人教版九年级数学中考专项练习-实数的概念与运算复习学案

实数的概念与运算

考纲要求

1.理解有理数、无理数和实数的概念，会用数轴上的点表示有理数.

2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值.

3.理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会求一个数的算术平方根、平方根、

立方根.

4.理解科学记数法、近似数与有效数字的概念，能按要求用四舍五入法求一个数的

近似值，能正确识别一个数的有效数字的个数，会用科学记数法表示一个数.

5.熟练掌握实数的运算，会用各种方法比较两个实数的大小.

【知识梳理】

1.实数的分类：

(1)按定义分类：

正整数

O

有限小数或无限

M小数

正分数

分处(负分数

索辛普豪｝无限

无理数小数

<2>按正负性分类：

正整数

正有理数

「正实数

正无理数

负有理数(质锭数

I奂实数

负无理数

2.数轴：规定了和的直线叫做数轴，数轴上的点与_____是——对应的关系。

3.相反数：只有的两个数互为相反数。数a的相反数是_______；若a和b互为相反数，则a+b=

4.绝对值：在数轴上，表示数a的点到的距离，叫做数a的绝对值，记作时，正数的绝对值是

负数的绝对值是_________0的绝对值是_________即

r__________(^>o),

\CL|=4(6i=O)♦

ICaVO>.

5.倒数：乘积为的两个数互为倒数.数a(aHO)的倒数是________;若实数a,b互为倒数，则ab

___________________O

6.科学记数法：把一个数表示成±axl0"的形式，其中，1<a<10n是整数，这种记数的方法叫做科

学记数法。

7.近似数与有效数字：一个与实际数值很接近的数叫做近似数。一般地，近似数由四舍五入取得，四舍五

入到哪一位，就说这个近似数精确到那一位，这时，从左边第一个不是_______的数字起，到________止，

所有的数字都叫做这个数的有效数字。

8.平方根、算术平方根与立方根：

⑴若x2=a(a>0),则称x为a的记为+而或右,其中瓜叫做a的.0的算术平方根

是_______.同样，若x3=a，则称x为a的记为短，0的立方根为.

(2)一个正数的平方根有两个，它们负数没有平方根.一个数的立方根只有一个。

9.实数的大小比较：

(1)数轴表示法：将两个实数分别表示在数轴上_______边的数总比_______边的数大。

(2)代数I；匕较法：正数>0>负数；两个负数比较,绝对值大的反而o

(3)根式匕徽：若a>b"，贝!扬。

10.实数的运算:

(1)实数的运算法则：

①加法法则：同号两数相加，取的符号，并把绝对值_______；异号两数相加，取的加

数的符号，并用减去_______；互为相反数的两数之和等于。

②减法法则：减去一个数，等于加上这个数的O

③乘法法则：两数相乘，同号得异号得并把绝对值相乘；0乘任何数都得0。

④除法法则：两数相除，同号得异号得并把绝对值相除(除数不为0);除以一个数等于

乘这个数的O

⑤实数的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方，其运算顺序为：先算再算最后算—

o有括号时，先算________里面的，同一级运算按照从到的顺序依次进行。

(2)有理数的运算律在实数范围内也适用，常用的运算律有_____________________

【考点例析】

考点一相反数、绝对值、倒数的概念理解

例1.-2的倒数是()

1_1

A.2B.2C.2.D.-1

例2.-3的绝对值为()

A.-3B.3C.3D.3

【变式跟进】

填空题：

(1)相反数等于它本身的数是_____.(0)

(2)倒数等于它本身的数是______.(±1)

(3)平方等于它本身的数是_______.(0或1)

(4)平方根等于它本身的数是—.(0)

(5)绝对值等于它本身的数是_________.(0或正数)

(6)立方等于它本身的数是________.(±1或0)

(7)立方根等于它本身的数是_________(±1或0)

【点悟】

(1)求一个数的相反数，直接在这个数的前面加上负号，有时需要化简得出；

(2)一个负数的绝对值等于它的相反数.反过来，一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非正数；

(3)解绝对值和数轴有关问题时常用到字母表示数的思想，分类讨论思想和数形结合思想.

【跟踪练习】

L下列各组数中，互为相反数的是（）

_1

A-2与2B.2与2c.3与与D.3与|-3|

2.下列各数中，绝对值最大的数是（）

A.-3B.-2C.0D.1

3.3的值是（）

A.3B.-3C.|D.

考点二实数的概念与分类的判断

例1.在数0,2,-3,-1.2中，属于负整数的是（）

A.0B.2C.-3D.-1.2

【解析】在数0,2,-3,-1.2中，属于负数的有-3,-1.2,则属于负整数的是-3;故选C.

22

例：下列各数：我，

7,n,cos600,0,73,其中无理数的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【跟踪练习】

L下列实数是无理数的是（)

A.-1B.0C.nD.3

2,下列四个实数中，是无理数的为（)

3

A.0B.-3C.瓜D.H

考点三实数的运算

例1(%-1)°+|2-闽-，)+我

例2定义一种新运算:a0b=b2-ab,如：102=22-lx2=2,则(-102)03=

例3规定用符号［x］表示一个实数的整数部分，例如［3.69］=3.［6］句，按此规定，［内一口

【跟踪练习】

1、V16+(-2)(V3-5)0-V3cos30

2、|-3|-V8-(2)°+4sin45°.

3、25是两个连续整数，若2<不<1?,则2,1)分别是()

A、2,3B、3,2C、3,4D、6,8

4、已知：m、n为两个连续的整数，且m<VT1<n,则m+n=.

5、定义：尸(a,8)=(A,a),g(m,n)=(-m,-〃).例如尸(2,3)=(3,2),g(-1,-4)

=(1,4).则犷(-5,6)］等于()

A.(-6,5)B.(-5,-6)C.(6,-5)D.(-5,6)

考点四科学记数法及近似数

例题今年参加某市九年级毕业会考的学生约有13万人，将13万用科学记数法表示应为()

A.1.3x105B.13x104

C.0.13x105D.0.13x106

【解析】将13万用科学记数法表示为1.3x105.故选A.

例题PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为

(D)

A.0.25X10TB.0.25X10-6

C.2.5X10-5D.2.5X1。-'

【点悟】科学记数法的表示形式为aX10”的形式，其中lW|a|<10,〃为整数.确定〃的值的方法：

(1)当原数大于或等于1时，〃等于原数的整数位数减1；

(2)当原数小于1时，〃是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数(含小数点前的0).

例1在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米.数字19400000000用科学记数法表示正确的是

()

99

A1.94x10'°B.0.194x10,°c19.4xl0D1.94xl0

【跟踪练习】

1、古生物学家发现350000000年前，地球上每年大约是400天，用科学记数法表示350000000=

2、若一粒米的质量约是0.000012kg,将数据0,000012用科学记数法表示为（）

A.12X10-4B.1.2xl（y6C.1.2X10-5D.1.2xl0-4

考点五数的平方根及立方根

例1一个数的算术平方根是2,则这个数是

例2使五个有意义的x的取值范围是

【跟踪练习】

1、我+（&-1）°=.

2、计算/2々=（_3）=R.

J九+1

3、代数式有意义，则x的取值范围是（）

考点六比较实数的大小

例题-2,0,1,-3四个数中，最小的数是（）

A.-2B.0C.1D.-3

【解析】根据有理数的大小比较法则（正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数，两个负数比较大小,

其绝对值大的反而小）.比较-2、0、1、-3四个数，最小的数是-3;故选D.

【点悟】两个实数大小的比较方法有：⑴正数大于零，负数小于零；（2）利用数轴；⑶差值比较法；（4）商值

比较法；（5）倒数法；（6）取特殊值法，（7）计算器比较法等.

11

例在-2，0,-2,3,1这五个数中，最小的数为（）

,11

A.0B.2C.-2D3.

【跟踪练习】

1、在所给的3,0,-1,3这四个数中，最小的数是（）

A.3B.0C.-1D.3

2、下列式子中成立的是（）

A.-|-5|>4B.-3<|-3|C.-|-4|=4D.|-5.5|<5

娓一、1

3、比较大小：2工（填'.

考点七实数中的非负数及性质（拓展考点）

例已知实数x、y满足g+|y+4=°,则x+y的值为【】

A.-2B.2C.4Di

考点八实数的创新应用

例题将连续的正整数按以下规律排列，则位于第七行，第七列的数*是85

第一列第二列第三列第四列第五列第六列第七列

第一行

第二行259142027

第三行48131926•••

第四行7121825

第^^亍111724…

第六行1623...

第七行22.................................................................

例题小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1-2(1)中棋子围成三角形，其颗数3,6,9,12,…称为

三角形数，类似地，图1-2(2)中的4,8,12,16，…称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数

的是()

••

••♦♦♦

3694812

(1)⑵

图1-2

A.2010B.2012C.2014D.2016

【解析】观察发现，V3,6,9,12,称为三角形数，三角形数都是3的倍数,V4,8,12,16,称

为正方形数，正方形数都是4的倍数，所以既是三角形数又是正方形数的一定是12的倍数.2010+12=

167...6,2012-?12=167...8,2014^-12=167...10,2016+12=168,.2016既是三角形数又是正

方形数.

011245513213455

/Z

/Z

✓✓

✓/

1/

11

A✓

12/z

✓/z✓

✓/

1方31zz

Z✓✓

✓/

r4641zz

1C1010/51

z

16D✓z2t)1561

2r3535

17/2171

1✓285670562881

Z/

r93684…♦♦・•♦・

例题观察数表：11045

根据表中数的排列规律，则B+D=_23

【解析】仔细观察每一条虚线或与虚线平行的直线上的数字从左至右相加等于最后一个数字，据此规律求得

B、。相加即可,/.I+4+3=8=8,1+7+0+10+1=34,.8=8,£>=15,：.8+£>=8+15=23.

【点悟】此类规律探索性问题的特点是给定一列数或等式或图形，要求适当地进行计算，必要的观察，猜想，

归纳，验证，利用从特殊到一般的数学思想，分析特点，探索规律.

【跟踪练习】

1、已知X、y为实数，且y=J2

-9.49-+4,则x-y=

1.已知a>b且a+b=0,贝!I)

A.a<0B.b>0C.b<0D.a>0

2.2014的相反数是（）

11

A.2014B.-2014C.2014D.-2014

3.4的算术平方根是（）

A.16B.2C.-2D.±2

4.计算（-3）2等于（)

A.-9B.-6C.6D.9

5.在求1+62+63+6465+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6

倍，于是她设：

S=l+62+63+64+65+66+67+68+690

然后在①式的两边都乘以6,得