西藏山南市第一高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

山南一高2023-2024学年第二学期期中考试卷高二数学全卷满分150分考试时间120分钟注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：集合，复数，数列，导数，平面向量．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，则复数（）A． B． C． D．3．在等差数列中，，则（）A．70 B．60 C．50 D．404．下列函数中，存在极值的函数为（）A． B． C． D．5．若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为（）A． B． C． D．6．如图，已知全集和集合A，B，C则图中阴影部分表示正确的是（）A． B． C． D．7．若，，，成等差数列，，，，，也成等差数列，其中，则（）A． B． C． D．38．如图是函数的导函数的函数图象，则下列关于函数的说法正确的是（）A．函数的减区间为，增区间为B．函数在点和点处的切线斜率相等C．D．函数只有一个极小值点，没有极大值点9．已知等比数列的前项和为，且，则（）A．3 B． C．2 D．10．已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则函数的所有极值之积为（）A． B． C． D．11．等差数列的公差为，当首项与变化时，是一个定值，则下列各项中一定为定值的是（）A． B． C． D．12．已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合，，若，则实数的值为______．14．在前项和为的等差数列中，，则数列的通项公式______．15．已知，则______．16．如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，，，与的夹角为，且，与的夹角为．若，则______．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（本小题满分12分）已知集合，．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．18．（本小题满分12分）已知为虚数单位，复数，为实数．（1）求实数的值；（2）若复数是方程的一个根，求实数，的值．19．（本小题满分15分）已知，，，．当为何值时：（1）；（2）．20．（本小题满分15分）已知等比数列的前项和为，若．（1）求数列的通项公式；（2）记，当为何值时，数列的前项和取得最小值?21．（本小题满分16分）已知函数的定义域为．（1）当时，证明：；（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围．山南一高2023-2024学年第二学期期中考试卷・高二数学参考答案、提示及评分细则1．C由，，有．2．C．3．D由题意有，得．4．D由二次函数的图象和性质可知D选项正确．5．A由题意有，可得，解得，则向量，夹角的余弦值为．6．B图中阴影部分表示为．7．C．8．B由函数图象可知，函数的减区间为，增区间为，，，．9．A由题意有，又由当时，，必有，解得，有．10．B由，有，解得，有，，令可得函数的极值点为，有，，则函数的极值之积为．11．D．12．B函数关于轴对称的函数为，若函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，只需要方程有解，方程可化为，令，有，由函数单调递增，且，可得函数的减区间为，增区间为，可得，当时，，，，可得函数的值域为，，故实数的取值范围为．13．0由集合的互异性有，，必有，得．14．，，．15．－2由，取，有，可得．16．以为坐标原点，向量方向为轴，与向量垂直的方向为轴，建立平面直角坐标系，点的坐标为，，，可得点的坐标为，，可得，，有点的坐标为，可得，，若，有，解得．17．解：（1）当时，，，或，或，（2）由，有解得，故当时，实数的取值范围为．18．解：（1）由由为实数，有，解得．（2）由（1）可知，将代入方程，有整理为由复数相等有，解得故，．19．解：（1）若，有，整理为解得或2；（2）若，有，整理为解得：．20．解：（1）设等比数列的公比为，有可得，解得又由，有故数列的通项公式为（2）由当时，，故当时，数列的前项和取得最小值．21．解：（1）证明：当时，，由．另解：当时，因为，所以，所以，故所以．（