陕西省咸阳市永寿县中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

永寿县中学2023～2024学年度第二学期期中考试高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：选择性必修第三册第六章～第七章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某大学食堂备有4种荤菜、8种素菜、2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（）A．14 B．64 C．72 D．802．下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数；②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置；③某派出所一天内接到的报警电话次数；④某同学上学路上离开家的距离．其中是离散型随机变量的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（）A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.64．设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3、0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6、0.8，则甲正点到达目的地的概率为（）A．0.62 B．0.64 C．0.58 D．0.685．对任意实数，有，则的值为（）A．－20 B．－16 C．22 D．306．在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为（）A．1600 B．1800 C．2100 D．24007．设随机变量的分布列为分别为随机变量的数学期望与方差，则（）A． B． C． D．8．小王、小李等9名同学相约去游玩，在某景点排成一排拍照留念，则小王不在两端，且小李不在正中间位置的概率是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若，则的值可以是（）A．3 B．4 C．5 D．610．高二年级安排甲、乙、丙三位同学到六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（）A．如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有88种B．如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有36种C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种D．如果甲、丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种11．一个盒子中装有3个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（）A． B．C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有______种．13．设随机变量，则______．14．由这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有______个．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）已知二项式的展开式中共有10项．（1）求展开式的第5项的二项式系数；（2）求展开式中含的项．16．（本小题满分15分）已知有9本不同的书．（1）分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答）17．（本小题满分15分）甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为，且甲射中环的概率分别为，乙射中环的概率分别为．（1）求的分布列；（2）请根据射击环数的期望及方差来分析甲、乙的射击技术．18．（本小题满分17分）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为．（1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；（2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列和数学期望．19．（本小题满分17分）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成这6组，得到如下的频数分布表：分组频数5154040155以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率．（1）若从这批零件中随机抽取3个，记为抽取的零件的长度在中的个数，求的分布列和数学期望；（2）若变量满足，且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？永寿县中学2023～2024学年度第二学期期中考试·高二数学参考答案，提示及评分细则1．B 因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法，所以要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐有种，故选B．2．B 对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；对于②，沿轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③．故选B．3．D 随机变量服从两点分布，设成功的概率为，．故选D．4．C 设事件表示甲正点到达目的地，事件表示甲乘动车到达目的地，事件表示甲乘汽车到达目的地，由题意知．由全概率公式得故选C．5．B 因为，所以，故选B．6．D 由题设，若表示数学考试成绩，则，而，所以，故参加本次联考的总人数约为．故选D．7． 因为随机变量的分布列为，由分布列的性质可知，，解得，．故选C．8．A 第一种情况：小王在正中间，排法数为：种排法；第二种情况：小王不在正中间，先排小王有种排法，再排小李有种排法，剩下的同学有种排法．记“小李不在两端，且小王不在正中间位置”为事件，则．故选A．9．BC 因为，所以或，解得或5．故选BC．10．BD 安排甲、乙、丙三位同学到六个社区进行暑期社会实践活动，选项A：如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有（种）．判断错误；选项B：如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有（种）．判断正确；选项C：如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有（种）．判断错误；选项D：如果甲、丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有（种）．判断正确．故选BD．11．BC 第一次取得黑球的概率；第一次取得白球的概率第一次取黑球，第二次取黑球的概率；第一次取黑球，第二次取白球的概率，故A错误；第一次取白球，第二次取黑球的概率；第一次取白球，第二次取白球的概率；第二次取得黑球的概率；第二次取得白球的概率；，故B正确；，，故C正确；；，故D错误．故选BC．12．12 由分步计数乘法原理知从甲地去丙地可选择的出行方式有（种）．13． 随机变量服从．14．90 ①0排在第6位时，共有个数；②0排在第5位时，共有个数；③0排在第4位时，共有个数；故这样的七位数共有个．15．解：（1）因为二项式的展开式中共有10项，所以，所以展开式的第5项的二项式系数为；（2）的展开式的通项公式为，令可得，所以展开式中含的项为．16．解：（1）6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为．（2）从9本书中，先取2本作为一堆，再从剩下的7本中取3本作为一堆，最后4本作为一堆，所以不同的分堆方法的种数为．．17．解：（1）由题意得，解得．，解得，所以的分布列为109870.40.20.20.2的分布列为109870.30.30.20.2（2）由（1）得；．由于，说明甲射击的环数的期望比乙高，但成绩没有乙稳定．18．解：（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是大集团的情况有，故全是大集团的概率是，整理得到，解得．若2个全是大集团，共有（种）情况；若2个全是小