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文档简介
第八章第4节《空间点、直线、平面之间的位置关系》解答题(28)
1.如图,正方体ABC。-&B1C15中,E,尸分别是A2,441的中点.求证:
E,C,Di,尸四点共面;
2.已知曲线y=x3+x-2在点益处的切线。与直线4x-y-l=0平行,且点在第三象限.
(1)求P。的坐标;
(2)若直线且/也过切点P。,求直线/的方程.
3.如图,已知三棱柱ABC-&B1G的所有棱长都相等,侧棱441,底面
ABC,E,尸分别是A/1,4G的中点.
(I)求证:8/14(71:
(II)求平面EFCB与底面A8C所成二面角的正切值.
4.如图,在空间中的直角三角形ABC与直角梯形EFGZ)中,平面ABC〃平面。EFG,4。L平面
DEFG,ABUDE,AC//DG.5.AB=AD=DE=DG=2,AC=EF=1.
(I)求证:四点3、C、F、G共面;
(II)求平面AOGC与平面BCG尸所组成的二面角余弦值.
5.图1是由矩形AOEB,RtAABC和菱形8FGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,
Z.FBC=60°,将其沿4B,8c折起使得BE与8尸重合,连结OG,如图2.
(1)证明:图2中的A,C,G,。四点共面,且平面ABC1平面BCGE;
(2)求图2中的四边形ACGO的面积.
6.如图,三棱柱ABC—4B1G中,点儿在平面A8C内的射影。为AC的中点,^ACB=90°,BC=
1,AC=CCi=2.
(I)证明:4cli&B;
(n)求二面角公一-c的余弦值.
7.已知三棱台48C—AIBIG中,平面44道1(?平面41181c1,4411%口,且人必与必0不垂直,
若/必前。=60。,AC=CQ=1,BiQ=2.
(I)求证:BiG1AC;
(U)求A/与平面BiQCB所成角的正弦值.
8.如图,在多面体ABCOE尸中,平面力DEF_L平面ZBCD,四边形4OEF为正方形,四边形4BCD
为梯形,旦AD〃BC,△4BD是边长为1的等边三角形,例为线段8。中点,BC=3.
(1)求证:AF1BD-,
(2)求点M与平面CDE的距离
9.如图,在直三棱柱ABC—A/iG中,£>为线段A8上一点,484c=90。,AB=2AAr=2AC.
(/)求证:AXC1^D;
(n)若直线GD与平面BB1GC所成角的正弦值为迤,求二面角4一品6-。的余弦值.
85
10.如图,在四棱锥P—4BC0中,底面ABCQ为矩形,平面PADL平面ABC。,PA1PD,PA=PD,
E,F分别是AO,PB的中点.
求证:(1)PEJ.CD;
(2)EF〃平面PCD;
(3)平面P4BJL平面PCD.
11.如图,在三棱锥A-BCC中,侧面△48。是边长为2的等边三角形,AC=2CD=2,平面4BD_L
平面BCD,把平面ACO沿8旋转至平面PCO的位置,记点A旋转后对应的点为P(不在平面
8co内),M,N分别是BQ,CO的中点.
(1)证明:CD1MN.
(2)求三棱锥C-4PD的体积的最大值.
12.一副标准的三角板(如图1)中,N4BC为直角,乙4=60。,NDEF为直角,DE=EF,BC=DF,
把BC与。尸重合,拼成一个三棱锥(如图2).设M是AC的中点,N是BC的中点.
D
B
(1)求证:平面ABC1平面EMM
(2)设平面力BED平面MNE=2,求证:I//AB.
(3)若AC=4,且二面角E—BC—4为直二面角,求直线与平面ABE所成角的正弦值.
13.如图,在四棱锥P-4BCD中,底面A8CD为平行四边形,AB=3,AC=4,AD=5,PAL平面
ABCD.
(1)求证:PB1AC;
(2)若,求点A到平面PCD的距离.在①R4=2;②二面角P-CD-4的大小为60。;
©VP-ABCD=12>这三个条件中,任选一个,补充在问题中,并加以解答•
14.如图,在四棱柱4BCD—41/的。1中,44]L平面A8CD,底面A8CD是矩形=1,BC=鱼,
CCX=2,。为棱CCi的中点.
(1)求直线QQ与平面BC1&所成角的正弦值;
(2)求二面角Q-BDLG的余弦值.
15.在四棱锥P-ABCD中,底面A8C。为直角梯形,CC〃4B,NABC=90°,AB=2BC=2CD=4,
侧面P4C,平面ABCD,PA=PD=2.
PK
(1)求证:BD1PA;
(2)已知平面PA。与平面PBC的交线为/,在/上是否存在点N,使二面角P-DC-N的余弦值
的绝对值为“若存在,请确定点N位置;若不存在,请说明理由.
16.在四棱柱4BCD-&B1C也中,侧棱1JS®ABCD,AB//DC,AAr=1,AB=3k,AD=4k,
BC=5k,DC=6k(k>0).
(1)求证:CDJL平面4。。出.
(2)若直线44i与平面力B]C所成角的正弦值为求4的值.
17.如图,在四棱锥P-ABCD<^,PA_L平面ABCD,AC1AD,AB1BC,4BAC=45°,PA=AD=2,
AC=1.
p
(1)证明:PC_L4D;
(2)求二面角4-PC-。的余弦值.
18.如图,已知正方体ABCD的棱长为6,E,F分别是棱BC,CG上的点,且CE=CF=2.
(1)证明:A、E、尸、劣点共面;
(2)求几何体CEF-的体积V.
「
19.如图,在长方体ABC。一&816。1中,在分别在棱。。1,8当上,且2DE=EDBF=2FB1,
证明:
c
B
(1)当4B=BC时,EF±AC;
(2)点G在平面AEF内.
20.在如图的多面体中,EF_L平面AEB,AELEB,AD//EF,EF//BC,BC=2AD=4,EF=3,
AE=BE=2,G是BC的中点.
(1)求证:BD1EG;
(2)求二面角C-DF-E的余弦值.
【答案与解析】
1.答案:证明:连接EF,A.B,D.C,
■E,F分别是AB,4公的中点,
EF//ArB,AiB〃D[C,
:.EF〃D\C,
.•.由两条平行线确定一个平面,得到E,C,Di,尸四点共面.
解析:略
2.答案:解(1)由y=/+%-2,
得V=3/+i,
由已知得3/+1=4,
解得x=±1,
当%—1时,y=0,
当*=—1,时,y=-4,
又•••点P。在第三象限,
・•・切点P。的坐标为(T,-4).
(2);直线/,小匕的斜率为4,
•・•直线/的斜率为-:,
4
•••,过切点Po,点Po的坐标为(一1,一4),
•••直线/的方程为y+4=-:(x+l),
即x+4y+17=0.
解析:本题主要考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,掌握两直线垂直时斜率的关
系,会根据一点和斜率写出直线的方程,属于中档题.
(1)根据曲线方程求出导函数,因为已知直线4x-y-1=0的斜率为4,根据切线与已知直线平行得
到斜率相等都为4,所以令导函数等于4得到关于x的方程,求出方程的解,即为切点P。的横坐标,
代入曲线方程即可求出切点的纵坐标,又因为切点在第3象限,进而写出满足题意的切点的坐标.
(2)由直线,i的斜率为4,根据两直线垂直时斜率的乘积为-1,得到直线/的斜率为一;,又根据⑴中
求得的切点坐标,写出直线/的方程即可.
3.答案:(I)证明:••♦441底面ABC,.•.4411平面4$iG,A
・••当尸£=平面4道住1,.・.8/1441,
又••,/AiBiG为正三角形,尸为4cl中点,B1FJ.aG,&GC441=4,I\M
B]F_1_面4”出.♦;4Gu面4CC14.
当尸_L」G;
(n)解:设所有棱长都为2,取EF中点P,BC中点K,连PK,AK,PA.
易知PK1BC,AK1BC,
则4PKA为平面EFCB的与底面ABC所成二面角的平面角,
在4PK4中,取AK中点0,连尸0,有POJ^ABC,则P。14K.
且P0=2,0K=在,tan/PKA=族=亘=丁.
2T
平面EFC8与底面A8C所成二面角的正切值:逋.
3
解析:(1)证明名尸144,B1F14C1,即可证明面4CC14.
(11)取£/中点P,8C中点K,连PK,AK,P4说明NPK4为平面EFCB的与底面A8C所成二面角
的平面角,
在4PK4中,取AK中点0,连尸0,有P。!面ABC,则P。工4K.通过求解三角形推出结果.
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用,二面角的平面角的求法,考查空间想象能力,逻辑推
理能力以及计算能力.
4.答案:(1)证明:设。G的中点为M,连接AM、FM,
则由已知条件易证四边形。EFM是平行四边形,所以M尸〃DE,且MF=DE
XvAB//DE,5.AB=DE:.MF//AB,B.MF=AB
二四边形ABM尸是平行四边形,即BF〃AM,且BF=AM
又•••M为OG的中点,DG=2,AC=1,面4BC〃面DEFG
.-.AC//MG,且AC=MG,即四边形ACGM是平行四边形
GC//AM,且GC=4M
故GC"BF,S.GC=BF,
即四点B、C、F、G共面;
(2)解:•••四边形EFG。是直角梯形,ADlffiiOEFG,且。Gu平面。EFG,
DEIDG,DE1AD,
而4DnDG=D,且A。,DGc®ADGC,
即DEIffiADGC,
vMF11DE,且MF=DE,•••MF1面ADGC,
在平面AOGC中,过M作MN1GC,垂足为N,连接NF,
显然NMNF是所求二面角的平面角.
•••在四边形AOGC中,AD].AC,AD1DG,AC=DM=MG=1
GC2+GD2-CD25+4-5_y/5
CD=CG=Vs,:,cosZ.DGC=
2xGCx2xV5x2-5
sinzDGC=--MN=MG-sinzDGC=—
55
在直角三角形"NF中,MF=2,MN=卓
"tan/MNF=需=矗=遍,乙MNF=在
故而ADGC与面8CG尸所组成的二面角余弦值为更.
6
解析:本题考查共面问题的证明,考查二面角的求法,考查空间想象能力、推理能力、运算能力,
是中档题.
(1)设OG的中点为M,连结AM,FM,则是平行四边形,从而MF〃DE,且MF=DE,进
而4B〃DE,推导出四边形是平行四边形,从而BF〃AM,又易证四边形ACGM是平行四边
形,由此能证明GC〃BF,即可证明四点8、C、F、G共面;
(2)由四边形EFGD是直角梯形,4。1面DEFG,可证MF_1_面ADGC,在平面ADGC中,过M作MN1
GC,垂足为N,连接NE则NMN尸是所求二面角的平面角,求cos/MNF即可得到平面AOGC与平
面BCGF所组成的二面角余弦值.
5.答案:(1)证明:由已知可得40〃BE,CG/1BE,即有工O〃CG,
则AO,CG确定一个平面,从而A,C,G,。四点共面;
由四边形ABED为矩形,可得4BJ.BE,
由A/IBC为直角三角形,可得AB1BC,
又BCCBE=B,BCu平面BCGE,BEu平面BCGE,
可得481平面BCGE,
ABu平面ABC,可得平面4BCJL平面BCGE-
(2)解:连接8G,AG,
由4B_L平面BCGE,BGu平面BCGE,可得AB1BG,
在ABCG中,BC=CG=2,Z.BCG=120°,可得BG=2BCsin60°=2汽,
可得4G=>JAB2+BG2=V13.
在△力CG中,AC=V5,CG=2,AG=V13.
可得cos乙ICG=爰亲=-京,即有sin-CG=专,
由(1)可得:4O〃CG且4。=CG=2,
所以四边形ACG。为平行四边形,
则平行四边形ACGD的面积为2xbx京=4.
解析:本题考查空间线线、线面和面面的位置关系,考查平行和垂直的判断和性质,注意运用平面
几何的性质,考查推理能力,属于中档题.
(1)运用空间线线平行的公理和确定平面的条件,以及线面垂直的判断和面面垂直的判定定理,即可
得证;
(2)连接8G,AG,由线面垂直的性质和三角形的余弦定理和勾股定理,结合三角形的面积公式,可
得所求值.
6.答案:(I)证明:以C为坐标原点,以C4CB为x轴和y轴,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,
由题设知公。与z轴平行,有4(2,0,0),8(0,1,0),C(0,0,0),
因为点4在平面ABC内的射影。为AC的中点,
所以4D14C,
-->2——QQ
AArD+4。=441,
•••|A1D|=V3'
.♦.&(l,0,回
.-.AB=(-2,1,0)-AC=(-2,0,0)(丽=(一1,0,百),丽=前+丽=(-3,0,百),
又•••砧=(-1,1,-V3).二近.布=(-3)x(-l)+0xl+V3x(-V3)=0,
4cl1ArB;
(II)设平面的法向量泾=(p,q,r),
则77_L不窥,即记•丽*=0,n-AB=0,
・•・—p+V3r=0且—2p+q=0,
令p=V3,
则q=2Mr=1,
/.n=(V3,2V3,1),
又沆=(0,0,1)为平面ABC的法向量,
故cos<n,m>=言篙=p
|n||7n|4
所以,二面角的余弦值为
解析:本题考查简单多面体及其结构特征,异面垂直的判定与性质,考查利用空间向量求二面角的
平面角的余弦值,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
(I)以C为坐标原点,以C4cB为x轴和y轴,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,得到A,B,
C的坐标,根据点&在平面ABC内的射影。为AC的中点,可得41DJ.4C,进而求出&的坐标,再
根据花*•砧=0,即可得证4Gli4B;
(II)求出平面的法向量元=(b记=(0,0,1)为平面A8C的法向量,根据cos〈君记》
=禹,即可得解二面角4一AB-C的余弦值.
7.答案:(I)过点A作力D141G于点D.
••・平面4&GC1平面为B1G,
平面44传停n平面48也1=A^Cr,ADC平面A.ACC,
ADJ•平面为B1C1,
BiCiC平面4BiG,
•••AD1B]Ci,
vB1C11AAltADnAAX=A,.ADA%U平面AAiG。,
•••B©L平面4AleiC,
■■ACu平面A41clC,
ABG1AC;
(口)延长。的,过点A作AMlCCi交CCi于点M,连&M,
由(1)可知:BiG1平面441GC,
VAMu平面a&CiC,
・•・B1C11AM,
又81ClACC1=Ci,B&,CC1u平面B1GCB,
・•・AMJ"平面BIGCB,
・••乙481M为所求角,
解得AM=y,ABX=V7,
.八AMy[21
:•sin6=—=—.
ABr14
解析:本题考查的知识点是直线与平面所成的角,直线与直线垂直的判定,考查学生分析解决问题
的能力,属于中档题.
(1)过点4作4。,&6于点£>,由题意可证BiG_L平面4&GC,得证;
(n)延长CC1,过点A作AM_LCQ交CQ于点M,连&M,可得NA&M为所求角,从而可求AB]与平
面BiGCB所成角的正弦值.
8.答案:解:(1)证明:因为AOEF为正方形,
所以4F140.
又因为平面/CEF平面ABCD,
且平面4DEFn平面4BCD=AD,
所以4F1平面A8CD.
所以4F1BD:
(2)连接ME,MC,设点M到平面C£>E的距离为力,
根据题意DE,平面ABC。,即。E为三棱锥E-MOC的高,四边形ABCQ为梯形且AD〃BC,可知
乙DBC=60°,
又SMDC=^SBDC=1X^BC-BDsin&DBC=言,
所以/_MDC=,SMDCDE—
在^BDC中,依余弦定理可求CD=y/BC2+BD2-2BCBDcos60°=中.
c_V7TZ_1c,_V7,
CDE-2,M-CDE—3CDE—6,
又%-MDC=^M-CDEf即?h=
所以九=剋生.
28
解析:(1)只需证明4F1平面4BCD,即可证明4F1BD;
(2)连接ME,MC,设点M到平面CCE的距离为〃,根据题意DE,平面ABCQ,即OE为三棱锥EMDC
的高,四边形ABC。为梯形且4D〃BC,可知4。8c=60°由/_MDC=尢-CDE,即可求解.
本题考查了空间线线垂直、等体积法求距离,属于中档题.
9.答案:(1)连接AQ,如图所示:
因为A4iJ■平面ABC,AC,ABu平面ABC,所以力Ai±4C,
又因为44i=AC,所以四边形441GC为正方形,
所以A4i1&C,
因为NB4C=90。,所以ABd.AC,
因为44i,ACu平面ZAiGC,且44if14C=4,
所以AB1平面441GC,
因为4Cu平面44iGC,所以4B1&C,
又因为4G,48u平面48Gl,且力CiDAB=4
所以4GL平面ABC1,又GDu平面4BCi,
所以41c1GD
(2)以公为坐标原点,分别取4遇,必当,&G作为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标
系.
设4B=244]=24C=4,则4(2,0,0),8(2,4,0),当(0,4,0),C(2,0,2),6(0,0,2),
设。(2,加,0)(0<m<4),则M=(2,m,-2),BC=(0,-4,0),雨=(2,0,0),
设济=(Xi,yi,zj是平面BBiQC的一个法向量,
则由名三=0得胪;2为=0
(西・当8=0(2%1-0
取力=1,得宙=(0,1,2),
所以cos<n^,CD>=二,
11时恒。|V5-Vm2+8
根据直线方向向量和法向量所成角与直线和平面所成角的关系得
m-4_>/85
V5-Vm24-885'
注意到04m44,解得m=?■(舍去),或m=3.
所以。(2,3,0),B^D=(2,-1,0),B^C[=(0,-4,2).
设芯=(>2,y2,Z2)为平面CB1G的一个法向量,
国•电=0产272=。
川后•砥=0飞-4y2+2Z2=0'
令丫2=2,得的=(1,2,4),
又因为44iJ■平面AEiG,
所以初=(2,0,0)为平面AiBiG的一个法向量,
所以cos<底,硒:>=焉急=£=膏,
所以二面角&-BiG-。的余弦值为詈.
解析:本题考查了空间直线和平面的位置关系、二面角、直线与平面所成角、空间向量的应用,考
查了推理能力与计算能力,属于中档题.
(1)由直三棱柱力BC—AiBC,可得:1平面ABC,结合题设条件可先证4B1平面进
而得证4G平面力BC1,利用G。u平面ABC1,可证得:&C1C1。;
(2)以乙为坐标原点,分别取4通,&Bi,a的作为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标
系,利用数量积运算性质、向量夹角公式可得:平面B/C1C的一个法向量瓦>=(0,1,2),结合题设条
件得到。(2,3,0),进一步得到平面的一个法向量雨=(1,2,4),注意到瓯=(2,0,0)是平面
4B1G的一个法向量,于是可求二面角4-BiG-D的余弦值.
10.答案:证明:(1):PA=PD,E是AO的中
-.PELAD,\'
•••平面PAD1平面ABCZ),平面PADn平面/!
ABCD=AD,/〃
PEu平面PAD,4B
:.PE1平面ABCD,
vCDu平面ABCD,:.PE1CD.
(2)取BC中点G,连结EG,FG,
•:E,F分别是A。,PB的中点,
FG//PC,EF//DC,
•:FGCEG=G,FGu平面EFG,EGu平面EFG,
••・平面EFG〃平面PCD,
•••EFu平面EFG,..EF〃平面PCD.
(3)•••底面ABCD为矩形,CDLAD,
由(1)得CD1PE,又4。CPE=E,AD,PEu平面PAD,
CD,平面PAD,
•:APu平面PAD,:.CD1AP,
vPA1PD,PDHCD=D,PD,CDu平面PCD,
APAL平面PCD,
vPAu平面PA8,.•.平面P4B1平面PCD.
解析:(1)推导出PE14。,从而PE_L平面ABC。,由此能证明PEIC。.
(2)取8c中点G,连结EG,FG,推导出FG〃PC,EF//DC,从而平面EFG〃平面尸8,由此能证
明EF〃平面PCD.
(3)推导出CD1AD,从而CD1平面PAD,进而P41平面PCD,由此能证明平面24BJ■平面PCD.
本题考查线线垂直、线面平行、面面垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基
础知识,考查运算求解能力,是中档题.
11.答案:解:(1)证明:如图,连接AM,MC,
因为4B=4D,M是BO的中点,
所以4M1BD,
又平面ABD1平面BCD,平面4BDCl平面BCD=BD,
所以4M_L平面BCD,
所以4M_LMC,
因为△ABD为边长为2的正三角形,所以AM=B,
又AC=2,所以由勾股定理可得MC=1,
又MC=MD=MB=1,
所以ABC。为直角三角形,且BC1CD,
又M,N分别是BQ,S的中点,
所以MN〃BC,
所以MN1CD.
(2)如图,连接AN,PN,
因为三棱锥C-4PD与三棱锥P-4CD为同一个三棱锥,且44CC的面积为定值,
所以当三棱锥P-4CD的体积最大时,必有PN1平面ACD,
此时点P到平面ACD的距离为PN=4N=百,
2
在△4CD中,因为4C=AD=2,CD=1,
所以山8岩x1xAN=5x1x亨=卓,
所以“YCD的最大值为xp/v=|x^x^=|)
o5Zo
所以三棱锥C-4PD的体积的最大值为今
O
解析:本题考查了面面垂直的性质,线面垂直的判定与性质,三棱锥体积的求法,属于中档题.
⑴连接AM,MC,易证AM1MC,再根据勾股定理的逆定理可得^BCD为直角三角形,且BC1CD,
由中位线的性质可得MN〃BC,从而证得结论;
(2)连接AN,PN,由题意可得当三棱锥P-4CD的体积最大时,必有PN_L平面ACC,求出P到平面
ACO的距离,进而求出S-co,从而求出三棱锥C-4P。的体积的最大值.
12.答案:(1)证明:设BC的中点为N,连结MN,EN,
因为历是AC的中点,N是8C的中点,
所以
因为481BC,
所以MN1BC,
因为BE,EC,BE=EC,N是BC的中点,
所以EN1BC,
又MNIBC,MNCEN=N,MNu平面EMMENu平面EMM
所以BC1平面EMN,
又因为BCu平面ABC,
所以平面ABC1平面EMN.
(2)证明:由(1)知且EC平面ABE,且EC平面MNE,
又平面ABEn平面MNE=l,所以E6Z,
又因为MN〃AB,所以/〃AB.
(3)解:由(1)知ENJ.BC,MN1BC,所以NENM为二面角E-BC-4的平面角,
又二面角E-BC-4为直二面角,所以4ENM=90。,
则以NM、NC、NE分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系N-xyz,如图所示:
因为AC=4,则4B=2,BC=,NE=娼,
所以A(2.-、8.()),B(0,-V3,0),C((),\&.0),E(0,0,v旬,
M(1,O,0),则前=(1,0,一《),BE(0.vz3.BA=(2,0,0),
可设平面ABE的一个法向量为正=(x,y,z),
则[沅•丝=0,即[何+Bz=0,令y=i,则z=-l,则而=(0,1,-1),
设直线EM与平面ABE所成角为仇(0404刍,
则sin。=|cos(m,EM)\=|高繇I=磊=泽
所以直线EM与平面ABE所成角的正弦值为在.
4
解析:本题考查面面垂直的判定,考查利用空间向量求线面角,涉及二面角,属于中档题.
(1)由题意得到MN1BC,ENLBC,再利用线面垂直的判定与面面垂直得判定即可证明;
(2)由(1)知MN〃AB,再证明MN〃AB,利用平行线的传递性证得/〃AB;
⑶由题意得到NENM=90°,以NM,NC,NE分别为x,y,z轴,如图建立空间直角坐标系N-xyz,
利用向量法能够求出直线EM与平面ABE所成角的正弦值.
13.答案:解:⑴证明:•••底面A8C。为平行四边形,.•.BC=4D=5,
•.•在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,
为直角三角形,AB^.AC,
又P4_L平面ABCD,ACu平面ABCD,
PA1AC,
PAC\AB=A,PA,ABu平面PA8
AC1平面PAB,
■:PBu平面PAB,
PB1AC;
(2)由(1)可得CC14C,rPAl平面A8CD,PA1CD,
vPAC\AC=A,PA,ACu平面PAC
•••CD_L平面PAC,■■■PCu平面PAC,CD1PC,
①选条件PA=2,.-.PC=y/PA2+AC2=<4+16=2遥,
设点A到平面PCD的距离为h,则由/-.co=匕-PCD可得,
|x|x4x3x2=1xix2V5x3h,解得/i=
即点A到平面PCD的距离为延.
5
②选条件二面角P-CD-4的大小为60。,LCD,AC1CD,
NPC4为二面角P-CD-4的平面角,;.NPC4=60",
PA=AC-tan600=48,PC=\/PA2+AC2=V48+16=8,
设点A到平面PCD的距离为h,则由=5-PCD可得,
1x|x4x3x4V3=ixix8x3/i,解得:h.=2A/3>
.•.点A到平面PCD的距离为2次.
选条件5-ABCD=12,则%-4CD=]SA4CDy-PA=-x-x3x4:xPA=6,PA=3,
:.PC=7PAi+4P2=19+16=5,
设点A到平面PCD的距离为h,:.VA_PCD=:xS*,Dx/t=;x;x3x5/i=6,
解得力=蔗,.•.点4到平面PC。的距离为差
解析:本题考查空间中线线垂直的证明,空间中点到面的距离,属于中档题,
(1)通过证明AC垂直PB所在的平面证明PB1AC;
(2)利用等体积法求出点A到平面PCD的距离.
14.答案:解:由题意知,四棱柱4BCD-481C1D1是直四棱柱,以。为坐标原点,DA,DC,西的
方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则"(々,0,0),B(72,1,0).Q(0,l,2),Di(0,0,2),Q(0,L1),
所以布=(0,1,—1),=(-V2,0,2),=(0,1,0).
西=(-鱼,-1,2),BQ=(-72,0,1).
(1)设平面BCiA的法向量为而=(a,b,c),
所以(a记=。,艮-V2a+2c=0,
IDiG•沅=0,(b=0,
令a=V2.则沆=(71,0,1)为平面BCiA的一个法向量,
故5砌=嬲哼
所以直线DiQ与平面BCWi所成角的正弦值为渔.
6
(2)设平面QB。1的法向量为元=(x,y,z),
则C元,巧=°,即1-V2x-y+2z=0,
令x=1,则诂=(1,鱼,近)为平面QB。1的一个法向量.
\mn\2五2-730
故COS保,力
I河同V3xV515
由图象可知,二面角Q——Ci为锐二面角,
所以二面角Q-BDi—G的余弦值为等.
解析:
【试题解析】
本题考查空间中的线面位置关系以及空间向量,考查考生的逻辑思维能力、空间想象能力和运算求
解能力.
15.答案:解:(1)连接BD=y/CD2+CB2=2>/2>AD=2五,
所以+人。2=AB2,所以4D1B。,
因为平面24。1平面ABCD,平面PADn平面ABC。=AD,BDu平面ABCD,
所以BD1平面PAD,
因为PAu平面PAD,
所以BD1PA;
(2)延长AZ),8C相交于点M,连接尸M,
因为M€平面PAD,Me平面PBC,所以M6I,
又pel,所以PM即为交线/,
取A8中点。,连OQ,则DQJ.DC,
过D在平面PAD内作AD的垂线DH,则DHJ_平面ABCD,
以。Q,DC,。”所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系:
则P(l,-1,&),C(0,2,0),M(—2,2,0),D(0,0,0),
所以加=(1,T,或),DC=(0,2,0),
设平面尸。C的法向量为沆=O,y,z),
则沆•虎=0.m-DP=0,
所以(、V=0万八,取沅=(一近,0,1),
lx+V2z=0
设N(Xi,y],Zi),而=2两,
则(%]-1,%+1,Z]—V2)=A(—3,3,—V2)>
所以X]=1—34,%=-1+3A,Z]=V2—人,
丽=(1-3A,-1+3A.V2-V2A),
~DC=(0,-2,0),
设平面NQC的法向量为运=(%2疗2*2),则元•沅=0,n-'DN=0,
百以产=0
“以1(1-3R工2+(V2-V22)Z2=0'
取元=(近一或九0,3A-1),
1(-物旗1)+3)-1|
所以|cos(沆,元)1=1
V3V2(1-A)2+(3A-1)2
所以8万一10;1+3=0,
所以4=3或;1=不经检验a=[时,不合题意,舍去.
所以存在MN为中点.
解析:本题考查空间中直线与直线的位置关系,考查线面垂直的判定,考查二面角,考查空间直角
坐标系,利用空间向量求线线、线面和面面的夹角,考查空间思维能力,考查分析与计算能力,综
合性较强,属于中档题.
(1)连接8。,利用线面垂直的判定定理证得801平面P4。,又P4u平面PA。,即BD1P4;
(2)延长A。,BC相交于点M,连接PM,以。。,DC,DH所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直
角坐标系,设而=4两,利用空间向量,计算得8"—102+3=0,解得4=%即存在N,N为
P例中点.
16.答案:解:(1)证明:取8的中点E,连接BE,
■■AB//DE,AB=DE=3k,
四边形ABED为平行四边形,
BE//ADS.BE=AD=4k.
在ABCE中,•••BE=4k,CE=3k,BC=5k,
BE2+CE2=BC2,
:./.BEC=90°,即8E_LC。,
又:BE11AD,
•••CD1AD.
vAAr_L平面ABCD,CDu平面ABCD
:■AA-Y1CD.
5LAA1C\AD=A,AAr,4。u平面4DD141,
CDJ_平面4。。出,
(2)解:以。为原点,方彳,DC,西的方向为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
B1(4k,3k,1),&(4/c,0,1),
所以前=(-M触,0),
福=(0",1),就=(0,0,1),
设平面481c的法向量五=(x,y,z),
.(-4kx4-6ky=0,一
叫n弘y+zJ,取…
得记=(3,2,-6k)(k>0),
设441与平面AB】。所成角为仇
贝/讥9=|cos<AA;,n>\=不急后=I-
解得k=l,
故k的值为L
解析:本题考查棱柱的结构特征,考查线面垂直,考查空间想象能力,逻辑思维能力,属于中档题.
(1)取C£>的中点E,连接BE,证明BE1CD,可得CD1AD,利用441J■平面ABCD,可得1CD,
即可证明CD1平面ADD14,进而可以证明面面垂直;
(2)以。为原点,DA,DC,西的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,求出平面2B1C的
法向量,利用直线A4与平面4B1C所成角的正弦值为右建立方程,即可求”的值.
17.答案:证明:(1)•••PAI5]2®ABCD,DAcT®ABCD
DA1PA,
ACLAD,PAHAC=A,PA,ACu平面PAC,
DA1平面PAC,
又PCu平面PAC,:.PC1AD.
(2)解:过4作4Mlpc交PC于M,连接。M,
因为4M1PC,DA1PC,AMCtDA=A,AM.DAu平面AMD,PCJ_平面AMD,DMu平面AMD,
DM1PC,
则乙4MC为所求二面角的平面角,
22
在RtAPAC中,AM=7==^,
在RM04M中,DM=等,
在RtUMD中,sinN4MD=Q=圾
DM6
所以COSZTIMO=J1-
二二面角4-PC-。的余弦值为四.
6
解析:本题主要考查异面直线垂直的证明,考查二面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真
审题,注意空间思维能力的培养.
(1)推导出ZM_LPA,AC1AD,从而DA1面PAC,由此能证明PC_LAD.
(2)过A作4Mlpc交PC于M,连接则/AMD为所求角,由此能求出二面角4一PC-D的
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