.AACD^AAED(HL),：.AC=AE.

(2)VAC=6,BC=8,

：.AB=yjAC2+BC2=10

由(1)得，ZAED=ZBED=9O°.

设CD=DE=x,则DB=BC-Cr)=8-x,EB=AB~AE=10-6=4.

在RtZiBED中，根据勾股定理，得瓦〉=85+£。2,即(8-X)2=N+42,解得了=3,

：.CD=3.

'：AC=6,：.AD2=AC2+CD2=62+32=45,

：.AD=3y[5.

四、课堂检测

略

24.2.2直线和圆的位置关系

第1课时直线和圆的柱置关东

二、合作探究，解决问题

【活动一】1.【答案】1

【活动2】1.C2相交

【活动3】：。。的半径为r,圆心到直线/的距离为d,且直线/与。。相切,

d=r.

■:d、r是一元二次方程。“+9)%2—(wz+6)x+1=0的两根，

：.A=[-(m+6)]2-4(m+9)X1=0,

解得m=0或一8.

当〃?=-8时，x=­l,不符合题意，舍去，

•*.m=0.

四、课堂检测

参考答案

1、C

2、A

3、

作AB垂直于直线y=x于B.

在等腰直角三角形AOB中，根据勾股定理得AB=OB=2显<3,

所以直线和圆相交.

由图可知，r的取值范围在OC和CD之间.

在直角三角形OCD中，zAOB=30",OC=4

贝！JCD=；OC=1x4=2；

则r的取值范围是2<r<4.

5、

(1)过P作直线x=2的垂线，垂足为A；

当点P在直线x=2右侧时，AP=x-2=3,得x=5；

当点P在直线x=2左侧时，PA=2-x=3,得x=-1,

・•・当。P与直线x=2相切时，点P的坐标为(5罟)或(-1,-|)

(2)当-1<x<5时，OP与直线x=2相交

Wx<-1或x>5时,OP与直线x=2相离.

举一反三:

1、D

2、D

3、

(1)根据题意,知圆和y轴相切，则r=3;

(2)根据题意，知圆和y轴相交，和x轴相离，则3<r<4;

(3)根据题意，知直线和x轴相切或与坐标轴有公共交点，即原点，则r=4或5

(4)根据题意，知直线和x轴相交，则r>4且rw5.

4、

•.,0P=6cm,

・・・当点P在。A上时，需要运动(6-2)+1=4秒，

当点P在0B上时，需要运动(6+2)-1=8^,

•一两个切点之间的都是相交，

•■-4<t<8.

故答案为：4<t<8.

5、

y

HJLL(1)3MA,

o\A\^N^7BX

,.•MN_LAB于点N,

••,AN=BN,

.A(2,0),B(6,0),

•■•A(2,0),B(6,0),

.•.AB=4,

/.AN=2；

在RtMMN中,MN=1,AN=2,

.•.AM=0，

即。M的半径为0；

(2)直线x=7与。M相离，

理由：圆心M到直线x=7的距离为7-4=3,

'-•3>>［5,

.,•直线x=7与OM相离.

24.2.2直线和圆的位置关系

第2课时切线的判定和性质

二、合作探究，解决问题

【活动2】［例1］PE与。。相切.

证明：连结。尸、BP,贝|OP=OB

ZOBP=ZOPB.

'：AB为直径，

：.BP1.AC.

在RtZ\BCP中，E为斜边中点，

：.PE=^BC=BE,：.NEBP=NEPB.

：.NOBP+NPBE=NOPB+NEPB,即NOBE=ZOPE.

：BE为切线，：.AB-LBC.

：.OP-LPE,即PE是。O的切线.

［例2］连结OB,如图.

与OO相切，AOB-LAB,：.ZABO=90°,

ZAOB=90°~ZA=90°-34°=56°.

'：OB=OC,NC=NOBC.

,/^AOB=ZC+ZOBC,

ZC=|zAOB=28°.

【活动3】164004或8

【活动4】(1)证明：连接0。

：CE是。。的切线，AZOEC=90°.

四边形OABC是平行四边形，：.OC//AB,

：.ZEOC=NA,ZCOD=ZODA.

'：OD=OA,：.^A=ZODA,

：.ZEOC=NDOC.

OE=OD,

在△EOC和△DOC中，•.dNEOC=ZDOC,ZiEOC且△OOC(SAS),

0c=OC,

ZODC=ZO£C=90°,

：.OD±CD,...CZ)是。。的切线.

(2)过点D作DF-LOC于点F.

在RtZkCDO中，OC=AB=4,OD=OA=3,

由勾股定理，得CD=yl42—32=币.

'：SACDO=^CDXOD=^OCXDF,

.CDXOD或X33s

：-DF=_OC=4=4，

:SDABC=0CXDF=4X乎=3巾.

四、课堂检测

1、C

2、A

3、

SI

如图1,当。0平移到OCT位置时，。0与PA相切时，且切点为C,

连接0C,贝！JOJPA,

即/O'CP=90°,

1--zAPB=30°,0rC=1cm,

.•.O'P=2O'C=2cmf

.-0P=3cm,

如图2：同理可得：O,P=2cm

.,.0,0=5cm.

故答案为：1或5.

朝OA,0D一••四边形OABD>fi角梯形，

过A点作AE_LOD垂线，垂足为E,

设半径为x,/.OA=x,AE=b,OE=x-a,

卷RSAOE中，由勾股定理得OA2=OE2+AE2,

即x2=(x-a)2+b2,

整理得，x2=x2-2ax+a2+b2,

解得*=辱.

2a

故答案为：狂.

2a

5.

连接OM,贝!)OM_LBM,

在RSBOM中，OM=3,BO=5,

根据勾股定理，得BM=4；

•-•AP±OB,

・•.AP是圆的切线，

又PM是圆的切线,

.-.AP=MP；

在RSAPB中，

设AP=x,AB=5-3=2,BP=4-x；

颗勾照理得：

(4-x)2=3+4

3

X=1/

3

.\MP=y.

6、B

7、

如图，BC=8cm,

1,BC是直径，当/BCA=90。时，AC是O0的切线

.•,AB2=AC2+BC2,

.-.AC=JI2_82=6(cm).

故答案为6.

8、

(1)MACD是等腰三角形，330。，

/.zCAD=zCDA=30°.

i^OC,

vAO=CO,

.•.△AOC是等腰三角形，

.'.zCAO=^ACO=30°,

.-.zCOD=60°,

在△«)口中,又zCDO=30°,

.-.zDCO=90°

・•・CD是00的切线，即直线CD与。0相切.

(2)过点A作AEKD,垂足为E.

在RSC0D中，•zCDO=30。，

.-.OD=2OC=8,

AD=AO+OD=4+8=12

在RSADE中，•2EDA=30°,

AT)

二点A到CD边的为：AE=^~=6.

9、

(1)TAB是。0的直径,

/.zADB=90",即AD_LBD,

又TADIIOC,

.-.OC±BD,

••QC平分BD,

即OC是BD的中垂线；

•：OC是BD的中垂线，

.-.CD=CB,

而OD=OB,OC公共，

.-.△ODCsAOBC,

.".zODC=zOBCt

又TBC是。O的切线，

.-.zOBC=90",

.-.zODC=90°,

.♦.CD与。。相切.

24.2.2直线和圆的隹置关东

3课时切线长定理

二、合作探究，解决问题

【活动1】例1

VAC,4尸为。。的切线，：.AC=AP.

•；BP、BD为0O的切线,：.BP=BD,

：.BD=PB=AB-AP=5~3=2.

例2：NBAC=50。，ZACB=60°,

ZB=180°-50°-60°=70°.

■:E、尸是切点，:.NBDO=NBEO=90°,

：.ZDO£=180°-ZB=110°.

110°

【活动2】290°65°

【活动3】连结P。、AO.

：必、切。。于A、B两点、,APB=60°,

：.OAA.PA,ZAPO=|zAPB=30o,

ZAOP=60°.

:。。半径为3,：.OA=3,PO=6,

：.PA=y]PO2~AO2=3小,

S^PAO=^AO-PA=3X3X3小

四、课堂检测

参考答案

切线长定理

1、C

2、C

3、

---CD.CE分别与相切于点D、E,

/.CD=CE,

•zDAC=/DCA,

*'.AD=CD,

.-.AD=CE,

vAD=2,

.%CE=2.

故答案为：2.

4、

•：PA、PB、DE是。0的切线，

.,.DA=DC,EC=EB,

.•.△PDE的周长=PD+DC+EC+PE=PA+PB=2PA=16cm.

朝OA、OB、OD、OE、OC,

!B!!ZAOB=180°-/P=140°,

.••/DOE=/COD+/COE=：(zBOC+zAOC)-zBOC=70°

故答案为：16cm、70°.

5、

(1)证明：丁。。切梯形ABCD于E、M、F、N,由切线长定理

：AE=AN,BE=BM,DF=DN,CF=CM,

/.AE+BE+DF+CF=AN+BM+DN+CM,

/.AB+DC=AD+BC

AEB

连OE、ON、OM、OF,

1--OE=ON,AE=AN,OA=OA,

.'.△OAEsAOAN,

zOAE=z.OAN.

同理，zODN=zODF.

.-.zOAN+zODN=xOAE+zODE.

又TABIIDC,zEAN+zCDN=180°,

.•.zOAN+zODN=1x180°=90°,

.­.^AOD=180°-90o=90°.

24.3正多边形和圆

二、合作探究，解决问题

［活动1】【例1】连结04、0B,过点。作于点M.

•.•ABCDEP是正六边形，

360°

ZAOB=~^~=60°,

...△OAB是等边三角形，

.•.正六边形ABCDE歹的周长为6a.

在RtzXOAM中，OA=a,AM=^AB=^a,

利用勾股定理，可得边心距OM=、a2_g）2=勺,

11、口3、［%2

...正六边形ABCDEF的面积=6义148*0河=6*2。义"^-。=—^—.

【例2】（方法一）任取一点A,连接04,用量角器或30。角的三角板度量，使NBAO=

NCAO=30°,点3、C在圆周上，连接A、B、C三点，可得△ABC.

（方法二）用量角器度量，＜ZAOB=ZAOC=120°,连接A、B、C三点，可得3c.

\i1

?

。

（方法三）用圆规在。O上顺次截取6条长度等于半径（2cm）的弦，任意顺次连接不相邻

的三个点，如点A、C、E,则△ACE即为所求的三角形.

（方法四）在圆上任取一条直径AD,以。为圆心，2cm为半径画弧，交。。于B、C两

点，连接A、B、C三点，可得△ABC

【活动2】l.C2.C3.A4.85.相等

6.先画一个。为圆心，。4长为半径的圆，取圆的三等分点，分别以三等分点为圆心,

OA长为半径画弧，交。。于A、B、C三点，即得该图形.

【活动3】

:在正六边形ABCOEE中，AB=BC,NABC=NC=120°,

叉BG=CH,

：./\ABG^/\BCH,

：.NBAG=ZHBC.

:N2AG+NABP=ZHBC+NABP,

：.NAPH=ZABC=120°.

四、课堂检测

参考答案：

1.【解析】选D.根据正多边形的概念，得：各边相等，各角也相等一的多边形是正

多边形，故A,B错误；矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，但其不是正多边形,

故C错误;D符合正多边形的概念，正确.

2.【解析】选D.由题意知圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正n边形的边长

也扩大一倍，所以相应的圆,内接正n边形的边长与半径之比没有变化.

1

3.【解析】选C.连接OB,VZA0B=60°,ZADB=2ZA0B=30°.

4.【解析】选A.•.•各边相等的圆内接多边形其所对的弧线段相等，.•.该

多边形为圆的内接，正多边形，故①正确;矩形符合②的条件但不符合结

论，故②错误.

1.【解析】选D.根据正多边形的概念，得：各边相等，各角也相等.的多边形是正

多边形，故A,B错误；矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，但其不是正多边形,

故C错误；D符合正多边形的概念，正确.

2.【解析】选D.由题意知圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正n边形的边长

也扩大一倍，所以相应的圆.内接正n边形的边长与半径之比没有变化.

3.【解析】选C.连接OB,•.•NA0B=60°,I.NADB=2/A0B=30°.AB

4.【解析】选A.•.•各边相等的圆内接多边形其所对的弧线段相等，，该多边形

为圆的内接.正多边形，故①正确；矩形符合②的条件但不符合结论，故②错误.

15.【解析】（1）连接OB,OC.A

•.•正△ABC内接于。0,/W'X

AZ