山东省胶州市第二中学高中数学必修五第一章解三角形应用举例预习教案

学生姓名年级学科数学上课时间教师姓名课题必修五第一章解三角形应用举例预习教案教学目标知识目标：了解正、余弦定理能力目标：运用正、余弦定理解决实际问题情感态度价值观：在解决实际问题中，使学生对数学模型产生兴趣教学过程教师活动学生活动1.写出正弦定理的公式2.写出余弦定理的公式3.三角形的面积公式为？4.在锐角中，角所对的边长分别为.若（）A．B．C．D．实际问题转化为数学问题的模型构建1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．2、余弦定理：在中，有，，．实际问题中的有关概念(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似(4)坡度：①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)．【题型一、测量距离问题】【例1】如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝eq\f(\r(3),2)km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．【方法技巧】求距离问题的注意事项：选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．【题型二、测量高度问题】【例2】如图所示，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高.【方法技巧】求解高度问题应注意：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．【题型三、测量角度问题】【例3】在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．【方法技巧】解决测量角度问题的注意事项：(1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．1、如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα).若测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．2、如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出AB的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________．3、如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD(CD所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为α，从A处向山顶前进l米到达B后，又测得CD对于山坡的斜度为β，山坡对于地平面的坡角为θ.(1)求BC的长；(2)若l＝24，α＝15°，β＝45°，θ＝30°，求建筑物CD的高度．4、如图所示，已知树顶A离地面eq\f(21,2)米，树上另一点B离地面eq\f(11,2)米，某人在离地面eq\f(3,2)米的C处看此树，则该人离此树________米时，看A，B的视角最大．5、如图，扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中圆心角∠AOB为eq\f(2π,3)，半径OA为1km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由弧AC、线段CD及线段DB组成，其中D在线段OB上，且CD∥AO.设∠AOC＝θ.(1)用θ表示CD的长度，并写出θ的取值范围；(2)当θ为何值时，观光道路最长？6、在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(eq\r(3)－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10eq\r(3)海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？1．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A.eq\f(17\r(6),2)海里/小时 B．34eq\r(6)海里/小时C.eq\f(17\r(2),2)海里/小时 D．34eq\r(2)海里/小时2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时()A．5海里 B．5eq\r(3)海里C．10海里 D．10eq\r(3)海里3．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为()A．akm B．eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D．2akm4．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°5．已知A、B两地间的距离为10km，B、C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为()A．10km B.eq\r(3)kmC．10eq\r(5)km D．10eq\r(7)km6．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°，AB两船距离为3km，则B到C的距离为()A.eq\r(19)km B．(eq\r(6)－1)kmC．(eq\r(6)＋1)km D.eq\r(7)km某居民小区为了美化环境，给居民提供更好的生活环境，在小区内的一块三角形空地上(如图，单位：m)种植草皮，已知这种草皮的价格是120元/m2，则购买这种草皮需要________元．2.海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距10nmile的C处，现甲船以30nmile/h的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20nmile的B处的乙船，甲船需要________h到达B处．3．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为12