第十五章 第2讲 分式的运算 讲义 (知识精讲+典题精练)2023-2024学年人教版八年级数学上册

第2讲分式的运算【中考考纲】考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用分式的运算分式的乘除和加减√分式综合运算√分式的化简求值和大小比较√【知识框架】分式的乘除和加减分式的运算分式的乘除和加减分式的运算分式的综合运算分式的化简求值分式的大小比较

模块1分式的综合运算【知识精讲】分式的乘除法分式的乘除法：，2、分式的约分和通分：关键是先分解因式．分式的约分：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，分式的值不变．最简分式：分子与分母没有公因式．分式的通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，把几个异分母的分式化成同分母的分式，不改变分式的值．最简公分母：“各个分母”和“所有因式”的最高次幂的积．3、分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．4、注意：、、、仅仅是一个符号，它们可以表示数，也可以表示式子（单项式、多项式等），但必须要使分式有意义，所以很多时候需要考虑字母的取值范围．二、分式的加减法：1、分式的加减法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减，（2）异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减，2、知识规律小结：分式的加减法是分式运算中的重点与难点，怎样合理的通分是化解这一难点的关键，需要注意的技巧包括分步通分，分组通分，先约分后再通分，换元后通分等．三、分式的综合运算分式的综合运算法则：先乘方，再乘除，最后加减，遇到括号先算括号里面的．注意：在进行分式的综合运算时，要注意合理的通分、约分、分解因式，尽量用最简单的方法和步骤完成答题过程．

【经典例题】下列等式从左到右的变形正确的是（）． B. C. D.计算：．计算：．计算：．计算：．计算：．若满足，请你选择一个合适的数，使得代数式的值为一个奇数．

计算：．已知实数，，满足，，那么的值（）．是正数 B.是零 C.是负数 D.可正可负已知：，则分式的值是_________．计算：．计算：．已知与的和等于，则________，________．已知为整数，且为整数，则所有符合条件的值的和为__________．已知，则关于的方程的解是__________．已知,,，则__________．计算：．计算：．计算：．计算：．计算：．计算：．

模块2分式的化简求值【知识精讲】分式的化简与求值分式的化简求值分为有条件和无条件两类有条件化简求值指导思想：瞄准目标，抓住条件，依据条件推导目标，根据目标变换条件分式的化简与求值常用方法和技巧：、分步或者是分组通分、拆项相消或拆分变形、整体代入、取倒数或者利用倒数关系、换元、先约分后通分

【经典例题】先化简，再求值：，其中．先化简，再求值：，其中．化简，求值：，其中满足．如果,,那么等于（）．A. B. C. D.已知，，均为实数，且，求的值．

已知，求代数式的值．

已知，则__________．若，，，且，则的值为__________．已知，且，则__________．已知，则的值是__________．已知，则__________．已知，，均不为零，且满足，则的值是____________．设，，是三个互不相同的正数，，那么（）．B.C.D.已知，且，则的值等于（）．B.C.或D.设，，满足且，则的值等于（）．B.C.D.已知，则=_________．已知：，求（1）；（2）；（3）的值．

模块3分式的大小比较【知识精讲】分式的大小比较（1）作差：若，则（2）作商：若，且，则；若，且，则注意：分式的大小比较主要思想是作差和0比较大小，作商和1比较大小，对于稍复杂的题目往往先对分式做一些变形，常用的技巧有添项、换元、通分，在进行作差或者作商；用作商法比较分式的大小时，要注意符号的问题

【经典例题】已知，按照从小到大的顺序排列下列式子：，，，．已知，，为正数，且，若，，则与的大小关系是（）．B.C.D.随，，的取值而变化已知，，都是正数，且，试证明分式的值总小于的值．设，，都是正数，若，则，，三个数的大小关系是（）．B.C.D.已知，，是中三边长，则与的大小关系是（）．A.B.C.D.随，，的取值而变化，两个家庭同去一家粮店购买大米两次，两次大米的售价有变化，但两个家庭购买的方式不同．其中家庭每次购买千克，家庭每次用去25元，且不问购买大米各多少，问谁的购买方式合算？

【随堂练习】化简：_________________．已知，则的值等于（）．A. B. C. D.若，则的值为（）．

A. B. C. D.

当时，代数式的值是（）． B. C. D.

若，，满足，则，，中（）．

A．必有两个数相等 B．必有两个数互为相反数C．必有两个数互为倒数 D．每两个数都不相等 已知甲乙两位采购员同去一家饲料购买两次饲料．两次的价格有变化，两位采购员的采购方式也不同，其中甲每次购买千克，乙每次都用元．问：（1）甲、乙所购买饲料的平均单价各是多少？（2）谁的购买方式更合算？【课后作业】已知：，则__________．

已知，且，则的值是________．

计算：．

先化简，再求值，其中．若实数，，满足，，，则__________．

任何一个单位分数都可以写成两个单位分数的和：（都是正整数），显然，这里的都大于如果设,那么有．（1）探索上式中的正整数，与正整数之间存在什么关系？（2）写出等于两个单位分数之和的所有可能的情