2023-2024学年广东省广州市黄埔区高一下学期5月联考数学质量检测试题（含解析）

/2023-2024学年广东省广州市黄埔区高一下学期5月联考数学质量检测试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数的虚部是（

）A．1 B． C． D．2．已知一组数据：125，121，123，125，127，129，125，128，130，129，126，124，125，127，126.则这组数据的第25百分位数和第80百分位数分别是（

）A．B．C．D．.53．设，向量，，且，则（

）A． B． C．10 D．4．郑州市某家保险公司的保险产品有以下五种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险.各种保险按相关约定进行参保与理赔，该保险公司对五个险种的参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图，则以下四个说法中正确的是（

）A．42-53周岁客户人数是不低于54周岁的客户人数的4倍多B．不低于54周岁客户参保总费用最多C．丁险种人均参保费用最低D．戊险种参保人都是42-53周岁的客户5．已知，则的值为（

）A． B． C． D．6．在中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是（

）A． B． C． D．7．在梯形中，若，且，则（

）A． B． C． D．8．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．有下列说法其中正确的说法为（

）A．若，则B．若，则存在唯一实数使得C．两个非零向量，若，则与共线且反向D．若分别表示的面积，则10．如图是函数（，，）的部分图像，则（

）

A．的最小正周期为B．是的函数的一条对称轴C．将函数的图像向右平移个单位后，得到的函数为奇函数D．若函数（）在上有且仅有两个零点，则11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（

）A．B．若，则A=BC．若，则；若，则D．12．如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（

）A．平面截正方体所得截面面积为B．点F的轨迹长度为C．存在点F，使得D．平面与平面所成二面角的正弦值为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．在平行四边形中，对角线与相交于点O，若向量，对应的复数分别是，，则向量对应的复数是.14．已知圆台上下底面半径分别为3，4，圆台的母线与底面所成的角为45°，且该圆台上下底面圆周都在某球面上，则该球的体积为．15．如图，无人机在离地面高300m的A处，观测到山顶M处的仰角为、山脚C处的俯角为，已知，则山的高度MN为m．16．已知中，角、、所对的边分别为、、，，的角平分线交于点，且，则的最小值为．四、解答题17．已知，，.(1)求的值；(2)求向量与夹角的余弦值．18．中，.（1）求；（2）若，且，求面积.19．在四面体ABCD中，CB=CD，，且E，F分别是AB，BD的中点，求证：（I）直线；（II）．20．设函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，求函数的值域.21．某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)用分层随机抽样的方法从两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人；(2)根据样本频率分布直方图估计样本的平均数；(3)现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线．（精确到1）22．如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示.(1)在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由；(2)求二面角的平面角的正切值.1．C【分析】根据复数的除法和共轭复数以及复数的虚部概念求解即可,【详解】，则其共轭复数为，其虚部为，故选：C.2．D【分析】根据百分位数的计算方法即可求解.【详解】把这15个数据按从小到大排序，可得121，123，124，125，125，125，125，126，126，127，127，128，129，129，130，由25%×15＝3.75，80%×15＝12，可知数据的第25百分位数为第4项数据为125，第80百分位数为第12项与第13项数据的平均数，即×(128＋129)＝128.5.故选：D3．D【分析】根据题意，列出方程求得，结合向量的坐标运算，即可求解.【详解】由向量，，因为，可得，解得，所以，所以.故选：D.4．A【分析】根据条形统计图、扇形统计图和拆线统计图中所反应的数据逐一判断可得选项.【详解】解：对于A，观察参保人年龄分布的扇形图，42-53周岁客户人数占比33%，不低于54周岁的客户人数占比8%，42-53周岁客户人数是不低于54周岁的客户人数的4倍多，故A正确；对于B，统计图显示的是人均参保费用，由于人数未知，故不能确定哪个年龄段参保总费用最多，故B错误；对于C，由参保险种比例，丁险种参保比例最高，但统计图看不出丁险种的人均参保费用，故C错误；对于D，戊险种的参保人占比33%，42-53周岁客户人数占比33%，但统计图看不出两者相同，故D错误.故选：A.5．A利用两角和与差的余弦公式结合二倍角的余弦公式化简可求得所求代数式的值.【详解】.故选：A.本题考查利用两角和、差的余弦公式以及二倍角的余弦公式求值，考查计算能力，属于基础题.6．A【分析】由，且，得到，利用余弦定理求解.【详解】因为，且，所以，所以，因为，所以，故选：A7．A【分析】根据平面向量的基本定理化简，可得答案.【详解】由题意，，化简得，即，则，故选：A.8．C【分析】由正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式可得，推出，则,结合锐角三角形确定B的范围，继而将不等式恒成立转化为恒成立，结合对勾函数的单调性，即可求得答案.【详解】由可得，结合,可得，即，由于在锐角中，，故，则,则,又，所以恒成立，即恒成立，即恒成立，因为，故，令，则函数在内单调递增，故，即，故，故选：C方法点睛：（1）三角等式含有边角关系式时，一般利用正弦定理转化为角或边之间的关系进行化简；（2）不等式恒成立问题一般转化为函数单调性或最值问题解决；（3）一般要注意利用基本不等式或者函数单调性比如对勾函数的单调性，求解函数最值或范围.9．CD【分析】利用向量的传递性和向量的线性运算及向量共线的充要条件可判断A、B、C项，运用三角形重心向量的表示和性质，结合三角形面积的求法可判断D项.【详解】对于A项，若，且，则，故A项错误；对于B项，若，且，则存在唯一实数使得，故B项错误；对于C项，两个非零向量，若，则与共线且反向，C项正确；对于D项，因为，整理得如图所示：

故,所以三点共线；故，,所以，故，故D项正确.故选：CD.10．AD【分析】先根据图像可得，即可判断A；令解出即可判断B，接下来求得，即可得到的解析式，根据图象平移判断C；令，解出函数零点，然后根据在上有且仅有两个零点列出不等式解即可判断D.【详解】由图像可知，，，即，故A正确；，此时，又在图像上，，解得，，，，，当是函数的一条对称轴时，此时不符合题意，故B错误；将的图象向右平移个单位后得到的图象对应的解析式为：不为奇函数，故C错误；令，解得，当时，，不合题意时，；时，；时，；又因为函数在上有且仅有两个零点，解得，故D正确.故选：AD.11．ACD【分析】对于A，利用正弦定理进行验证；对于B，由，可得或，即可判断；对于C，利用正弦定理以及三角形中大角对大边进行证明；对于D，利用正弦定理以及比例的性质即可证明.【详解】对于A，由正弦定理，可得，，故A正确.对于B，由及两角为三角形内角，可得，或，即或，故B错误；对于C，在中，由正弦定理可得，，因此是的充要条件，故C正确；对于D，由正弦定理，可得右边左边，故D正确.故选：ACD12．AC【分析】取CD中点G，连接BG、EG，计算截面的面积后判断A的正误，取中点M，中点N，则点F的运动轨迹为线段MN，故可判断B的正误，取MN的中点F，则可判断，故可判断C的正误，而即为平面与平面所成二面角，计算其正弦值后可判断D的正误.【详解】取CD中点G，连接BG、EG，则等腰梯形为截面，而，，故梯形面积为，A正确；取中点M，中点N，连接，则，故四边形为平行四边形，则得，而平面，平面，故平面，同理平面，而，平面，故平面平面，∴点F的运动轨迹为线段MN，其长度为，B错误；取MN的中点F，则，∴，∵，∴，C正确；因为平面平面且，，∴即为平面与平面所成二面角，，D错误．故选：AC.13．【分析】利用复数的几何意义，由求解.【详解】因为向量，对应的复数分别是，，所以故本题主要考查复数的几何意义以及平面向量的减法运算，属于基础题.14．【分析】根据圆台轴截面及已知求圆台的高，再根据球体半径与圆台上下底面半径的几何关系列方程求出球体半径，进而求球体的体积．【详解】由题意，作出圆台的轴截面如下图示,故，

设球心为，球半径为，由于，则，可得，所以该球体积为．故15．450【分析】由直角三角形求得，再在△AMC中，由正弦定理求得，然后在直角三角形中求得．【详解】∵，∴，∵，又，，∴，在△AMC中，由正弦定理得，∴．故450．16．【分析】利用等面积法可得出，化简可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为，的角平分线交于点，且，因为，即，即，即，所以，，所以，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为.17．(1)(2)【分析】（1）由，可求的值；（2）利用向量数量积求出，，再由向量数量积求夹角的余弦值.【详解】（1），由，得，所以.（2）因为，，所以，.令向量与的夹角为θ，则，即向量与夹角的余弦值是.18．（1）；（2）.【分析】（1）通过正弦定理把中的边换成角的正弦值，化简求得cosB，进而求得sinB．（2）通过余弦定理求得c，代入三角形的面积公式，进而求得△ABC的面积．【详解】（1）由正弦定理，得即sinBcosC+cosBsinC＝3sinAcosB∴sin（B+C）＝3sinAcosB∵A+B+C＝180°∴sinA＝3sinAcosB∵0°＜A＜180°∴cosB∴sinB（2）由余弦定理，cosB，再由b＝4，a＝c，cosB得c2＝24∴S△ABCacsinBc2sinB＝819．（I）证明见解析．（II）证明见解析．【详解】证明：（I）E，F分别为AB，BD的中点．（II），又，所以．20．（1）函数递增区间为，（2）【分析】（1）化简，再根据正弦函数的单调增区间即可．（2）根据（1）的结果，再根据求出的范围结合图像即可．【详解】解：（1）由，则函数递增区间为，（2）由，得则则，即值域为本题主要考查了三角函数的性质，常考三角函数的性质有：对称轴、单调性、最值、对称中心．属于中等题．21．(1)；(2)84.5(3)【分析】（1）先由频率分布直方图的频率求法求得两个区间样本中的学生人数，按照分层抽样的方法即可求得结果；（2）由平均数的计算公式直接计算即可求解；（3）根据题意，利用频率分布直方图的面积即频率，可求得使后段区间频率为时的区间左端点，即所求最低分数线.【详解】（1）依题意，设区间中应抽人，区间中应抽人，得成绩在区间样本中的学生人数为：；成绩在区间样本中的学生人数为：；所以，解得，所以区间中应抽人，区间中应抽人.（2）根据样本频率分布直方图估计样本的平均数为.（3）由频率分布直方图易得，的频率为，的频率为，所以成绩良好的最低分数线落在区间中，不妨记为，故，解得，所以成绩良好的最低分数线为.22．(1)存在，(2)2【分析】（1）设的中点为N，证得四边形DENF是平行四边形，得到，得出平面，进而得到结论；（2）连接CE