高中数学导数组卷 (一)

2015年01月09日986554261的高中数学组卷

2015年01月09日986554261的高中数学组卷

解答题(共23小题)

1.(2014♦天津三模)已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-21nx,g(x)=xe'x.(aGR,e为自然对数的底数)

(I)当a=l时，求f(x)的单调区间；

(II)若函数f(x)在(0,-1)上无零点，求a的最小值；

(III)若对任意给定的x()e(0,e］,在(0,e］上总存在两个不同的4(i=l,2),使得f⑶)=g(x0)成立，求a

的取值范围.

2.(2014•湖南二模)已知函数f(x)=alnx-ax-3(aGR,a*0).

(I)求函数f(x)的单调区间；

(H)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为工，问：m在什么范围取值时，对于任意的te［l,

4

32z

2］,函数g(x)=x+x［^f(x)］在区间［t,3］上总存在极值？

(III)当a=2时，设函数h(x)=(p-2)x-2±2e-3.若在区间口，e］上至少存在一个沏，使得h(x0)>f

(xo)成立，试求实数p的取值范围.

3.(2014•聊城一模)已知函数f(x)=ln(x+a)-x?-x在x=0处取得极值.

(I)求实数a的值；

(ID若关于x的方程f(x)=-^x+b在区间［0,2］上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；

2

(山)证明：对任意的正整数n,不等式2+a+9+..+里>ln(n+1)都成立.

49n2

4.(2014•乌鲁木齐一模)已知函数f(x)=ex-ex(xR)

3

(I)求证：当x20时，f(x)>2x+—；

3

(II)试讨论函数H(x)=f(x)-ax(xGR)的零点个数.

5.(2014•巴中模拟)f(x)=lx-al-Inx(a>0).

(1)若a=l,求f(x)的单调区间及f(x)的最小值；

(2)若a>0,求f(x)的单调区间；

(3)试比较.吗？+生?(仁］)的大小."GN*且位2),并证明你的结论.

2232n22(n+1)

6.(2013•山东)设函数f(x)=-^-+c(e=2.71828…，c€R).

2x

e

(1)求f(x)的单调区间及最大值；

(2)讨论关于x的方程llnxl=f(x)根的个数.

7.(2013・湖北)设n是正整数，r为正有理数.

(I)求函数f(x)=(1+x)1+1-(r+1)x-1(x>-1)的最小值；

nr+1_(n-1)"I/r/(n+1)r+1r+1

(II)证明:^+1<n<

r+1

(III)设XWR,记因为不小于X的最小整数，例如⑵=2,[兀]=4,[--|]=-1.令

$=病+田说+娠+…+加元，求£]的值•

4444

(参考数据：80^344.7,81装350.5,12声618.3,126i~631.7)•

8.(2013•泗阳县模拟)已知函数f(x)=lnx-ax+二W-1(aeR).

X

(I)当*0El寸，讨论f(x)的单调性；

(II)设g(x)=x2-2bx+4.当时，

(i)若对任意x£(0,2),存在X2al,2],使f(xi)>g(x2),求实数b取值范围.

(ii)对于任意xi，X26(1,2]都有|f(x)-f(xn)I《入|-L求人的取值范围・

1

2XjX2

9.(2013•济南二模)设f(x)Inx,曲线y=f6)在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y+l=0垂直.

x+1

(1)求a的值；

(2)若VxW[l,+°°),f(x)<m(x-1)恒成立，求m的范围.

n-

(3)求证：ln%n+l<£—i---(n€N*)-

i=14i2-1

10.(2013•自贡一模)设函数f(x)=x-In(x+71+x2)1

(I)讨论函数f(x)的单调性；

(II)若x20时，恒有f(x)<ax3,试求实数a的取值范围；

(III)令a=工④6，g[弓)⑴飞(衣N*).试证明：a.+a+a+-+a<--

11yZ/V2i/unj

11.(2012•山东)已知函数f(x)=lRx+k(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线y=f(x)在点(1,

X

e

f(D)处的切线与x轴平行.

(I)求k的值；

(H)求f(x)的单调区间；

(III)设g(x)=xf'(x),其中f'(x)为f(x)的导函数.证明：对任意x>0,g(x)<l+e2.

12.(2012•邯郸一模)已知函数f(x)=aX-1.

X

e

(I)当a=l时，求f(x)的单调区间；

(II)若对任意任欧，2],f(t)>1恒成立，求实数a的取值范围.

13.(2012•温州二模)已知函数f(x)~x，e(a<0).

x-a

(I)当a=-4时，试判断函数f(x)在(-4,+8)上的单调性；

(II)若函数f(x)在x=t处取到极小值，

(i)求实数t的取值集合T：

(ii)问是否存在整数m,使得md_f4m+l对于任意ET恒成立.若存在，求出整数m的值；若不存在，

t+1

请说明理由.

axo2

14.(2012•钟祥市模拟)已知函数f(x)=--——--(a€R,&卉0,),g(x)=bx(b€R).

2,x149

x+—+—

aa

(1)当a>工时，求f(x)的单调区间；

4

(2)当a=l时，若在区间［2,+oo)上存在一点xo,使得f(xo)<g(x0)成立，求b的取值范围.

2

15.(2011•眉山二模)已知向量孟二(x,y-ex)，n-(1,x+b)，m//n,(x,y,b,cGR),且把其中x,

y所满足的关系式记为y=f(x),若f'(x)为f(x)的导函数，F(x)=f(x)+af'(x)(a>0),且F(x)是R

上的奇函数.

(I)求卜和C的值；

a

(II)若函数f(x)在［月，/］上单调递减，求b的取值范围；

(III)当a=2时，设0VtV4且tx2,曲线y=f(x)在点A(t,f(t))处的切线与曲线y=f(x)相交于点B(m,f

(m))(A,B不重合)，直线x=t与y=f(m)相交于点C,Z\ABC的面积为S,试用t表示aABC的面积S(t),

若P为S(t)上一动点，D(4,0),求直线PD的斜率的取值范围.

16.(2010•宁波模拟)已知函数f(x)=(x2-3x+3)»ex定义域为［-2,t］(t>-2),设f(-2)=m,f(t)=n.

(I)试确定t的取值范围，使得函数f(x)在［-2,t］上为单调函数；

(II)求证：n>m；

(x)92

(III)求证：对于任意的t>-2,总存x()€(-2,t),满足-----」0一=5(t-1)£并确定这样的x()的个数.

xo3

e

2

17.(2010•广东模拟)已知曲线Ci：y=3-+e(e为自然对数的底数)，曲线C2：y=2elnx和直线1：y=2x.

e

(1)求证：直线1与曲线Ci，C2都相切，且切于同一点；

3

(2)设直线x=t(t>0)与曲线Ci，C2及直线1分别相交于M,N,P,记f(t)=IPMI-INPI,求f(t)在［e^,e］

上的最大值；

m

(3)设直线x=e(m=0,1,2,3——)与曲线G和C2的交点分别为Am和Bm，问是否存在正整数n,使得AoBo=AnBn?

若存在，求出n；若不存在，请说明理山.(本小题参考数据e=2.7).

18.(2009•辽宁)设f(x)=ex(ax?+x+l),且曲线y=f(x)在x=l处的切线与x轴平行.

(1)求a的值，并讨论f(x)的单调性；

(2)证明：当8£［0,假］时，|f(cos9)-f(sine)|<2.

19.(2008•辽宁)设函数f(x)=上空-lnx+ln(x+1)-

1+x

(1)求f(x)的单调区间和极值；

(2)是否存在实数a,使得关于x的不等式f(x)2a的解集为(0,+-)?若存在，求a的取值范围：若不存在,

试说明理山.

20.(2007•福建)已知函数f(x)=ex-kx,

(1)若1<=6,试确定函数f(x)的单调区间；

(2)若k>0,且对于任意x€R,f(1x1)>0恒成立，试确定实数k的取值范围；

n

(3)设函数F(x)=f(x)+f(-x),求证：F(1)F(2)...F(n)>(6^+1+2),(nGN*).

21.(2012•盐城二模)已知函数打(x)=elx-2a+l|,(x)=elx-a|+l1X^R.

(1)若a=2,求f(x)=fj(x)+f2(x)在xW[2,3]上的最小值；

(2)若xW[a,+8)时，f2(x)>fj(x),求a的取值范围；

fi(x)+f9(x)|fi(x)-f9(x)|

(3)求函数g(X)=----------------——------------------在xe[l,6]上的最小值.

1+a

22.(2010・四川)设f(x)-(a>0且a3l),g(x)是f(x)的反函数.

1-ax

⑴求g(x)；

(2)当xe[2,6]时，恒有g(x)>log——---------------成立，求t的取值范围;

a(x2-l)(7-x)

(3)当0<a)时，试比较f(I)+f(2)+...+f(n)与n+4的大小，并说明理由.

2

23.已知函数f(x);alxl--,(a>0,aWl)

X

a

(1)a>l,解关于x的方程f(x)=3.

(2)记函数g(x)=f(-x),x6[-2,+8),若g(x)的最值与a无关，求a的取值范围.

2015年01月09日986554261的高中数学组卷

参考答案与试题解析

解答题(共23小题)

1.(2014•天津三模)已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-21nx,g(x)=xe1x.(aER,e为自然对数的底数)

(I)当a=l时，求f(x)的单调区间；

(II)若函数f(x)在(o,A)上无零点，求a的最小值；

(III)若对任意给定的xo6(0,e］,在(0,e］上总存在两个不同的内(i=l,2),使得f⑶)=g(x0)成立，求a

的取值范围.

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.

专题：计算题；压轴题.

分析：(I)把a=l代入到f(x)中求出f'(x),令f'(x)>0求出x的范围即为函数的增区间，令f'(x)

<0求出x的范围即为函数的减区间；

(II)f(x)<0时不可能恒成立，所以要使函数在(0,-1)上无零点，只需要对xe(0,A)时f(x)>

22

0恒成立，列出不等式解出a大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数

的最大值即可得到a的最小值；

(III)求出g'(X),根据导函数的正负得到函数的单调区间，即可求出g(x)的值域，而当a=2时不合

题意；当aw2时:求出f'(x)=0时x的值，根据xe(0,e］列出关于a的不等式得到①，并根据此时的x

的值讨论导函数的正负得到函数f(x)的单调区间，根据单调区间得到②和③，令②中不等式的坐标为一

个函数，求出此函数的导函数，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到此函数的

最大值，即可解出②恒成立和解出③得到④，联立①和④即可解出满足题意a的取值范围.

解'',解：(I)当a=l时，f(x)=x-1-21nx,则f'(x)=1--,

x

由f'(x)>0,得x>2；

由f'(x)<0,得0<x<2.

故f(x)的单调减区间为(0,2］,单调增区间为［2,+8)；

(II)因为f(x)<0在区间(0,A)上恒成立不可能，

故要使函数f(x)在(0,方)上无零点，

只要对任意的x€(0,，f(x)>0恒成立，即对x£(0,-),a>2-空空恒成立.

22x~1

—(x-1)~21nx21nx+--2

令］(X)=2-吗，(0,焉)，则1(x)-----------.一=------，

X-12(X-1)2(X-1)2

再令m(x)=21nx+--2,x6(0,2)，

x2

则m'(x)=-与2=二2(1二)_<0,故m(x)在(0,1)上为减函数，于是

x2xx22

m(x)>m(-1)=2-21n2>01

从而，1(x)>0,于是1(x)在(o,上为增函数，所以1(X)<1(-)=2-41n2-

故要使a〉2一空空恒成立，只要ae[2-41n2,+«>),

X-1

综上，若函数f(x)在(0,1)上无零点，贝IJa的最小值为2-41n2；

(III)g'(x)=e'x-xe1x=(1-x)e1x,

当xe(0,1)时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增；

当xe(1,e]时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减.

又因为g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e«ele>0,

所以，函数g(x)在(0,e]上的值域为(0,1].

当a=2时，不合题意；

,、_o(2-a)(x--T-1—)

z

当a9时，f(x)=2-a-2=-(2-a)x二2=-------------2^ax£(0,

XXX

当X'_时,f(x)=0.

2~a

由题意得，f(x)在(0,e]上不单调，故0〈二一<e，即a<2-2①

2-ae

此时，当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下:

X(0,—2(二-,e]

2-a2-a2-a

f'(x)-0+

f(x)最小值7

又因为，当x玲0时，f(x)玲+8,

f(―^―)=a-21n—^―,f(e)=(2_a)(e-1)一2,

2-a2-a

所以,对任意给定的xoG(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的Xi(i=l,2),

使得f(xD=g(xo)成立，当且仅当a满足下列条件：

f(白)<021n必-40②

.2-agpJ2-a

f(e)>1(2-a)(e-1)-2>1③

令h(a)=a-21n¥—,a€(-8,2~—)>

2-ae

贝iJh'(a)=1-2[ln2-In(21a)]'=1-2=a,令卜,(a)=0,得a=0或a=2,

2-aa-2

故当aE(-g,0)时，h'(a)>0,函数h(a)单调递增；

当a€(0,2--)时，h'(a)<0,函数h(a)单调递减・

e

所以，对任意a€(-8,2--)，有h(a)sh(0)=0,

e

即②对任意a€(-8,2-2)恒成立.

e

由③式解得：a<2-—^―④

e-1

综合①④可知，当aC(-8,2--卫一]时，对任意给定的x()e(0,e],

e-1

在(0,e]上总存在两个不同的Xi(i=l,2),

使f(xD=g(xo)成立.

点评：此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌

握不等式恒成立时所满足的条件，是一道压轴题.

2.(2014•湖南二模)已知函数f(x)=alnx-ax-3(a£R,a/0).

(I)求函数f(x)的单调区间；

(H)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为工，I'nJ：m在什么范围取值时，对于任意的te［l,

4

2］,函数g(x)=x'x2苧(x)］在区间［t,3］上总存在极值？

(III)当a=2时，设函数h(x)=(p-2)x-E侬-3,若在区间口，e］上至少存在一个xo,使得h(x0)>f

x

(XO)成立，试求实数P的取值范围.

考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性.

专题：计算题；综合题；压轴题.

分析：(I)求出f'(x)对a分类讨论，由f'(x)>0时，得到函数的递增区间；令f'(x)V0时，得到函

数的递减区间；

(II)因为函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45。，得到『(2)=1求出a的值

代入到g(x)=x?+x2［学产(x)］中化简，求出导函数，因为函数在［t,3］上总存在极值得到g'(t)

<0,g'(3)>0解出m的范围记即可；

(III)F(x由题意构建新函数F(x))=f(x)-g(x),这样问题转化为使函数F(x)在［1,e］上至少有

一解的判断.

解答：解：(I)Vf,(x)y-a=a(^―^)(x>0),

xx

A(1)当a>0时，令f'(x)>0时，解得0Vx<l,所以f(x)在(0,1)递增；

令f'(x)<0时、解得x>l,所以f(x)在(1,+8)递减.

当a<0时，f'(x)=-a(2匚)，令(x)>0时，解得x>l,所以f(x)在(1,+8)递增；

x

令f'(x)<0时，解得0<x<l,所以f(x)在(0,1)递减；

(II)因为函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45。，

所以f'(2)=1,所以a=-2,f'(x)=-2+2,

x

32,3232

g(x)=x+x[^+f(x)]=X+X[^+2-2]=X+(2+彳)>x-2x,

；・g'(x)=3X2+(4+m)x-2,

因为对于任意的tqi,2],函数g(x)=x3+x2[^+f,(x)]在区间[t,3]上总存在极值，

所以只需g'(2)V0g'(3)>0,解得-里VmV-9；

3

(III).••令F(x)=h(x)-f(x)=(p-2)x-P+22-3-21nx+2x+3=px-美---21nx,

XXX

①当p《)时,由XW[1,e]得px-20,21nxV0.

XX

所以，在[1,e]上不存在xo，使得h(xo)>f(xo)成立；

2

②当p>0时，P(x)=px-2：+p+左

X

Vx6［l,e］,

A2e-2x>0,px2+p>0,F'(x)>0在［1,e］上恒成立,故F(x)在［Le］上单调递增.

，F(x)max=F(e)=pe--2-4.

e

故只要pe-B-4>0,解得p>「^一.所以p的取值范围是+8).

ee2-1e2-1

点评：(I)考查学生利用导数研究函数单调性的能力，(H)利用导数研究曲线上某点切线方程的能力，会根据

直线的倾斜角求直线的斜率，(III)此处重点考查了等价转化的思想，把问题转化为构建一新函数，并考查

了函数F(x)在定义域下恒成立问题数式中含字母系数，需分类讨论，属于难题.

3.(2014•聊城一模)已知函数f(x)=ln(x+a)-x?-x在x=0处取得极值.

(I)求实数a的值；

(II)若关于x的方程f(x)=-|x+b在区间［0,2］上一恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围;

(III)证明：对任意的正整数n,不等式2+卫+9+...心学>ln(n+1)都成立.

4q.2

考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性.

专题：压轴题；导数的综合应用.

分析：(I)函数f(x)=ln(x+a)-x2-x,对其进行求导，在x=0处取得极值，可得f'(0)=0,求得a值；

(II)关于x的方程f(x)=->|x+b在区间［0,2］上恰有两个不同的实数根，将问题转化为巾(x)=0,在

区间［0,2］上恰有两个不同的实数根，对巾(x)对进行求导，从而求出b的范围；

(III)f(x)=ln(x+1)-x2-x的定义域为{xlx>-1},利用导数研究其单调性，可以推出In(x+1)-x2

-x<0,令x,，可以得到In(14-1)〈工+±,利用此不等式进行放缩证明；

nnnn2

解答：解：(I)函数f(x)=ln(x+a)-x2-x

(x)=~—-2x-1

x+a

当x=0时，f(x)取得极值，

・・・f'(0)=0

故」-一2X0-1=0，

0+a

解得a=l,经检验a=l符合题意，

则实数a的值为1；

(II)由a=l知f(x)=ln(x+1)-x2-x

由f(x)=--x+b,得In(x+1)-x2+—x-b=0

22

令巾(x)=ln(x+1)-x2+—x-b,

2

则f(X)=->|x+b在区间［0,2］上恰有两个不同的实数根等价于力(x)=0在区间［0,2］上恰有两个不同的

实数根.

1_2—3_-(4x+5)(X-1)

(X)7+1*22(x+1)

当x€［0,1］时，巾'(x)>0,于是巾(x)在［0,1)上单调递增;

当xe(1,2］时，山’(x)<0,于是巾(x)在(1,2］上单调递减,

依题意有6(0)=-b<0,

6⑴=ln(1+1)-1+^-b>0,

2

4)(2)=ln(1+2)-4+3-b<0

解得，ln3-I<b<ln2+A,

2

故实数b的取值范围为：ln2』)；

2

(III)f(x)=ln(x+1)-x2-x的定义域为{xlx>-1},由(1)知f(x)=—>，2;+3)一,

令f'(x)=0得，*=0或*=(舍去)，

2

...当-l<x<0时，f'(x)>0,f(x)单调递增；

当x>0时，f'(x)<0,f(x)单调递减.

・・・f(0)为f(x)在(-1,+-)上的最大值.

Af(x)<f(0),故In(x+1)-x2-x<0(当且仅当x=0时，等号成立)

对任意正整数n,取x」>0得，Ind+J)<1+J-

nnnn2

...In(n+1)<n+l,

nn2

故ln2+ln^-ln-^+...+ln^i=ln(n+1).

49n223n

点评：本题考查利用导数研究函数的极值及单调性，解题过程中用到了分类讨论的思想，分类讨论的思想也是高

考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用，第三问难度比较大，利用了前两问的结论进行证明，

此题是一道中档题.

4.(2014•乌鲁木齐一模)已知函数f(x)=ex-ex(xR)

3

(I)求证：当xNO时，f(x)>2x+%;

o

(II)试讨论函数H(x)=f(x)-ax(xGR)的零点个数.

考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性.

专题：压轴题；导数的综合应用.

分析：本题(I)要通过研究导函数的正负得到函数的单调性；再通过研究导函数的导函数的正负，得到导函数

的单调性：再通过研究导导函数的函数的导函数的正负，得到导函数的导函数的单调性，得到不等关系.本

题(II)要通过分类讨论，结合函数的奇偶性和单调性，研究函数零点的个数.

嬉答.„3

…解：(I)令g(x)=f(x)-2x--,(x>0)

o

贝tig，(x)=f(x)-2-x2=ex+ex-2-x2,g"(x)=f(x)-2x,

Vg'"(x)=f(x)-2=ex+e-x-2

当xZO时，ex>0,ex>0,，e*+e,e-*=2

/.g'"(x)>0,函数y=g"(x)(x>0)为增函数，

.,.g"(x)>g"(0)=0,即f(x)-2x>0

；•函数y=g'(x)(x>0)为增函数，

.*.g'(x)2g'(0)=0,KPex+ex^2+x2

函数y=g(x)(x>0)为增函数，

3

Ag(x)>g(0)=0,即当xNO时，f(x)》2x+工成立；

3

(II)(1)当a42时，VH(x)=f(x)-ax

yx-x_x-x

•'•H'(x)=f(x)-a=e+ea>2^/e.e-a=2-a>0

二函数y=H(x)(xGR)为增函数，

当x>0时，H(x)>H(0)=0,当x<0时，H(x)<H(0)=0,

...当aS2时，函数y=H(x)的零点为x=0,其零点个数为1个

(2)当a>2时，•.•对VxeR,H(-x)=-H(x)

二函数y=H(x)为奇函数，且H(0)=0

下面讨论函数y=H(x)在x>0时的零点个数：

x-x

由(I)知，当xo>O时，o+o>2-令2=/°+2-*°

Xo-Xo

•••H(x)=f(x)-(e+e)x(x>0)

?XXoxx

则H'(x)=f(x)-(e°+e~)-H"(x)=f(x)=e-e

当x>0时，ex>l,0<ex<l,.,.ex-ex>0,AH"(x)>0

函数y=H(x)(x>0)为增函数

二当OVxMxo时,H'(x)<H'(x0)=0：当x>x0时,H'(x)>H'(x0)=0

，函数y=H(x)(x>0)的减区间为(0,xo].增区间为(xo,+oo)

...当OVxVxo时,H(x)<H(0)=0

即对Vx()€(0,x(J时,H(x)<0

又由(I)知，

_3_2_

XXoX-Xo

H(x)=f(x)-(e°+e_)x>2x+^~(e°+e)x=x[-^--(e、°+e--2)]

2

当xo>O时，由③知eX°+eX°>2+Q>-^+2>

X3

XoX

二73(e+e-°-2)>x0

j2

x-xxx

故，当xX(eo+eo-2)>0时,(e°+e-°-2)>0

o

2_

(eX°+eX°-2)]>0)即H(x)>0

o

由函数y=H(x)(x>x0)为增函数和⑥⑦及函数零点定理知，存在唯•实数

X-X

x*C(XQ»^3(e°+e°-2)]使得H(x*)=0,又函数y=H(x),xGR为奇函数

二函数y=H(x),xGR,有且仅有三个零点.

点评：本题(I)通过三阶导数的研究，逐步通过导函数的正负得到函数的值的大小，逻辑思维能力要求较高；(II)

通过分类讨论后，再分别用单调性和奇偶性研究零点，对学生计算能力和表达能力要求高.

5.(2014•巴中模拟)f(x)=lx-al-Inx(a>0).

(1)若a=l,求f(x)的单调区间及f(x)的最小值；

(2)若a>0,求f(x)的单调区间；

(3)试比较一!工?2+1锵?2+...4^与._(仁1?("1)一的大小.(n€N*且电2),并证明你的结论.

2232n22(n+1)

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性.

专题：计算题；压轴题.

分析：(1)先求出导函数f'(X),解不等式一(X)>0和f'(x)<0,判断函数的单调性即可；

(2)求出函数的定义域；求出导函数，从导函数的二次项系数的正负；导函数根的大小，进行分类讨论；

判断出导函数的符号；利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性.

(3)将要证的不等式等价转化为g(x)>0在区间(1,2)上恒成立，利用导数求出g(x)的最小值，只

要最小值大于0即可.

解答:解：(1)a=Lf(x)=lx-II-Inx

当x>l时，f(x)=x-1-Inx,ff(x)=1-——

XX

：.f(x)在区间［1,+«=>)上是递增的.

x<l时，f(x)=x-1-Inx,f'(x)=1--<0

x

：.f(x)在区间(0,1)减的.

故a=l时f(x)在［1,+8)上是递增的，减区间为(0,1),f(x),nin=f(1)=0

(2)当a21,x>a,f(x)=x-a-Inx,f/(x)=1--——工>0,

xx

f(x)在⑶+8)上是递增的，

0<x<a,f(x)=-x+a-Inx,f(x)=-1--<0

x

Af(x)在(0,a)递减函数，

0<a<l,x>a,f(x)=x-a-Inx,

f'(x)=1--——x>l,fr(x)>0,a<x<Lff(x)<0,

XX

f(x)在U，+8)递增函数f(x)在⑶1)递减函数，

0<x<a时f(x)=a-x-Inx,ff(x)=-1--<0,

x

：.f(x)在(0,a)递减函数.

当aNl时f(x)在［a,+8),(0,a)增函数.

当OVaVl时f(x)在［1,+oo),(o,1)增函数.

(3)当a=lx>l时x-1-lnx>01-A

XX

22

.In2,ln3,,Inn2/1,d(iA.

-----+—…+—+1<n-1-

22

3"n23n2

(--—+―-—+...+———―)=n-1-(A-A+-1-A+...+-1-_1_)=n-1-(A--J^)

2X33X4n(n+1)2334nn+12n+1

(n-1)(2n+l)

2(n+1)

点评：本题考查利用导函数讨论函数的单调性：导函数为正函数递增；导函数为负，函数递减.考查分类讨论的

数学思想方法，函数的最值，不等式的证明，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查计算能力

和分析问题的能力，以及转化的数学思想，属于基础题

6.(2013•山东)设函数f(x)=~^c(e=2.71828…，c€R).

2x

e

(1)求f(x)的单调区间及最大值；

(2)讨论关于x的方程llnxl=f(x)根的个数.

考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断.

专题：压轴题；导数的综合应用.

分析：(1)利用导数的运算法则求出f'(x),分别解出f'(*)>0与广(x)<0即可得出单调区间及极值与

最值；

(2)分类讨论：①当OVxWl时，令u(x)=-Inx----c,②当x>l时，令v(x)=lnx-——一c.利

2x2x

ee

用导数分别求出c的取值范围，即可得出结论.

/.、e2X-X，2巳2K］-2X，i/i

解：(1)Vf(x)=-——0解f(X)>0,得x<2解f(x)<0,得x>2.

(e2x)2e2x22

二函数f（X）的单调递增区间为（-8,1）;单调递减区间为（1，+8）

故f(X)在X」取得最大值，且f(x)J+b

2max2e

(2)函数y=llnxl,当x>0时的值域为［0,+°°).如图所示:

①当0<x<l时，令u(x)=-Inx-—-c,

2x

e

c=-Inx--1^=g(x),

令h(x)=e2x+x-2x2,则h(x)=2e2x+l-4x>0,Ah(x)在xW(0,1］单调递增,

/.l=h(0)<h(x)<h(1)=e2-1.

Ag(x)<0,Ag(x)在xW(0,1］单调递减.

・，・c》g(1)二一七•・

②当xNl时，令v(x)=lnx-—^―-c，得到c=lnx-轰m(x),

2x

ee

m.|'ZX_1l-2xe3+x（2xT）

Aexe

故m（x）在［1,+8）上单调递增，，c2m（1）=--^.

e

综上①©可知：当c<-<时，方程llnxl=f（x）无实数根;

e

当c二一4时，方程llnxl=f（x）有一个实数根；

e

当时，方程llnxl=f（x）有两个实数根.

点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值最值、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法等基

础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力及其化归思想方法.

7.(2013•湖北)设n是正整数，r为正有理数.

(I)求函数f(x)=(1+x)r+l-(r+1)x-1(x>-1)的最小值;

什1-(n-l)r+l(n+1)r+lr+l

(II)证明:—<nr<

r+lr+l

(III)设X6R,记［x］为不小于X的最小整数,例如［2］=2,[兀]=4,[-争=-1.令

$=病+收+退+…+加元，求£]的值•

4444

(参考数据:80^344.7,81装350.5,124蕊618.3,126mg631.7)•

考导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；数列的求和；不等式的证明.

点：

专压轴题；导数的综合应用；不等式的解法及应用.

题：

分(I)先求出函数f(x)的导函数f'(X),令f(x)=0,解得x=O,再求出函数的单调区间，进而求出最小

析:值为f(0)=0；

(H)根据(I)知，即(1+x)r+l>l+(r+l)x,令x，代入并化简得门「<卫士-----—