新工科数学基础三 线性代数及Python实现 课件 5.3.1 向量的内积、长度及正交性

5.3.1

向量的内积、长度及正交性向量的内积定义：设有n维向量令[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn

，则称[x,y]为向量x

和y

的内积．说明：内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数．内积可用矩阵乘法表示：当x

和y都是列向量时，[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn=xT

y．定义4：设有n维向量令则称[x,y]为向量x

和y

的内积．向量的内积[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn=xT

y．内积具有下列性质（其中x,y,z

为n维向量，l为实数）：对称性：

[x,y]=[y,x]．线性性质：[l

x,y]=l[x,y]．

[x+y,z]=[x,z]+[y,z]当x=0（零向量）时，[x,x]=0； 当x≠0（零向量）时，[x,x]>0．施瓦兹（Schwarz）不等式[x,y]2≤[x,x][y,y]．[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn=xT

y．内积具有下列性质（其中x,y,z

为n维向量，l为实数）：对称性：

[x,y]=[y,x]．[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn=xT

y．内积具有下列性质（其中x,y,z

为n维向量，l为实数）：对称性：

[x,y]=[y,x]．线性性质：[l

x,y]=l[x,y]．

[x+y,z]=[x,z]+[y,z][x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn=xT

y．内积具有下列性质（其中x,y,z

为n维向量，l为实数）：对称性：

[x,y]=[y,x]．线性性质：[l

x,y]=l[x,y]．

[x+y,z]=[x,z]+[y,z]当x=0（零向量）时，[x,x]=0； 当x≠0（零向量）时，[x,x]>0．[x,x]=x12+x22+…+xn2

≥0[x,y]=x1y1+x2y2+…+xn

yn=xT

y．内积具有下列性质（其中x,y,z

为n维向量，l为实数）：对称性：

[x,y]=[y,x]．线性性质：[l

x,y]=l[x,y]．

[x+y,z]=[x,z]+[y,z]当x=0（零向量）时，[x,x]=0； 当x≠0（零向量）时，[x,x]>0．施瓦兹（Schwarz）不等式[x,y]2≤[x,x][y,y]．回顾：线段的长度x1x2x1x2x3P(x1,x2)OPO若令x=(x1,x2)T，则若令x=(x1,x2,x3)T，则[x,x]=x12+x22+…+xn2

≥0向量的长度定义5：令称||x||为n维向量x的长度（或范数）．当||x||=1时，称x为单位向量．向量的长度具有下列性质：非负性：当x=0（零向量）时，||x||=0；当x≠0（零向量）时，||x||>0．齐次性：||l

x||=|l|

·

||x||．向量的长度定义：令称||x||为n维向量x的长度（或范数）．当||x||=1时，称x为单位向量．向量的长度具有下列性质：非负性：当x=0（零向量）时，||x||=0；当x≠0（零向量）时，||x||>0．齐次性：||l

x||=|l|

·

||x||．三角不等式：

||x+y||≤

||x||+||y||．xyx+yy向量的正交性施瓦兹（Schwarz）不等式[x,y]2≤[x,x][y,y]=||x||·||y||当x≠0且y≠0时，定义6：当x≠0且y≠0时，把称为n维向量x

和y

的夹角．定义7：当[x,y]=0，称向量x

和y

正交．结论：若x=0，则x

与任何向量都正交．xy定义8：两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组.

若一个正交向量组中每一个向量都是单位向量，则称此向量组为单位正交向量组或标准正交向量组.定理3：若

n维向量a1,a2,…,ar是一组两两正交的非零向量，则a1,a2,…,ar线性无关．证明：设k1a1+k2a2+…+krar=

0（零向量），那么

0=

[a1,0]

=[a1,k1a1+k2a2+…+krar]=k1[a1,a1]+k2[a1,a2]+…+kr

[a1,ar]=k1[a1,a1]

+

0

+

…+0

=k1||a1||2从而k1

=

0．同理可证，k2=k3=…=kr=0．综上所述，a1,a2,…,ar线性无关．例：已知3维向量空间R3中两个向量正交，试求一个非零向量a3

，使a1,a2,a3两两正交．分析：显然a1⊥a2

．解：设a3=(x1,x2,x3)T

，若a1⊥a3

，a2⊥a3，则

[a1,a3]=a1T

a3=x1+x2+x3=0[a2,a3]=a2T

a3=x1－

2x2+x3=0得从而有基础解系，令．定义：n维向量e1,e2,…,er是向量空间中的向量，满足e1,e2,…,er是向量空间V

中的一个基（最大无关组）；e1,e2,…,er两两正交；e1,e2,…,er都是单位向量，则称e1,e2,…,er

是V

的一个标准正交基．（规范正交基）例：是

R4的一个标准正交基．也是

R4的一个标准正交基．是

R4的一个基，但不是标准正交基．设

e1,e2,…,er是向量空间V

中的一个正交基，则V中任意一个向量可唯一表示为x=l1e1+l2e2+…+lrer于是特别地，若e1,e2,…,er

是V

的一个标准正交基，则问题：向量空间V

中的一个基a1,a2,…,ar

向量空间V

中的一个标准正交基

e1,e2,…,er？求标准正交基的方法第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程设a1,a2,…,ar

是向量空间V

中的一个基，那么令a1b1a2a3c2b2c3c31c32b3基正交基标准正交基b1c2a2b2返回令c2

为a2

在b1上的投影，则c2=l

b1，若令b2=a2－c2=

a2－

l

b1，则b1⊥b2

．下面确定l

的值．因为所以，从而a2－b1第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程设a1,a2,…,ar

是向量空间V

中的一个基，那么令于是

b1,b2,…,br两两正交，并且与a1,a2,…,ar

等价，即

b1,b2,…,br

是向量空间V

中的一个正交基．特别地，b1,…,bk与a1,…,ak

等价（1≤

k

≤

r）．第二步：单位化设b1,b2,…,br

是向量空间V

中的一个正交基，那么令因为从而e1,e2,…,er

是向量空间V

中的一个标准正交基．例：设，试用施密特正交化过程把这组向量标准正交化．解：第一步正交化，取例：设，试用施密特正交化过程把这组向量标准正交化．解：第二步单位化，令例：已知，试求非零向量a2,a3

，使a1,a2,a3两两正交.解：若a1⊥a2

，a1⊥a3，则

[a1,a2]=a1T

a2=x1+x2+x3=0[a1,a3]=a1T

a3=x1+x2+x3=0即a2,a3

应满足方程x1+x2+x3=0．基础解系为把基础解系正交化即为所求．（以保证a2⊥a3成立）定义：如果

n阶矩阵A满足ATA=E，则称矩阵A

为正交矩阵，简称正交阵．9即

A−1=AT，于是从而可得方阵A

为正交阵的充分必要条件是A

的列向量都是单位向量，且两两正交．