高中数学复数多选题专项训练复习附解析

一、复数多选题

1.已知i为虚数单位，复数Z=-则以下真命题的是（）

2-z

A.Z的共枕复数为B.z的虚部为晟

C.|z|=3D.z在复平面内对应的点在第一象限

答案：AD

【分析】

先利用复数的除法、乘法计算出，再逐项判断后可得正确的选项.

【详解】

,故，故A正确.

的虚部为，故B错，，故C错，

在复平面内对应的点为，故D正确.

故选:AD.

【点睛】

本题考

解析：AD

【分析】

先利用复数的除法、乘法计算出z,再逐项判断后可得正确的选项.

【详解】

3+2/（3+2z）（2+z）4+7z47z-47/..

z=----=-----A----L=-----=-+—,故2=------，故Aa正确.

2-i555555

z的虚部为:，故B错，曰=巫逵=叵声3,故C错，

51155

z在复平面内对应的点为故D正确.

故选：AD.

【点睛】

本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数2=。+初的

虚部为人，不是万，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共腕复数.

2.以下命题正确的是（）

A.〃=0是Z=Q+初为纯虚数的必要不充分条件

B.满足了2+1=0的X有且仅有i

c.“在区间（。⑼内ra）＞o”是“/（X）在区间（。⑼内单调递增”的充分不必要条件

I—,71

D.已知f（x）=，则r（x）=、x8

答案：AC

【分析】

利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A选项的正误；解方程可

判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义

可判断C选项的正误；利用基本初等函数的导数公式

解析：AC

【分析】

利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A选项的正误；解方程/+1=。可

判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C选

项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D选项的正误.综合可得出结论.

【详解】

对于A选项，若复数z=a+初为纯虚数，则a=0且6刈，

所以，。=0是2=。+初为纯虚数的必要不充分条件，A选项正确；

对于B选项，解方程/+1=0得x=±i,B选项错误；

对于C选项，当时，若r（x）＞0,则函数/（x）在区间（a,h）内单调递增，

即“在区间（。/）内r（x）＞0"=＞'"（X）在区间（a⑼内单调递增”.

反之，取=/"（力=3%2,当XG（-1,1）时，/r（x）＞0,

此时，函数y=/（x）在区间（-1，1）上单调递增，

即“在区间（为。）内r（x）＞0"牛'"（X）在区间（a⑼内单调递增”.

所以，”在区间（&。）内/'（力＞0”是"/（x）在区间（a,》）内单调递增”的充分不必要

条件.

C选项正确；

对于D选项，/（力=/底=£+1=/，・•・/（尤）［/，D选项错误.

故选：AC.

【点睛】

本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的

计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

3.对于复数2=。+初（a,》eR）,下列结论母送的是（）.

A.若a=0,则a+机为纯虚数B.若a-初=3+2i,则a=3,8=2

C.若b=0,则a+初为实数D.纯虚数z的共轨复数是一z

答案:AB

【分析】

由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得.

【详解】

解：因为

当且时复数为纯虚数，此时，故A错误，D正确;

当时，复数为实数，故C正确；

对于B：,则即，故B错误；

故错误的有AB

解析：AB

【分析】

由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得.

【详解】

解：因为z=a+4

当a=0且广用时复数为纯虚数，止匕时1=一4=—z，故A错误，D正确；

当匕=0时，复数为实数，故C正确；

a=3（a—3

对于B：a-bi=3+2i,贝叫c即c，故B错误；

-b=2[b=-2

故错误的有AB；

故选：AB

【点睛】

本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题.

4.设，为虚数单位，复数z=（a+i）（l+2i）,则下列命题正确的是（）

A.若Z为纯虚数，则实数a的值为2

B.若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（-/，2）

2

C.实数a=—,是z=N（彳为z的共轨复数）的充要条件

2

D.若2+|2|=%+5北¥6K），则实数a的值为2

答案：ACD

【分析】

首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共辗复数

或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误

【详解】

选项A:为纯虚数，有可得，故正确

选项B

解析：ACD

【分析】

首先应用复数的乘法得z=a-2+(l+2a)i,再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与

共轨复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误

【详解】

z=(a+z)(l+2i)=a—2+(1+2d)i

a—2=0

选项A：z为纯虚数，有〈可得a=2,故正确

1+2"0

。-2<0]

选项B：z在复平面内对应的点在第三象限，有，八解得a<-一，故错误

1+2。<02

1-51

选项C：a=—时，z=z=­；z=2时，l+2a=0即“=—,它们互为充要条

222

件，故正确

选项D：z+|z|=x+5i(xeH)时，，有1+2。=5,即a=2,故正确

故选：ACD

【点睛】

本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及

性质、相等关系等确定参数的值或范围

5.已知复数％=2-i,z?=2i则()

A.Z2是纯虚数B.z「Z2对应的点位于第二象限

C.|z,+Z2|=3D.\zfZ2\=2>/5

答案：AD

【分析】

利用复数的概念及几何有意义判断A、B选项是否正确，利用利用复数的四则

运算法则计算及，并计算出模长，判断C、D是否正确.

【详解】

利用复数的相关概念可判断A正确；

对于B选项，对应的

解析：AD

【分析】

利用复数的概念及几何有意义判断A、B选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计

算4+Z2及ZEZ,并计算出模长，判断C、D是否正确.

【详解】

利用复数的相关概念可判断A正确；

对于B选项，4-Z2=2-3i对应的点位于第四象限，故B错；

对于C选项，Z,+Z2=2+Z,则|zI+Z2|=&+产=6,故C错；

对于D选项，z「Z2=(2r>2i=2+4i,则上闻=衣7不=2生,故D正确.

故选：AD

【点睛】

本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.

6.下列结论正确的是（）

A.已知相关变量（工,〉）满足回归方程》=9.4x+9.1,则该方程相应于点（2,29）的残差

为1.1

B.在两个变量V与X的回归模型中，用相关指数R2刻画回归的效果，R2的值越大，模型

的拟合效果越好

C.若复数z=l+i,则同=2

2

D.若命题，：3x0e/?,片一/+1<0,贝！JM：VxeR,x-x+l>0

答案：ABD

【分析】

根据残差的计算方法判断A,根据相关指数的性质判断B,根据复数的模长公式

判断C,根据否定的定义判断D.

【详解】

当时，，则该方程相应于点（2,29）的残差为，则A正确；

在两个变量

解析：ABD

【分析】

根据残差的计算方法判断A,根据相关指数的性质判断B,根据复数的模长公式判断C,根

据否定的定义判断D.

【详解】

当尤=2时，9=9.4x2+9.1=27.9,则该方程相应于点（2,29）的残差为

29—27.9=1.1,则A正确；

在两个变量y与x的回归模型中，R2的值越大，模型的拟合效果越好，则B正确；

彳=一，间邛+5=》,则c错误；

由否定的定义可知，D正确；

故选：ABD

【点睛】

本题主要考查了残差的计算，求复数的模，特称命题的否定，属于中档题.

7.（多选）|（3+2。一（1+可表示（）

A.点（3,2）与点（1,1）之间的距离B.点（3,2）与点（―1,一1）之间的距离

C.点（2,1）到原点的距离D.坐标为（-2,-1）的向量的模

答案：ACD

【分析】

由复数的模的意义可判断选项A,B；整理原式等于,也等于，即可判断选项C,D

【详解】

由复数的几何意义，知复数,分别对应复平面内的点与点，所以表示点与点之间的

距离,故A说法正确,B

解析：ACD

【分析】

由复数的模的意义可判断选项A,B；整理原式等于|2+i|,也等于卜2一1即可判断选项C,D

【详解】

由复数的几何意义,知复数3+2i,1+Z・分别对应复平面内的点（3,2）与点（1,1）,所以

|（3+2。一（1+。|表示点（3,2）与点（1,1）之间的距离,故A说法正确,B说法错误；

|（3+2z）-（l+z）|=|2+z|,|2+可表示点（2,1）到原点的距离,故C说法正确；

|（3+2z）-（l+i）|=|（l+z）-（3+2/）|=卜2—i|,卜2―才可表示表示点（―2,—1）到原点的距

离，即坐标为（-2,-1）的向量的模,故D说法正确，

故选:ACD

【点睛】

本题考查复数的几何意义,考查复数的模

8.己知复数2=-1+8八1为虚数单位），1为z的共粗复数，若复数.=三，则下列结论

Z

正确的有（）

A.W在复平面内对应的点位于第二象限B.|w|=l

1、行

C.卬的实部为--D.W的虚部为卫二j

22

答案：ABC

【分析】

对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，

判断得解；对选项，的虚部为，判断得解.

【详解】

对选项由题得

所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确

解析：ABC

【分析】

对选项A求出卬=-3+孝3再判断得解；对选项8,求出|M=1再判断得解；对选项

C,复数卬的实部为-L，判断得解；对选项。，卬的虚部为也，判断得解.

22

【详解】

对选项A由题得W=—1—Gi,

-1-V3z(-1-V302-2+2村16

•卬—___________—___________________________—_____________—______卜,I

-1+4(-1+V3z)(-1-V3z)422

所以复数w对应的点为在第二象限，所以选项A正确;

对选项因为|w|=1,所以选项3正确;

对选项c,复数w的实部为-,，所以选项c正确；

2

对选项w的虚部为也，所以选项。错误.

2

故选：ABC

【点睛】

本题主要考查复数的运算和共扼复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查

复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

9.i是虚数单位，下列说法中正确的有()

A.若复数z满足z•彳=0,则z=0

B.若复数ZI,Z2满足以1+Z2闫Z1一Z2］，则乎2=0

C.若复数z=a+ai(awR),则z可能是纯虚数

D.若复数Z满足z2=3+43则Z对应的点在第一象限或第三象限

答案:AD

【分析】

A选项，设出复数，根据共枕复数的相关计算，即可求出结果；

B选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；

C选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；

D选项，设出复数，根据题

解析：AD

【分析】

A选项，设出复数，根据共朝复数的相关计算，即可求出结果；

B选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；

C选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；

D选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.

【详解】

A选项，设2=4+砥4力€/?),则其共物复数为2=。-4(口,86/?),

则Z•彳="+〃=0，所以。=匕=0,即Z=0;A正确；

B选项,若4=1,Z2=i,满足[Z]+Z2]=匕-z2],但空2=i不为0；B错;

C选项，若复数z=a+ai(awR)表示纯虚数，需要实部为0,即a=0,但此时复数

z=0表示实数，故C错；

D选项，设2=。+初(a力eR),则z?=(a+0i)2="+2。初-。2=3+4/,

a2—b2-3fa=2(a=—2

所以〈,解得，或，则z=2+i或z=—2-i,

、2ab=4lb=llb=-l

所以其对应的点分别为(2,1)或所以对应点的在第一象限或第三象限；D正确.

故选：AD.

10.若复数z满足z(l+i)=2f],则()

A.z=-l+iB.z的实部为1

C.z=l+iD.z2=2i

答案：BC

【分析】

先利用复数的运算求出复数z,然后逐个分析判断即可

【详解】

解：由，得，

所以z的实部为1,,,

故选：BC

【点睛】

此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共规

解析：BC

【分析】

先利用复数的运算求出复数z,然后逐个分析判断即可

【详解】

解：由Z(l+i)=|6-i],得z=3^=2(1—)=型0=j,

111+«(1+0(1-/)2

所以z的实部为1,5=l+i,z2=-21.

故选：BC

【点睛】

此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共扼复数，属于基础题

11.下列说法正确的是()

A.若|z|=2,则z,z=4

B.若复数ZrZ2满足|Z[+Z2|=|Z]-Z2|,则3=。

C.若复数Z的平方是纯虚数，则复数Z的实部和虚部相等

D.""1"是"复数2=（。-1）+（。2一1.067?）是虚数”的必要不充分条件

答案：AD

【分析】

由求得判断A；设出，，证明在满足时，不一定有判断B；举例说明C错误；由

充分必要条件的判定说明D正确.

【详解】

若，则，故A正确；

设，

由，可得

则，而不一定为0,故B错误；

当时

解析：AD

【分析】

由|z|求得zi判断A；设出Z1,z2,证明在满足卜1+Z2I=[Z]-2]时，不一定有Z|Z2=0

判断B；举例说明C错误；由充分必要条件的判定说明D正确.

【详解】

若目=2,则z-z=|z『=4,故A正确；

设Z1=4+卬（4,4eR）,z2=&+瓦（外也GR）

由卜l+Z2|=t]_Z2|,可得

B+Z2「=（4+（4+%『=|Z|-2「=（4一4『+（乙一打『

则01a2+她=。，而

马马=（q+卬）（g+b2i）=a]a2—b1b2+a1bli+b®=2a1a2+O\b2i+h}a1i不一定为。,故

B错误；

当z=l-i时z2=-2,为纯虚数，其实部和虚部不相等，故c错误；

若复数z=（a—+-是虚数，则/一母。，即”彳±1

所以"OH1"是"复数z=（a-1）+（/一1川。6/?）是虚数"的必要不充分条件，故D正确；

故选：AD

【点睛】

本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.

（兀冗\

12.已知复数z=l+cos2e+isin26[-5<0<5j（其中i为虚数单位），则（）

A.复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限B.z可能为实数

C.|z|=2cos(9D.，的实部为一1

11Z2

答案：BC

【分析】

由可得，得，可判断A选项，当虚部，时，可判断B选项，由复数的模计算和

余弦的二倍角公式可判断C选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D选项.

【详解】

因为，所以，所以，所以，所以A选

解析：BC

【分析】

714

由一一<一可得一万<26<%，得0<l+cos28W2,可判断A选项，当虚部

22

(7T7T\

sin20=0,一,，,时，可判断B选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判

“L3H一&-11+cos20-1sin20工的实部是1+cos20

断C选项，由复数的运算得一=----------------可

zl+2cos20Z2+2cos202

判断D选项.

【详解】

jrTT

因为—<。<一,所以一万所以一1<COS29<1,所以0vl+cos26<2,

22

所以A选项错误；

(JI

当sin26=0,时’复数z是实数，故B选项正确；

\z\=J(l+cos+(sin26)2=j2+2cos26=2cos。，故C选项正确：

1_1_l+cos26-isin2e_l+cos28-isin2e

z1+cos20+zsin20(1+cos20+zsin26)(1+cos20一isin2。)1+2cos20

L的实部是1+cos20

故D不正确.

z2+2cos202

故选：BC

【点睛】

本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于

中档题.

13.已知复数2=-'+且i(其中i为虚数单位，，则以下结论正确的是().

22

A.z230B.z2=~ZC.z?=1D.|z|=1

答案：BCD

【分析】

计算出，即可进行判断.

【详解】

,故B正确，由于复数不能比较大小，故A错误;

,故C正确；

,故D正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查复数的相关计算，属于基础题.

解析：BCD

【分析】

计算出Z2；z3,|z|,即可进行判断.

【详解】

,公」+四,

22

---i=L故B正确，由于复数不能比较大小，故A错误;

22

；173.W1

—i=1,故c正确;

222

"lZl,故D正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查复数的相关计算，属于基础题.

14.下列四个命题中，真命题为（）

A.若复数z满足zeR，则彳wRB.若复数z满足则zeR

Z

C.若复数Z满足Z2GR，则ZCRD.若复数Z1,Z2满足Z|・Z2eR,则Z[=彳2

答案：AB

【分析】

利用特值法依次判断选项即可得到答案.

【详解】

对选项A,若复数满足，设，其中，则，则选项A正确;

对选项B,若复数满足，设，其中，且，

则，则选项B正确；

对选项C,若复数满足，设

解析：AB

【分析】

利用特值法依次判断选项即可得到答案.

【详解】

对选项A,若复数z满足zwH，设z=a,其中aeH,则5wR，则选项A正确；

对选项B,若复数z满足一eR,设'=a，其中aeH,且

ZZ

则2=,€/?,则选项B正确；

a

对选项C,若复数Z满足z2eR，设2=1,则Z2=—1WR，

但z=i走R,则选项C错误；

对选项D,若复数ziz2满足Z/ZzWR,设4=，，z?=i,则Z]=-1eR,

而Z2=T。,则选项D错误；

故答案选：AB

【点睛】

本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共辄复数，特值法为解决本题的关键,

属于简单题.

15.己知复数z满足Z2+2|Z|=0,则z可能为（）

A.0B.-2C.2/D.-2/

答案：ACD

【分析】

令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.

【详解】

令代入，得：，

二•，解得或或

或或.

故选：ACD

【点睛】

本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.

解析：ACD

【分析】

令2=。+初代入已知等式，列方程组求解即可知Z的可能值.

【详解】

2222

令z=a+初代入Z2+2|Z|=0，得：a-b+2-Ja+b+2abi=0-

.a2-b2+l^a2+h2=0,f«=0a—0,a=0,

'或或

2ab=Q18=0b=2b=-2,

，z=()或z=2i或z=—2z.

故选：ACD

【点睛】

本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.

，冗冗'\

16.已知复数2=<：05。+人m。--<<?<-(其中i为虚数单位)下列说法正确的是

I21)

()

A.复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限

B.z可能为实数

C.忖=1

D.1的虚部为sin。

Z

答案：BC

【分析】

分、、三种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用复数的模长公式可判断C选

项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D选项的正误.

【详解】

对于AB选项，当时，，，此时复数在复平面内的点

解析：BC

【分析】

7T71

分—巴<。<0、。=0、0<。<一三种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用复数的模

22

长公式可判断C选项的正误；化简复数,，利用复数的概念可判断D选项的正误.

z

【详解】

TT

对于AB选项，当」<。<0时，cos8>0,sin6»<0,此时复数z在复平面内的点在第

2

四象限；

当6=0时，z=-leH；

71

当0<夕〈一时，cos6>>0,sin8>0,此时复数z在复平面内的点在第一象限.

2

A选项错误，B选项正确；

对于C选项，忖=Jcos?g+sin?(9=1,C选项正确；

11cosO-isin。八..八

对于D诜顼,-=------------=7-----------------7—:------------------7=COS0—Isin0,

'zcos0+isin0（cos/sin^）•（cos0-isin0）

所以，复数’的虚部为一sin。，D选项错误.

z

故选：BC.

［产2。

17.已知复数z=H—（i为虚数单位），则下列说法错误的是（）

1-z

A.z的实部为2B.Z的虚部为1C.z=y/2-iD.|z|=J5

答案：AC

【分析】

根据复数的运算及复数的概念即可求解.

【详解】

因为复数，

所以z的虚部为1,,

故AC错误，BD正确.

故选：AC

解析：AC

【分析】

根据复数的运算及复数的概念即可求解.

【详解】

因为复数2=匕^—=上。_2—=上=生12=1+1,

1-z1-z1-z2

所以z的虚部为1,"|=

故AC错误，BD正确.

故选：AC

Z+1

18.设复数z满足——二i,则下列说法错误的是（）

Z

A.z为纯虚数B.z的虚部为

2

C.在复平面内，z对应的点位于第三象限D.|z|=—

112

答案：AB

【分析】

先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.

【详解】

由题意得：，即，

所以z不是纯虚数，故A错误；

复数Z的虚部为，故B错误；

在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C正确

解析：AB

【分析】

先由复数除法运算可得2=-'-'i,再逐一分析选项，即可得答案.

22

【详解】

-111.

由题意得：z+l=zi,即2=---=------i,

1-z22

所以z不是纯虚数，故4错误；

复数z的虚部为-,，故B错误；

2

在复平面内，z对应的点为(-',—')，在第三象限，故C正确；

22

故选：AB

【点睛】

本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算

等知识，考查计算求值的能力，属基础题.

19.若复数z满足(l+i)z=3+i(其中i是虚数单位)，复数z的共轨复数为彳，则

()

A.|Z|=V5B.Z的实部是2

C.z的虚部是1D.复数5在复平面内对应的点在第一象限

答案:ABD

【分析】

把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共

初复数概念得到，即可判断.

【详解】

,故选项正确，

的实部是，故选项正确,

的虚部是，故选项错误,

复

解析：ABD

【分析】

把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数Z,根据共粗复数概

念得到N,即可判断.

【详解】

•.,（l+i）z=3+i,

3+i（3+/）（1-04-2z

7—---=----------=------7—1

-1+z（1+/）（1-/）2

2

.-.|Z|=V2+1=V5-故选项A正确，

z的实部是2,故选项3正确，

z的虚部是—1,故选项C错误，

复数彳=2+i在复平面内对应的点为（2』），在第一象限，故选项。正确.

故选：ABD.

【点睛】

本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础

题.

20.已知复数0="是虚数单位），石是力的共扼复数，则下列的结论正确的

22

是（）

A.苏=。B.af1--1C.692+co+1=0D.（i）＞co

答案:AC

【分析】

根据复数的运算进行化简判断即可.

【详解】

解：.•.所以，

二，故A正确，

，故B错误，

,故C正确，

虚数不能比较大小，故D错误，

故选：AC.

【点睛】

本题主要考查复数的有关概念

解析：AC

【分析】

根据复数的运算进行化简判断即可.

【详解】

解：•••0=—工+且，所以石=_'—I',

2222

=右，故A正确,

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