高中数学必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (八)(含答案解析)

必修二第八章《立体几何初步》单元训练题（高难度）（8）

一、单项选择题（本大题共9小题，共45.0分）

1.已知球。表面上的四点A,B,C,P满足AC=BC=&,AB=2,若四面体PABC体积的最大

值为|,则球。的表面积为（）

A.~7TB.曾兀C.777TD.87r

4916

2.如图，已知三棱锥D—4BC,记二面角C-AB-D的平面角是。，直线OA与平面ABC所成的角

是％,直线D4与BC所成的角是。2，则（）

n

A.。2%B.。w%c.o>e2D.e<e2

3.三棱锥P-ABC中，PC1¥®ABC,且48=BC=C4=PC=2,则该三棱锥的外接球的表面

积是（）

A/B.4兀C.等D.等

4.下列命题中正确的是（）

A.三点确定一个平面

B.与一条直线都相交的三条平行直线确定一个平面

C.一条直线和一个点确定一个平面

D.两条互相垂直的直线确定一个平面

5.已知直四棱柱4BCD-&B1GD1的侧棱长为8,底面矩形的面积为16,一个小虫从C点出发沿

直四棱柱侧面绕行一周后到达线段CQ上一点何，若4M，平面则小虫爬行的最短路程为

（）

A.8B.16C.2V65D.4V17

6.已知正方体的棱长为6,点尸是441的中点，点。是团BDG内的动点，若PQ1

BQ,则点Q到平面/1&GD1的距离的取值范围是（）

A.[3,5]B.E，6C.[4,5]D.[273,6]

7.三棱锥P-ABC中，P41平面48。且P4=2,目48c是边长为次的等边三角形，则该三棱锥外

接球的表面积为（）

A47r

A-TB.47rC.87rD.207r

8.如图，正方体的棱长为1,C,。分别是两条棱的中点，A,B,

是顶点，那么点M到截面43CO的距离是（）

A於

C.；V2

4

DT

9.如图,ABCD-48传1。1是棱长为1的正方体,S-ABCD是高为1的正四棱锥,

若点S,A1，为，Q,5在同一个球面上，则该球的体积为（）

A

A型

*16

R497r

B-7TA4

C817T

・16

n2437r

D・西

二、填空题（本大题共10小题，共50.0分）

10.如图，在棱长为1的正方体中，点尸是对角线AG上的动点（点尸与4cl不重

合）.则下面结论中正确的是

小与

(1)存在点P,使得平面4DP〃平面BiCD1

(2)存在点尸，使得4cl，平面&DP

(3)S],S2分别是在平面41占6。1，平面BBi/C上的正投影图形的面积，对任意的点尸,

都有SiH52

(4)对任意的点P,△&DP的面积都不等于?

11.如图，在三棱柱ABC-AiGCi中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点。是侧面BBiGC的中心,

则A。与平面BBiGC所成角的大小是.

12.在矩形ABCQ中，AB<BC,现将△4BD沿矩形的对角线B。所在的直线进行翻折，在翻折的

过程中，给出下列结论：

①存在某个位置，使得直线AC与直线8。垂直；

②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；

③存在某个位置，使得直线40与直线BC垂直.

其中正确结论的序号是.

13.如图,在长方体ABCD—ATBIGDI中,AB=3cm,AD=2cm,AAt=lcm,则三棱锥&-ABD1

的体积cm3.

14.点A,B,C,。均在同一球面上，4。_L平面ABC,其中△48C是等边三角形，AD=2AB=6,

则该球的表面积为.

15.学生到工厂劳动实践，利用3。打印技术制作模型.如图，该模型

为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆

锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为10夜cm，高

为10cm.打印所用原料密度为0.9g/cm3,不考虑打印损耗，制作该

模型所需原料的质量为___g.（兀取3.14）

16.已知P,A,B,C,O是球。的球面上的五个点，四边形ABCQ为梯形,4Z）〃BC,AB=DC=4D=2,

BC=PA=4,PA上面ABCD,则球O的体积为

17.如图，在棱长为1的正方体ABCD-AiBiGDi中，点E是棱BC上的一点,

则三棱锥昂-的体积等于.

18.如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中：

①BM与EQ平行；②CN与BE是异面直线;

③CN与8M成60。；④DM与8N是异面直线;

以上四个命题中，正确命题的序号是.

19.如图，在长方体4BC0-4&口久中，40=DDi=1，AB=V3，

E,F,G分别为AB,BC,GA的中点，点P在平面ABC。内.若

直线D$〃平面EFG,则线段DiP的长度的最小值为.

三、解答题(本大题共H小题，共132.()分)

20.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面ABC力是正方形，PDL氐面ABC。，PD=AB=2,E、F

分别为AB、PC的中点.

(I)证明：直线EF〃平面PA。；

(II)求三棱锥B-EFC的体积.

21.如图，在多面体ABCCEF中，四边形ABC。是矩形，在四边形ABFE中，4B〃EF,N£;4B=90°,

AB=4,AD=AE=EF=2,平面4BFE_1_平面ABS

(1)求证：4尸1平面8(7/：

(2)求多面体ABCDEF的体积.

22.已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCO是矩形，且4D=2,AB=1,PAJL平面ABC。，E、F

分别是线段AB、BC的中点.

(1)证明：PF1FD

(2)若PA=1,求点4到平面PFD的距离.

23.如图1,在直角梯形ABC。中，AD//BC,AB1BC,BD_LDC,点E是BC边的中点，将△ABD沿

折起，使平面ABD_L平面BCD,连接4E,AC,DE,得到如图2所示的几何体.

(I)求证：AB_L平面AOC；

(II)若AD=1,AB=V2,求二面角B—AD-E的大小.

24.在三棱柱ABC-AiBiQ中，侧面ACGAi1底面ABC,=BC=3,A1B=AC=4,4B=5,

E为AB的中点.

(1)求证：BQ〃平面4CE；

(2)求证：AXA_L平面A/C；

(3)求三棱锥4-ACE的体积.

25.已知四棱锥P-4BCD中，底面A8C。是边长为2的正方形，PA=PD=a,CDLPD,E为

CD的中点.

(I)求证：PDJ_平面PAB；

(H)求三棱锥P-ABE的体积.

26.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面P4B_L平面ABC。，四边形A8C。为正方形，△H4B为等边

三角形，E是PB中点，平面AED与棱PC交于点F.

(1)求证：AD//EF;

(2)求证：PB平面4EFD;

(3)记四棱锥P-AEFC的体积为匕，四棱锥P-ABC。的体积为七,直接写出卷的值.

27.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC力为正方形，P41底面

ABCD,PA=AB,E为线段尸8的中点，尸为线段BC上的动点.

(1)平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如

果不垂直，请说明理由.

(2)若AB=3,尸为线段BC的三等分点，求多面体PAEFCO的体

积.

28.如图所示，在四棱锥P—A8C0中，底面ABC。是边长为1的正方形，PAIJgffiABCD,点M

是侧棱PC的中点，AM上平面PBD.

(1)求PA的长：

(2)求棱PC与平面AMD所成角的正弦值.

29.设三棱锥P-4BC的每个顶点都在球。的球面上,AP/IB是面积为3遮的等边三角形,4C18C,

AC=BC,且平面PZB1平面ABC.

(1)求球。的表面积;

(2)证明：平面POC_L平面ABC,且平面POC_L平面PA8.

(3)与侧面P4B平行的平面a与棱4C,BC,PC分别交于。，E,F,求四面体。。所的体积的

最大值.

30.如图，斜三棱柱ABC-力道£中，△4BC是边长为2的正三角形，。为BC的中点，&。_L平面

ABC,点M在AO上，AM=2MO,N为OQ与名。的交点，且BB】与平面ABC所成的角为也

47K----------------------

(1)求证：MN〃平面4CG41；

(2)求二面角①一OS-B的正弦值.

【答案与解析】

1.答案：A

解析：

本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，是中档题.

可知当平面A8P与平面ABC垂直时，四面体PABC体积最大，求出P到底面ABC的距离，设外接

球半径为R,再由勾股定理列式求得凡则答案可求.

解：当平面A8P与平面A8C垂直时，四面体P48c的体积最大，

由AC=BC=VLAB=2,得4ACB=90°.

设点P到平面ABC的距离为儿

则!X|X>/2XV2X/I=|,解得h=2.

设四面体ABCP外接球的半径为七则R2=(2-R)2+M,解得R=..

所以球O的表面积为47rx(|)2=m兀.

故选A.

2.答案：A

解析：

本题主要考查了直线与平面所成的角以及二面角，属于中档题.

解题时过点。作。6_1平面48(7于£作。尸148,连结AE,EF,根据线面垂直的判定与性质可得

EFLAB,则NDFE=。，4£ME=%,再根据尸与点A重合得0=%,点F与点A不重合得0>%,

从而得出。>

解：过点。作DE_L平面ABC于E,

作。尸148于F,连结AE,EF,

D

"ABu平面ABC,：.DELAB.

同理有DE1AE,DE1EF,

贝此OAE=%,

■■DEnDF=D,DE,DFc^pjgfDEF,

ABJ•平面DEF,

又EFu平面DEF,

则EF1AB,乙DFE=9,

当DALAB,即点F与点A重合时，9=01；

DEDE

当点尸与点A不重合时，sin。=sinZDFE=岩，sin仇=sinNDAE=右，

DFDA

因为DF＜DA,所以。＞%,

所以。＞%.

故选A.

3.答案：D

解析：

本题主要考查了空间几何体的性质，考查三棱锥的外接球表面积，正确求出三棱锥的外接球半径是

关键，属于中档题.根据已知条件得出A28C的外接圆的半径，利用勾股定理得出外接球的半径，

即可求出三棱锥的外接球表面积.

解：•••AB=BC=AC=PC=2,

•1•sinC=T

ABC的外接圆的半径=二一=2,

2sinC3

设三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离为d,则R2=d2+(誓)2=(lpC)2+(第2=z

该三棱锥的外接球半径为产=[,表面积为：4兀/?2=4兀*3=？兀,

故选£).

4.答案：B

解析：

本题考查平面的概念与性质，考查推理能力和空间想象能力，属于基础题.

根据平面的概念与性质，逐项进行判断即可.

解：若三点在同一条直线上，则可以确定无数个平面，A项错误；

显然，与一条直线都相交的三条平行直线确定一个平面，并且四条直线都在这个平面上，8项正确;

若一个点在一条直线上，则可以确定无数个平面，C项错误；

若两条直线异面垂直，则不能确定平面，。项错误.

故选民

5.答案：C

解析：

本题考查线面垂直的性质，直四棱柱的最短距离问题，属于中档题.

根据线面垂直的性质，得出直四棱柱的底面是正方形，再将直四棱柱的侧面展开，从而求出最短路

程.

解：如图，连接AC,BD,设。为AC与BD的交点,

••・棱柱ABC。-48道1劣为直四棱柱，

：.GC平面ABCD,又BDu平面ABCD,

：.BD1GC,

"AM1平面4/0,BDu平面

BD1AM,又4MCGC=M,AMu平面人0口必，GCu平面ACCM],

BD_L平面4CG2,又ACu平面4CG4,

.-.BDLAC,又四边形ABC。为矩形，

二四边形ABCD为正方形，又四边形ABCD的面积为16,

•••AB=BC=CD=DA=4.AO=2>/2,

-AM_L平面4闻，Ar0u平面A/D,

AM1A^O,又44=8,

tanz.AA10-型*=tanz.MAC=—,

1AiAAC

即CM=W&*=2,

8

将直四棱柱4BCD-&BiGDi的侧面沿CCi展成一个矩形，

可知小虫爬行的最短路程为J(4X4"+22=2V65.

故选C.

6.答案：B

解析:

此题考查空间的距离，考查线面垂直的判断及性质，关键是由线面垂直的判断及性质得出。的轨迹.

解：如图：

在正方体中取B/、8。中点R、0,及SC1的四等分点M,

PPi1BCi，PiM1BG，

所以BQ1PPM

则BQ1PM,

又0M1BC],

则BG±P0M,

所以当Q在线段上时，PQ1BCX,

、_QQ

则。到平面a/iCDi的距离最大、小值分别为M、。平面4B1GD1距离6X[=?6,

所以Q到平面&B1GD1的距离范围为岑6].

故选B.

7.答案：C

解析：

本题考查构造直三棱柱求外接球的表面积，考查球的表面积公式，属于中档题，构造三棱柱48C-

PQR，

求出外接球的半径，从而得到表面积.

解：构造直构造三棱柱力BC—PQR,取面ABC的中心”，取面PQR的中心K,连接”K,取HK的

中点0,

所以。为三棱锥外接球的球心，由P4=2,回ABC是边长为旧的等边三角形，

得到4H=yx(V3)2x|=6，OH=1,

所以三棱锥外接球的半径为40“2+4“2=+(百)2=2,

所以三棱锥外接球的表面积为垢.2.2;麻，

故选C.

8.答案：B

解析：

本题主要考查了棱锥的体积的计算和空间中点到面的距离，属于基础题.

根据等体积法即可求出三棱锥M-ABC的高，利用与f8c=%-sc时即可答案.

解:因为C,。分别是两条棱的中点，则四边形A8C。为等腰梯形，因为48=&，CD，BC=在,

由平面几何知识易求梯形的高九'=乎，所以S^BC=4X应X；鱼=：,且SBCM=|xlxl=i,

设点M到平面ABCD的距离为h,

**,利用等体积法，^M-ABC=^A-BCM9

W：lsABC-h=lsBCM-AM,

可得：；x"=；x；,

3432

解得：九=|,

故选B.

9.答案：D

解析：

本题考查球的体积，考查学生的空间想象能力，求出球的半径是关键.

根据已知条件确定球的半径是解题关键.

解：设球的半径为R,

♦.•底面正方形的外接圆的半径为更，

2

2

・,.由勾股定理可得R2=(曰)+(2-/?)2,

・•.R=-

89

球的体积为“R3=售兀.

D1ZO

故选£>.

10.答案：①②④

解析：

本题主要考查了线面垂直的判定，面面垂直的判定，三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌

握线面垂直的判定，面面垂直的判定，三角形面积公式的判断，属于中档题.

根据已知及线面垂直的判定，面面垂直的判定，三角形面积公式的判断，可知结论正确的是哪几个.

解：因为在棱长为1的正方体4BC0-&B1C1D1中，点M是对角线4cl上的动点，

所以①存在点使得平面aDM1平面BC］。；故①正确

②存在点例，使得DM〃平面&CD1；故②正确，

③△4DM的面积可能等于更；故③错误，

6

④若S1，52分别是A/liDM在平面4B1C1D1与平面BB1GC上的正投影的面积，则存在点使得S1

S2.故④正确.

故答案为①②④.

11.答案：60。

解析：

本题考查直线与平面所成的角，属于基础题.

取BC的中点E,可证得J•平面BBiG。，则乙4OE即直线A。与平面BBiGC所成的角，解三角形

可得结论.

解：设三棱柱的棱长为a.取BC的中点E,连接AE,DE.

由题意，可知4E1BC,因为侧棱垂直于底面，所以

因为aBnBC=B,所以4E1平面BBiGC,所以々IDE即直线4。与平面BBiGC所成的角.

在Rt△力ED中，AE=—a，DE=\a,所以tan/AOE=铝=遍，

22DE

所以NADE=60。.

12.答案：②

解析:

本题主要考查空间的线面和面面的垂直关系，翻折问题中的变与不变，空间想象能力和逻辑推理能

力，有一定难度，属中档题目.

先根据翻折前后的变量和不变量，计算几何体中的相关边长，若①成立，则需8。1EC,这与已知

矛盾；若②成立，则A在底面BCO上的射影应位于线段BC上，可证明位于BC中点位置，故②成

立；若③成立，则A在底面BCD上的射影应位于线段CO上，不成立.

解：如图，AE1BD,CF1BD,

A

A___________________D

C

依题意不妨令，AB=1,BC=y[2,AE=CF=―,BE=EF=FD=―,

33

①若存在某个位置，使得直线AC与直线B。垂直，则・••BD14E,

二BDJ■平面AEC,从而BD1EC,这与已知矛盾，排除①；

②若存在某个位置，使得直线A3与直线CD垂直，则CO_L平面A8C,平面ABC_L平面BCD,

取8c中点M,连接ME,则；.NAEM就是二面角4一BD-C的平面角，此角显然存在,

即当4在底面上的射影位于BC的中点时，直线48与直线CD垂直，故②正确；

③，若存在某个位置，使得直线A。与直线BC垂直，则BC，平面ACQ,从而平面4CD，平面BCQ,

即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的，排除③；

故答案为②.

13.答案：1

解析：

本题考查了三棱锥的体积计算公式，属于基础题.

利用乙1-ABD1=即可得出.

解：由长方体的性质可得：点么到平面4BB14的距离为4£>,

则％=VD]—ABB]

1

-§4。,S△ABB1

=ix2x1x3xl=l,

故答案为：1.

14.答案:487r

解析：

本题考查球的表面积，解决本题的关键在于对问题进行合理转化，属于中等题.

先利用正弦定理求出正三角形ABC的外接球的直径2r,然后由已知条件得出三棱锥。-4BC的高九=

AD,最后利用公式2R=传铲"可计算出该三棱锥的外接球的半径R,最后利用球体的表面积

公式可计算出答案.

解：由题意可知，△ABC是边长为3的正三角形，该三角形的外接圆的直径为2「=看=2百，三棱

锥。-ABC的高为九=AD=6,

22

所以，三棱锥。-ABC的外接球的直径为2R=J(2r)2+F=J(2A/3)+6=4遮，

2

因此，该球的表面积为4兀产=7rx(2R)2=兀x(4V3)=48v，

故答案为487r.

15.答案：358.5

解析:

本题考查正方体和圆锥的体积公式的应用，根据体积公式求出制作该模型所需材料的体积，再乘以

材料的密度即可得到答案，属于中档题.

解：设被挖去的正方体的棱长为xcm,圆锥底面半径为r,

则凫=U=受=婚，

rh57210

解得％=5.

所以制作该模型所需材料质量约为：

m==0.9-h—工，

二().3n-x50x10-0.9x125=358.5(g).

故答案为358.5.

16.答案：上立兀

3

解析：

本题考查简单组合体及其结构特征，球的表面积和体积，属于中档题.

先求出梯形ABC。的外接圆半径，再求球的半径，最后根据球的体积公式计算，即可得到的答案.

解：因为四边形A8CD为梯形，AD//BC,AB=DC=AD=2,BC=4,易求梯形的高为我，

从而得NOCB=60°,Z.DBC=30°,/.BDC=Z.BAC=90。，

所以8c的中点M为梯形ABC。的外接圆圆心，外接圆的半径为2,

又•••PA1平面ABC。，BC=PA=4,所以RMP力D的外接圆半径为遍,

球心到面PAD的距离为梯形的高为B，

所以球的半径R=VT+3=2V2.

故球的面积为4兀/?2=丝包.

3

故答案为婚兀.

3

17.答案：J

6

解析：

本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养;

由VD1-B1c1E=利用等积法能求出三棱锥D「BWiE的体积.

解：••・在棱长为1的正方体ABC。中，E是棱BC上的一点，

•1.E到平面&D1G的距离h=1,

SABMCI=-xlxl=-,

1111

•*,力i-BiQE=VE-BIDIG=3.°九=5X5X1=}

故答案为:.

6

18.答案：③④

解析：

本题考查异面直线的判定，异面直线及其所成的角，空间中直线与直

线之间的位置关系，几何体的折叠与展开，考查空间想象能力，是基

础题.

将展开图复原为儿何体，如图，根据正方体的几何牲，分别四个命题

的真假，容易判断选项的正误，求出结果.

解：展开图复原的正方体如图，不难看出:

①BM与ED平行；错误的，是异面直线；

②CN与8E是异面直线，错误；是平行线;

③CN与成60。；正确；

④OM与BN是异面直线.正确，

判断正确的答案为③④.

故答案为③④.

19.答案:-

2

解析：

本题考查线面平行的判定，三角形的面积公式，为较难题.

首先证明线面平行，可得点P在直线AC上，由己知和三角形的知识可得答案.

解：如图，连接。遇，AC,DiC.因为E,F,G分别为AB,BC,6%的中点，

所以AC//EF.又4cu平面ACDi，EFC平面AC%,则EF〃平面4。名.

因为EG〃/ID]，所以同理得EG〃平面力CD】.又EFCEG=E,

所以平面力CDi〃平面EFG.因为点尸在平面ABC。内，直线QP〃平面EFG,

所以点尸在直线AC上.AD=DDr=1,AB=陋,

则A]=V2,AC=2,CDi=2,

SMDQ=：X/xJ22一（争2=

V7L

故当&PLAC时，线段。1P的长度最小，由等面积法得最小值为了二=立.

2X22

故答案为多

AEB

20.答案：解：（I）证明：取PO的中点G,连AG,FG,

・••F是PC中点，则R7〃CD且FG=|CD,

•••在正方形A8CZ）中，E为A8中点，则AE〃C。且AE=|CD,

四边形AErG是平行四边形，

EF\\AG,

又丫EFC平面PAD,AGu平面PAD,

：.EF〃平面PAD；

(口)S、B「E=-x1X2=1,

VPD_L底面ABCD,且尸为PC中点，

F到平面BCE的距离为=1,

---%-EfV=^F-BCE=QSIIB'E•(\PD)=X-

即三棱锥8-EFC的体积为!.

解析：本题考查直线与平面平行的判定定理，空间几何体的体积求法，考查空间想象能力以及计算

能力.

⑴取PD中点G,连接FG,AG,由三角形中位线定理可得FG〃OC,FG=|DC,结合已知可得FG=AE,

FG//AE,则四边形AEFG为平行四边形，则EF〃4G,再由线面平行的判定可得直线EF〃平面PAD；

(2)利用转换三棱锥顶点即可求得体积，依题意得SABS-；x1x2L，点F到平面8CE的距离

为;PD=1,利用/_EFC=/_BEC求解可得.

21.答案：解：⑴・・,平面ABFE_L平面A8C。，平面48尸En平面A----------

ABCD=AB,CBLAB,\//；

・・.CBJ_平面ABFE,结合2/G平面ABFE,//X/7^\'Z

・・•AF1CB

在直角梯形ABFE中，AB"EF,LEAB=90°AE=EF=2

AF=yjAE2+EF2=2>/2/.FAB=45°

△4B尸中，AB=4,根据余弦定理得:

BF=y/AF2+AB2-2AF-AB=2^2

•••BF2+AF2=AB2=AF1FB.

CBC\FB=B,

：.AF1平面BCF....（6分）

(2)分别取C£>、AB中点G、H,连接GH、G尸和FH

由(1)的证明知三棱柱D4E-GHF是直三棱柱三棱柱DAE-GHF

1

V三棱柱DAE-GHF=SMED,EF=yD.4E,EF=4

又•.・平面4BFE_L平面ABCD,平面4BFEn平面力BCO=AB,

等腰中，中线

•••FH，平面ABC。，FH是四棱锥F-BCGH的高线

118

"V四棱锥F_BCGH=QS矩形BCGH,FH=gGC•GH•FH

on

所以多面体ABC。。的体积V=V三棱肋AE-GHF+V四棱锥F-BCGH=3…("分)

解析：(1)首先利用平面A8FE与平面ABC。互相垂直，结合面面垂直的性质得到AF与CB垂直，

然后利用余弦定理在A4BF中计算出BF的长，^.]f0BF2+AF2=AB2,得出最后运用直

线与平面垂直的判定定理，得到4F1平面BCF；

(2)分别取CD、AB中点G、H,连接GH、G尸和FH,将多面体分割为一个直三棱柱和一个四棱锥.然

后利用(1)中的线面垂直、线线垂直关系和线段长度，分别计算出直三棱柱和四棱锥的体积，最后可

求出求多面体ABCDEF的体积.

本题是一道立体几何的综合题，着重考查了利用棱柱、棱锥、棱台的体积公式求组合几何体的面积、

体积问题和平面与平面垂直的性质及直线与平面垂直的判定等知识点，属于中档题.

22.答案：(1)证明：连接AF,则力尸=鱼，DF=应,卜

又4D=2,。片+小二加，...°F1A?，/<\

又P4J_平面A8CDCF1P4又PAnAF=A,/.411_________

DFPAF,r/\\

又PFu平面PAF,

DF1PF.

(2)解：VP.AFD=lshAFD-=|x1x1=J,

^A-PFD=^P-AFD»

lz1c>1V6,1

J^A-PFD=g^APFD•九=§•万*%

解得/=渔，

3

即点A到平面PFD的距离为渔.

3

解析：(1)连接4凡通过计算利用勾股定理证明OF12F,证明DF1P4推出DF1平面PA凡然

后证明OF1PF.

(2)通过以_PFD=Vp-AFD，转化求解点A到平面PFD的距离即可.

本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，点到平面的距离距离的求法，考查计算

能力以及空间想象能力.

23.答案：解：(I)证明：•••平面ABD1平面BC£>,平面力BDn平面BCD=BD,DCc^fgfBCD,

又。BlDC,所以OC平面A8O,

因为力Bu平面A8£),所以CO1B,

又4)1AB,DCdAD=D,DC,ADADC,

所以4B，平面AOC；

(H)•••AB=夜，AD=1,DB=V3>

依题意△ABDfDCB,

所以冷*，畔=詈二或=遍，

以。为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标D-%yz,

则0(0,0,0),5(V3,0,0),C(0,V6,0),以苧,孚,0),4(今0净,

屁=(今日,0),罚=等0净,

由(I)知平面DAB的法向量芭=(0,1,0).

设平面AQE的法向量访=(x,y,z)

z百

o

/m=一X+N/-6y-

.2

由l2

D罚E

n6

=X+V6-z-O

x一

m-33

令％=V6,可取福=(\/6,-v3,—\/3)»

所以cos<n,m>=

由图可知二面角B-AD-E的平面角为锐角,

所以二面角B-AD-E的大小为60。.

解析：本题考查了空间线面垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题.

(I)只需证明DC_L4B,由4。148,DCnAD=D,得4B1平面ADC；

(H)易得CD=遥，建立空间直角坐标D-xyz,则。(0,0,0),B(6,0,0),C(0,V6,0),E(今今0)，

4(今0,9)，求出平面DAB的法向量，平面ADE的法向量，求出cos<元示,，可得二面角B-AD-

E的大小为60。.

24.答案：证明：(1)连接AG，设4CCAG=F，则/为AG的"I--------------------------

因为E为AB的中点，/y/xy/

所以EF//BQ.X/A/

又BQC平面&CE,EFu平面&CE,

所以BCi〃平面&CE.B

(2)在△4BC中，由BC=3,AC=4,AB=5,得乙4cB=90。,即〉C14C；

在中，同理可得

因为侧面4CC141，底面ABC,侧面力CQ4iCI底面ABC=AC,BCu平面ABC,

所以BC1平面ACC/i.

乂44u平面4CC14,

所以BC1

又A/CBC=B,44BCu平面&BC,

所以1•平面&BC.

解：⑶因为4遇_L平面&BC,&Cu平面&BC,

所以4遇_L&C.

在直角△44修中，由441=3及4c=4,

得—^AC2—AA1—V42—32-V7•

所以匕1-4CE=2^At-ABC=J^B-AA^C

=j-|sC-5AX41C=|-3-(|-3-V7)=^.

解析：本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查三棱锥的体枳的求法，考查空间中线线、线面、

面面间的位置关系等基础知识，是中档题.

(1)连接AG，设&Cn4G=F,则尸为力G的中点，从而EF〃BG曲此能证明8G〃平面&CE.

(2)推导出4clBC,ArALArB,BCLArA,由此能证明4送1平面&BC.

(3)推导出4〃1&C.再由1%-ACE=J匕1-ABC=2%一力41。，能求出三棱锥&-4CE的体积.

25.答案：(I)证明：在^PBC中，由P4=PD=&,BC=CD=2,CD1PD,

可得，PB2=PC2+BC2,PD2=PC2+DC2,

APC1BC,PC1CD,

又BCCCD=C,

又PDu平面PBC,

PD_L平面PAB；

(口)解：由E为PA中点，可知点E到平面ABC。

的距离等于点P到平面ABCD的距离的一半.

由（I）知PC1平面ABC。，

则0-48E=%-BDEWXS正方形ABCDXPC

=-X-X22X4=~.

323

故三棱锥P-ABE的体积为条

解析：（I）由已知求解三角形PCIBC,PCLCD,再由线面垂直的判定可得PC_L平面A8CD,进一

步得到PD，平面PAB；

（H）由E为PA中点，可知点E到平面ABCD的距离等于点P到平面ABC。的距离的一半，由（I）知

PC，平面ABCD,然后利用等积法求三棱锥P-BDE的体积.

本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是

中档题.

26.答案：解：（1）证明：因为ABCQ为正方形，所以AO〃BC.

因为4DC平面PBC,BCu平面PBC,

所以40〃平面PBC,

因为ADu平面AEFD,平面AEFD。平面PBC=EF,

所以4D〃EF；

（2）证明：A8CQ为正方形，

:.AD1AB,

••♦平面P4B，平面ABCD,平面PABn平面ABCD=AB,

ADu平面ABCD,

•••AD1平面PAB,

vPBu平面PAB,

AD1PB,

•••△P4B为等边三角形，E是PB中点，

・•・PBLAE,

vAEAEFD9ADAEFDfAEC\AD=Af

PBJL平面AEFD；

(3);ABC。为正方形,

AD//BC,

D匕-----------%

VAD,平面PBC,BCU平面PBC,

40〃平面PBC,

"ADu平面AEFD,平面4EFDn平面PBC=EF,

AD//EF,=yC-AEFDi

22

^E-ABC=^F-ADC=3^C-AEFD=三匕，

A^BC-AEFD=§匕，

则力-力BCD=匕+|匕=弓匕'

，幺=。

**V28*

解析：本题考查直线与平面平行的判定和性质，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能

力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题.

⑴先证明出4D〃平面PBC,即可得到4D〃EF；

(2)由438为正方形，可得40_L48.结合面面垂直的性质可得40，平面PZB.从而得到4D1PB.再

由已知证得P814E.由线面垂直的判定可得PBJL平面AEfA

(3)由条件知，9=%_AEFD，利用等积法把彩用匕表示，则段的值可求.

27.答案：解：(1)解法一：平面AEF与平面P8C互相垂直，

理由如下：\\\.

因为P4_L底面ABC。，BCu平面A8C£),所以24_LBC.

因为A3CD为正方形，所以4B_LBC

AB

又24nAB=4且PA,ABu平面PAB,

所以BC1平面PAB.

因为AEu平面PAB,所以AE1BC.

因为PA=AB,E为线段PB的中点，所以AE1PB,

又PBCBC=B,且PB,BCu平面PBC,所以4E1平面P8C,

因为4Eu平面AEF,所以平面4EF，平面PBC.

解法二：平面AEF与平面P8C互相垂直，

理由如下：

因为PA1底面ABCD,PAu平面PAB,所以平面R4BJ-底面ABCD,

又平面P4Bn底面ABCD=4B,BCLAB,BCu平面ABCQ,

所以8c_L平面PA8.

因为AEu平面尸48,所以4E1BC,

因为P力=AB,E为线段PB的中点，所以4E1PB,

又PBCBC=B,且P8,BCu平面PBC,所以4EJ■平面P8C,

因为4Eu平面AEF,所以平面4EF，平面PBC.

(2)因为P4，底面ABC。，E为线段P8的中点，

所以点E到底面ABCD的距离为=|,

则Vp_48CD=§x3x3x3=9,

又尸为线段BC的三等分点，

当BF=：BC=1时，VE_ABF=iX(iX3X1)X|=2,

所以多面体PAEFCD的体积为VPTBCD-VE-ABF=9一;午，

当BF=扣。=2时，VE_ABF=iX(iX3X2)X|=|,

所以多面体PAEFCD的体积为/_.功~VE-ABF=9-|=y.

综上，多面体PAEFCD的体积为？或厚

42

解析：(1)法一：推导出P41BC.4BJ.BC,从而BC_L平面PAB,进而4E1BC.推导出4E1PB,从

而AE1平面PBC,由此得到平面AEF，平面PBC.

法二：由PAJL底面ABC。，得平面P4BJL底面ABCD,由BCJ.4B,得BCJL平面P4B.从而AE18C,

推导出力E_LPB,从而4E_L平面P8C,由此得到平面AEF1平面PBC.

(2)点E到底面ABC。的距离为扣A=|,则"_谢0="3*3*3=9,由F为线段BC的三等分

点，根据BF=”C=1和BF=|BC=2两种情况，分别求解多面体PAEFCD的体积.

本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、空间几何体的体积等基础

知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，考查的数学素

养主要有逻辑推理、直观想象等.

28.答案：解：方法一：设PA=a.在四棱锥P-4BCD中，因为底面ABCO是边长为

1的正方形，PAJ■底面A8C£>,如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP分别

为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz,

则4(0,0,0),8(1,0,0),C(l,l,0),D(0,l,0),P(0,0,a).

因为“是侧棱尸C的中点，所以〃的坐标为©,*),

所以前=G，f~BD=(-1,1，0),'BP=(-1,0,a).

(1)因为4M，平面PBD,即祠_L平面PBD,

所以翔•前=宿•而=0.

所以—工+4=0,解得Q=l.

22

所以PA=1.

(2)设平面AMD的法向量为"=(x,y,z).

因为亦=(o,i,0)，祠=(m),

由/n•而=0,徨0=°，,.(y=o,

1n.祠=0,七(x+y+z)=0p,'[x+z=0.

取z=1,得％=-1,从而得到平面AMD的一个法向量n=(-1,0,1).

又渭所以cos<〃，诙>=晶=高=孚

设PC与平面AMD所成角的为。，则sin®=|cos<",CP>\=—.

13

因此，PC与平面AM。所成角的正弦值为理.

3

方法二：(1)设P4=a.连结AC,交20于点。.连结P。，与AM交于点G.在四棱锥P-4BC。中，因

为底面ABCD是边长为1的正方形，所以4C=BD=VI，。是AC的中点，所以40=立.