2024-2025学年新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.3.2抛物线的简单几何性质分层作业新人教A版选择性必修第一册

3.3.2抛物线的简洁几何性质A级必备学问基础练1.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于()A.2 B.1 C.4 D.82.过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个公共点的直线有()A.4条 B.3条 C.2条 D.1条3.在同一平面直角坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)表示的曲线大致为()4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为43,则抛物线方程为()A.y2=6x B.y2=8xC.y2=16x D.y2=1525.设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离为d1,到直线l:3x+4y+12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为()A.2 B.153 C.166.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=8,则p=.

7.已知正三角形的一个顶点位于坐标原点,另两个顶点在抛物线y2=2x上,则这个正三角形的边长是.

8.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若AP=3PB,求|AB|.B级关键实力提升练9.已知抛物线C:x2=4y的焦点为B,C的准线与y轴交于点A,P是C上的动点,则|PA||A.3 B.2 C.23 D.2210.(多选题)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,l为抛物线的准线,A,B为抛物线上随意两点,M(1,-3),O为坐标原点,则下列说法正确的有 ()A.过点M与抛物线C有且只有一个公共点的直线有两条B.|AM|与点A到直线l的距离之和的最小值为3C.若直线AB过点F,则抛物线C在A,B两点处的切线相互垂直D.若直线OA与OB的斜率之积为-14,则直线AB过点11.已知A是拋物线x2=4y的对称轴与准线的交点,B为抛物线的焦点,点P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()A.2+12 B.2C.5+12 D.512.已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且线段AB恰好被点P(2,2)平分.(1)求直线l的方程.(2)抛物线上是否存在点C和D,使得C,D关于直线l对称?若存在,求出直线CD的方程;若不存在,请说明理由.13.已知抛物线C:y2=2px(0<p<10),F为抛物线的焦点,D(8,y0)为抛物线上一点,点E为点D在x轴上的投影,且|DE|=45(1)求C的方程;(2)若直线l与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,OA⊥OB,求证:直线AB过定点.

参考答案3.3.2抛物线的简洁几何性质1.C抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-p2,因为P(6,y)为抛物线上的点,所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离,所以6+p2=8,所以p=4,所以焦点F2.B当过点P(0,1)的直线斜率存在时,设其方程为y=kx+1,由方程组y=kx+1,y2=2x,消去y,得k2x2+(2k-2)x+1=0,若k=0,则-2若k≠0,则令Δ=(2k-2)2-4k2=0,解得k=12,此时直线与抛物线相切,只有一个公共点当过点P(0,1)的直线不存在斜率时,该直线方程为x=0,与抛物线相切,只有一个公共点.综上,过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个公共点的直线有3条.3.D(方法1)将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为x21a2+y2因为a>b>0,所以1b>1a>0,所以椭圆的焦点在y轴上,抛物线的焦点在x(方法2)在方程ax+by2=0(a>b>0)中,将y换成-y,其结果不变,即ax+by2=0表示的曲线关于x轴对称,解除B,C;由方法1知椭圆的焦点在y轴上,解除A.故选D.4.B设点M(xM,yM),则由|MF|=4|OF|得xM+p2=4×p即xM=32p,则yM2=3则|yM|=3p,则S△OMF=12×p2解得p=4,即抛物线的方程为y2=8x.5.A由y2=4x,3x+4y+12=0,得3y2+16则直线3x+4y+12=0与抛物线相离.又d1+d2=d1+1+d2-1,而d1+1为点P到准线x=-1的距离,故d1+1等于点P到焦点F(1,0)的距离,从而d1+1+d2的最小值为点F到直线3x+4y+12=0的距离,即|1×3+0×4+12|326.2(方法1)依据过焦点的弦长公式可知|AB|=2psin2α(方法2)∵点Fp2∴直线AB的方程为y=x-p2,将其与y2=2px联立,消去y,得x2-3px+p24设点A(xA,yA),B(xB,yB),由根与系数的关系知xA+xB=3p,xAxB=p2|AB|=2(xA+解得p=2.7.43依据抛物线的对称性可知,正三角形另外两个顶点关于x轴对称,设一个顶点坐标为y022,y0(y0>0),则有tanπ6=28.解设直线l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2)(1)由题设得F34,0,故|AF|+|BF|=x1+x2+32,由题设可得x1+x由y=32x+t,y2=3x可得9x则Δ=144(t-1)2-144t2>0,即t<12x1+x2=-12(从而-12(t-1所以l的方程为y=32x-7(2)由AP=3PB可得y1=-3y2.由y=32x+t,y2=3所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=13.故|AB|=49.B如图所示,易知抛物线的准线l:y=-1,过点P作PN⊥l交l于点N,则|PN|=|BP|,则|PA要使得|PA||PB|取最大值,则sin∠PAN取得最小值,即∠PAN取到最小值,所以当且仅当PA与抛物线相切于点P当PA与抛物线相切时,设直线PA的方程为y=kx-1,代入x2=4y,可得x2-4kx+4=0,此时需满足Δ=16k2-16=0,解得k=±1,不妨设点P在第一象限,则k=1,此时sin∠PAN=22,所以(sin∠PAN)min=22,所以|PA||10.BC抛物线C的焦点F(1,0),准线l:x=-1.对于A,当过点M的直线斜率不为0时,设切线方程为x=m(y+3)+1,由x=m(y+3)+1,y2=4x,消去x得y2-4my-12m-4=0,Δ=16m2+4(12m+4)=16(m2+3m+1)=0,解得m=-3±52对于B,过点A作AN⊥l于点N,如图,则|AN|=|AF|,|AM|+|AN|=|AM|+|AF|≥|MF|=3,当且仅当A为线段MF与抛物线C的交点时,等号成立,故B正确;对于C,直线AB的方程为x=ty+1,代入抛物线C的方程得y2-4ty-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-4,x1x2=y12y2216=1,不妨设y1<0<y2,由y=2x,求导得y'=1x,由y=-2x,求导得y'=-1x,因此抛物线C在点A处的切线的斜率为-1x1,在点B处的切线的斜率为1x2,明显对于D,由选项C知,当直线AB过点F时,直线OA与OB的斜率之积y1x1·y2x211.B由x2=4y,得p=2,∴焦点B(0,1),准线l:y=-1,从而A(0,-1),如图所示.过点P作PQ⊥l于点Q,设∠PAQ=θ.∵|PA|=m|PB|,|PB|=|PQ|,∴m=|PA||PB|=|PA||PQ|=1sinθ.结合图形知,当AP与抛物线相切时,sinθ最小,从而m最大.设直线由Δ=16k2-16=0,解得k=±1,不妨取k=1,得点P坐标为(2,1).设双曲线的方程为y2a2-x2b在双曲线y2a2-x2b2=1(2a=|PA|-|PB|=22-2,即a=2-1,∴离心率e=ca=12-12.解(1)由题意可得直线AB的斜率存在,且不为0.设直线AB:x-2=m(y-2),m≠0,与抛物线方程联立消去x,可得y2-8my+16m-16=0.判别式Δ=(-8m)2-4(16m-16)=64m-122+34>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=8m,由8m=4,得m=12,所以直线l的方程为2x-y-2=0.(2)不存在.理由如下,假设C,D两点存在,则可设lCD:y=-12x+n,与抛物线方程y2=8x消去y,得14x2-(n+8)x+n2=其中Δ=(n+8)2-n2=16n+64>0,则n>-4. (*)又因为xC+xD=4(n+8),所以CD的中点为(2(n+8),-8),代入直线l的方程,得n=-192,不满足(*)式.所以满足题意的C,D两点不存在13.(1)解由题可知|y0|=4p,|DE|=4p,|DF|=8+p2∵|DE|=45|DF|,∴4p=458+p2,平方后化简得p2-68p+256=0,解得p=4或∵0<p<10,∴p=4.∴抛物线C的方程为y2=8x.(2)证明当直线l的斜率为0时,直线l与抛物线交于一点