高中数学 条件概率与常规分布

(-)条件概率

1、条件概率

(1)定义：在古典概率模型中，事件A发生之后，随机现象的结果就剩下事件A中的

基本事件，所以事件A变成了样本空间.这个样本空间仍然是等可能的，这时事件B发

生的概率称为事件B基于条件A的概率，或在事件A发生的条件下，事件B发生的概

率，或已知事件A发生，事件B发生的概率，记为P(3|A).

(2)公式一：事实上，这等于是在一个样本空间为A的随机试验中，求事件4nB发

生的概率，即

P⑻A）J

公式二：将上式的分子、分母同除以就得到条件概率公式：在事件A发生的

条件下，事件B发生的概率是

P(B|A)=PC

P(A)

备注：公式一适用于古典概率模型，公式二适用于一般情况.

(3)乘法公式：事件A、B同时发生的概率等于A发生的概率与在A发生的条件下B

发生的概率的乘积，即

P(AOB)=P(A)P(B\A)

备注：1、上面乘法公式与相互独立事件中乘法公式要区别！

2、乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率.

(4)乘法公式的推广：

其中

①P(AnA2nA3)=P(A,)P(A2IA)P(4|(AnA?)),P(AAA)>0.

②对于任意正整数〃？2,当P(ARIA2n…nA,i)>o,有

p（AnA2n…nA,）=p（A）p（41A,）P（4।（Ana））…m,KAA-A-.））

条件概率与常规分布

1.（2023・上海•高三专题练习）某铅笔工厂有甲，乙两个车间，甲车间的产量是乙车间

产量的1.5倍，现在客户定制生产同一种铅笔产品，由甲，乙两个车间负责生产，甲

车间产品的次品率为10%,乙车间的产品次品率为5%,现在从这种铅笔产品中任取一

件，则取到次品的概率为（）

A.0.08B.0.06C.0.04D.0.02

2.（2022秋.上海浦东新•高三华师大二附中校考期中）设X~N（MQ；）,

这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（）

B.P（X<o-2）<P（X<o-,）

C.对任意正数r,P（X<t）>P（Y<t）

D.对任意正数r,P（X>t）>P（Y>t）

3.（2023・上海•高三专题练习）已知随机变量且尸信40）=P（4Na）,则

1Q

-+------（0<x<"）的最小值为（）

xa-x

9

A.9B.8C.-D.6

2

4.（2023・上海♦高三专题练习）已知随机变量4服从正态分布N（2,"）,且

%<4）=0.7,则P（0<J<2）=（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

5.（2023・上海•高三专题练习）己知盒中装有1个黑球与2个白球，每次从盒子中随机

摸出1个球，并换入一个黑球.设三次摸球后盒子中所剩黑球的个数为X,则E（X）为

（）

试卷第2页，共8页

6.（2023・上海•高三专题练习）设随机变量X~N（O,1）,/（x）=P（X>x）,其中

x>0,则下列等式成立的是（）

A./(2x)=2/(x)B./(-x)=l-/(x)

C.P(X4x)=2/(x)-lD.P(|X|>x)=2-/(x)

7.（2022秋•上海黄浦•高三上海市光明中学校考期中）李明上学有时坐公交车，有时

骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设

坐公交车用时X和骑自行车用时y都服从正态分布，x~N（〃“6）,y~N（〃2,22）.x

和丫的分布密度曲线如图所示.则下列结果正确的是（）

A.£>（X）=6B.

c.P（X<38）<P（y<38）D.P（X<34）<P（r<34）

8.（2023•上海•高三专题练习）我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著

效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清

肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方.若某医生从“三药三方''中随机选出三种药方，

事件A表示选出的三种药方中至少有一药，事件B表示选出的三种药方中至少有一

方，则P（A|B）=（）

1918

A.BD.

20-A19

(x)2

9.（2023・上海•高三专题练习）已知正态分布的密度函数%,（x）=2b2

以下关于正态曲线的说法箱送的是（）

A.曲线与x轴之间的面积为1

B.曲线在*=〃处达到峰值［£

C.当。一定时，曲线的位置由〃确定，曲线随着〃的变化而沿x轴平移

D.当/，一定时，曲线的形状由b确定，b越小，曲线越“矮胖”

10.（2023・上海•高三专题练习）将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个

村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；3表

示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（）

A.事件A与B相互独立B.事件A与C相互独立

C.P（B|A）=—D.P（C|A）=2

二、填空题

11.（2016・上海长宁•上海市延安中学校考三模）随机变量g的取值为0,1,2,若

P（"0）4Eq）=l,则。©=.

12.（2022秋•上海黄浦•高三格致中学校考阶段练习）已知随机变量J服从二项分布

8（5,|）,则£>陞+1）=.

13.（2023・上海•高三专题练习）投掷一颗均匀的骰子，设事件A：点数大于等于3；

事件8：点数为奇数.则P（AUB）=.

,3

14.（2022秋・上海金山•高三上海市金山中学校考期中）已知P（B|A）=而，

P（A）=g,则尸（Ac3）=.

15.（2023•上海•高三专题练习）从放有6黑3白共9颗珠子的袋子中抓3颗珠子，则

白珠颗数的期望为.

16.（2023・上海•高三专题练习）随机变量X服从正态分布N（2,4），若

尸（2<x43）=0.33,则P（x>3）=.

17.（2022秋.上海浦东新•高三校考期中）一枚均匀的硬币连续抛掷三次，至少出现一

次正面朝上的概率为.

18.（2022秋.上海浦东新•高三校考阶段练习）已知离散型随机变量X的分布为

'-202、

11,则E（X）=.

——m

V42J

19.（2023・上海•高三专题练习）袋中装有大小和质地相同的5个白球，3个黑球.现在

依次不放回地摸5个球，则摸出至少3个白球的概率为.（结果用最简分数

表示）

试卷第4页，共8页

20.（2023•上海•高三专题练习）某路口在最近一个月内发生重大交通事故数X服从如

0123456]

下分布:则该路口一个月内发生

0.3010.3620.2160.0870.0260.0060.002；

重大交通事故的平均数为（精确到小数点后一位）.

21.（2022秋.上海黄浦•高三上海市光明中学校考期中）一袋中装有大小与质地相同的

5个红球和3个黑球，任取3球，记其中黑球数为X,则E（X）=.

22.（2022秋•上海黄浦♦高三上海市光明中学校考期中）某学校在甲乙丙三个地区进行

新生录取，三个地区的录取比例分别为（，7-7.现从这三个地区等可能抽取一个

人，此人被录取的概率是.

23.（2023•上海•高三专题练习）袋中有大小、质地完全相同8个球，其中黑球5个、红

球3个，从中任取3个球，则红球个数不超过1的概率为.

24.（2022秋.上海浦东新.高三华师大二附中校考阶段练习）已知随机变量X服从二项

分布3（12,0.25）,且E（oX-3）=3（aeR）,则。（aX—3）=.

25.（2023•上海•高三专题练习）一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和〃（〃eN*）

个黑球，现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X,

若。（X）=l,则E（X）=.

26.（2023•上海•高三专题练习）为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生

产线上随机抽取k（%eN*）包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，

这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布N（〃口假设生产状态正常，记

J表示每天抽取的k包食品中其质量在（4-3G〃+3b）之外的包数，若&的数学期望

E©>0.02,则k的最小值为.

附：若随机变量X服从正态分布则尸（〃一3b<X<〃+3b卜0.9973.

三、解答题

27.（2022・上海虹口•统考一模）本市某区对全区高中生的身高（单位：厘米）进行统

计，得到如下的频率分布直方图.

频率

（1）若数据分布均匀，记随机变量X为各区间中点所代表的身高，写出X的分布列及期

望；

（2）已知本市身高在区间［180,210］的市民人数约占全市总人数的10%,且全市高中生约

占全市总人数的1.2%.现在要以该区本次统计数据估算全市高中生身高情况，从本市

市民中任取1人，若此人的身高位于区间［180,210］,试估计此人是高中生的概率；

（3）现从身高在区间［170,190）的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本.若身高在区

间［170,180）中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间［180,190）中样本的均

值为184厘米，方差为16,试求这80人的方差.

试卷第6页，共8页

28.(2022秋•上海奉贤•高三统考期中)2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷

幕，中国队创历史最佳战绩.北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越

来越多的青少年爱上了冰雪运动，某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了

100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：

竞赛得分[50,60](60,70](70,80](80,90](90,100]

频率0.10.10.30.30.2

⑴如果规定竞赛得分在(80,90］为“良好”，竞赛得分在(90,100］为“优秀”，从成绩为“良

好”和“优秀”的两组学生中，使用分层抽样抽取10个学生，问各抽取多少人？

(2)在(1)条件下，再从这10学生中抽取6人进行座谈，求至少有3人竞赛得分都是

“优秀”的概率；

(3)以这100名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”

的学生被抽中的概率.现从该校学生中随机抽取3人，记竞赛得分为“优秀”的人数为

X,求随机变量X的分布列及数学期望.

29.(2023,上海•高三专题练习)为了推进国家“民生工程”，某市现提供一批经济适用

房来保障居民住房.现有条件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供A3,C,3人申请，且他

们的申请是相互独立的.

(1)求两人不申请同一套住房的概率；

(2)设3名申请人中申请甲套住房的人数为X,求X的分布列和数学期望.

30.（2023・上海•高三专题练习）北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪

及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测

试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，若甲能答对

其中的5道题，求：

（1）甲测试合格的概率；

（2）甲答对的试题数X的分布列和数学期望.

31.（2022秋・上海嘉定•高三统考阶段练习）一台机器设备由A和8两个要件组成，在

设备运转过程中，48发生故障的概率分别记作P（A）、P（B）,假设A和8相互独立.设

X表示一次运转过程中需要维修的要件的数目，若P（A）=0.1,尸（3）=0.2.

（1）求出尸（X=O）,P（X=1）,P（X=2）；

（2）依据随机变量X的分布，求E（X）和O（X）；

⑶若表示A需要维修的数目，X?表示8需要维修的数目，写出X、X1和X2的关系

式，并依据期望的线性性质和方差的性质，求E（X）和Q（X）.

32.（2022秋•上海虹口•高三上外附中校考阶段练习）袋中有同样的球5个，其中3个

红色，2个黄色，现从中随机且不放回的摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸

到时•，即停止摸球，记随机变量J为此时已摸球的次数，求：

（1）P（J=2）的值；

（2）随机变量g的概率分布列和数学期望.

试卷第8页，共8页

参考答案:

1.A20.1.2望为1

4

2.C21.-

8

3.B7I

22.—30.(1)-

4.B30

23.$(2)分布列答案见解析，数

5.D7

学期望：!3

6.B24.92

7.C25.2

8.D26.831.(1)

9.D