专题6-1 数形结合思想在解题中的巧用（考题猜想11种类型）原卷版-2023-2024学年8下数学期末考点大串讲（人教版）

专题6-1数形结合思想在解题中的巧用（考题猜想，11种类型）类型1：实数与数轴上的点的对应关系在求值中的应用【例题1】（22-23八年级上·河南周口·阶段练习）如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点是C，设C点表示的数为x，则的值为（

）A． B． C． D．2【变式1】（22-23八年级上·河北保定·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B表示，设点A所表示的数为m．

（1）实数m的值是；（2）求的值．【变式2】（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，数轴上表示1、的对应点分别为、，点为点关于点的对称点，设点所表示的数为．

(1)写出实数的值；(2)求的值．【变式3】（22-23八年级上·河南周口·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m.(1)______.(2)求的值；(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方跟.类型2：直角三角形三边关系与在数轴上表示实数的综合应用【例题2】（22-23八年级下·河北唐山·期中）如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是-2，，若以点A为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧)，则点E表示的数为（

）

A． B． C． D．【变式1】（21-22八年级上·山西临汾·期末）如图所示，点O为数轴的原点，A点对应1，作腰长为1的等腰直角三角形，其中，以O为圆心，长为半径作弧，交数轴于点C，作直角三角形，其中，，以O为圆心，长为半径作弧，交数轴于点E，则点E对应的实数为．【变式2】．（22-23八年级上·广东深圳·期中）如图，纸上有五个边长为的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．(1)拼成的正方形的边长为______．(2)如图，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是______．(3)如图，网格中每个小正方形的边长为，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，求新的正方形的面积和边长．【变式3】（22-23八年级下·福建福州·阶段练习）（1）在如图的数轴上作出表示的点．（不写作法，保留作图痕迹）（2）正方形网格中的每个小正方边长都是1，在图中以为一边，画一个边长均为无理数的直角三角形．（说明：直角三角形的顶点均为小正方形的顶点）类型3：三角形三边的数量关系在直角三角形中的应用【例题3】（22-23八年级下·山东济宁·期中）如图．在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（）A．4.8 B．5 C．3.6 D．5.4【变式1】（23-24八年级上·浙江·周测）如图，在中，，，，平分，则的面积为．【变式2】（22-23八年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，于点，，．(1)求的长；(2)求证：是直角三角形．【变式3】（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D、E，且．(1)求证：；(2)若，求的长．类型4：特殊三角形的规律在解动点问题中的应用【例题4】（22-23八年级下·贵州安顺·期中）如图，在正方形中，，，相交于点，、分别是边、上的动点（点、不与线段、的端点重合），，连接，，．在点、运动的过程中，有下列四个结论：①始终是等腰直角三角形；②面积的最小值是；③四边形的面积始终是；④至少存在一个，使得的周长是；所有正确结论的序号是（

）

A．①③④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④【变式1】（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，动点D从点A出发，沿线段以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作交所在的直线于点F，连接．设点D运动时间为t秒．当是以为腰的等腰三角形时，则秒．【变式2】（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，，，平分．

(1)求证：四边形是菱形；(2)如图，，，交于点，已知点是上一动点，连接，求周长的最小值．【变式3】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）综合与探究在中，的角度记为．(1)操作与证明：如图1，若，点为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接．写出和的数量关系：______，______；(2)探究与发现：如图2，若，点变为延长线上一动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转角度至位置，连接．试判断和的数量关系，并说明理由；(3)判断与思考：在（2）的探究中，若，点为直线上一点，当时，直接写出的长．类型5：数与形的关系在解实际问题中的应用【例题5】（23-24八年级下·天津南开·阶段练习）如图，一块四边形，已知，则这块地的面积为（

）．A．24 B．30 C．48 D．60【变式1】（22-23八年级下·湖北襄阳·期末）如图，某小区有一块四边形空地，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量、米，米，米，米，若铺一平方米草坪需要50元，铺这块空地需要投入资金元．

【变式2】（22-23八年级下·云南迪庆·期末）为深入学习贯彻党的二十大精神，贯彻落实习近平总书记关于教育的重要论述和重要指示批示精神，迪庆州某中学计划在如图阴影区域展示学生的学习心得．现测得，，，，．试求阴影部分的面积．【变式3】（23-24八年级上·山西晋中·期中）在学校组织的研学活动中，辰星小组合作搭建帐篷．图是他们搭建帐篷的支架示意图．在中，两根支架从帐篴顶点支撑在水平的支架上，一根支架于点，另一根支架的端点在线段上，且．经测量，知，，．根据测量结果，解答下列问题：

(1)求的长；(2)按照要求，当帐篷支架与所夹的角度为直角时，帐篷最为稳定．请通过计算说明辰星小组搭建的帐篷是否符合要求．类型6：数与形的关系在解折叠问题中的应用【例题6】（22-23八年级下·重庆开州·期末）如图，将一个长为9，宽为3的长方形纸片沿折叠，使点C与点A重合，则的长为（）A． B．3 C． D．【变式1】（22-23八年级下·广东广州·阶段练习）如图：矩形沿着直线对折，点D恰好落与边上的点H重合，，．(1)三角形的形状；(2)求三角形的面积．【变式2】（23-24八年级下·广东珠海·期中）（1）如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点，，请判断四边形形状并说明理由；

（2）如图②，直线分别交矩形的边，于点，，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，求的长；

（3）如图③，直线分别交平行四边形的边，于点，，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，，求的长．

【变式3】（22-23八年级下·四川成都·期末）已知，将沿对角线折得到．(1)如图1，当点E落在线段延长线上时，求证：；(2)如图2，当为锐角时，连接与线段相交于点F，试判断，，之间的数量关系，并说明理由；(3)若，，连接，当为等腰三角形时，求的长．类型7：数与形的关系在求最值中的应用【例题7】（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，已知直线l垂直平分，点C在直线l的左侧，且，，，P是直线l上的任意一点，则的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．9【变式1】（22-23八年级下·山东济南·期末）如图，菱形的对角线，面积为，是等边三角形，若点在对角线上移动，则的最小值为．【变式2】（22-23八年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知，平面直角坐标系中，，，在轴上找一点，使最小．

(1)作出点的位置；(2)求的最小值．【变式3】（21-22八年级下·广东广州·期末）如图，正方形的边长为2，在轴上，在轴上，且，，点C为的中点，直线交轴于点F．

(1)求直线的函数关系式；(2)过点C作，交轴于点E，求证：；(3)点P是直线上的一个动点，求的最小值．类型8：数与形的关系在求点的坐标中的应用【例题7】（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，等边三角形的边长为，则点的坐标是（

）A． B． C． D．【变式1】（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，正方形的两边分别在轴、轴上，点在边上，将绕点旋转，则旋转后点的对应点的坐标是．【变式2】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点在第一象限，轴，且到轴的距离为6．

(1)______，______；(2)______，______；(3)如果在第二象限内有一点，且四边形的面积是的面积的两倍，求满足条件的点的坐标．【变式3】（22-23八年级下·吉林四平·期末）如图，已知四边形是平行四边形，、两点的坐标分别为，．(1)点的坐标为：；(2)求直线的函数解析式．类型9：数的几何性质在求函数解析式中的应用【例题9】（22-23八年级下·山西朔州·期末）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为．则关于的函数解析式是（

）

A． B． C． D．【变式1】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，、，点D在上，，过点D的直线l平分的面积，现将l绕原点逆时针旋转得直线，则直线的函数解析式为．【变式2】（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，点及在第一象限的动点，且．设的面积为．(1)求关于的函数解析式（直接写出的取值范围）；(2)当时，求点坐标．【变式3】（22-23八年级下·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点C，点P在线段上（点P不与点O、C重合），过点P作x轴的平行线交直线于点Q，设正方形与重叠部分图形的周长为L，设点P的横坐标是m．(1)求点C的坐标；(2)直接写出点Q的坐标（用含m的代数表示）；(3)当与x轴重合时，求m的值；(4)求L与m之间的函数解析式．类型10：图像的信息在解几何问题中的应用【例题10】（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，，直线沿轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为与的函数图象如图2所示．有下列说法：①点的坐标为；②矩形的面积为8；③；④，其中正确的有．【变式1】（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图1，在菱形中，动点P从点C出发，沿着运动至终点D，设点P运动的路程为x，的面积为y，若y与x的函数图象如图2所示，则图中a的值为（

）

A．9 B．10 C．11 D．12【变式2】（22-23八年级下·上海静安·期末）如图1，矩形中，E是对角线上一个动点（不与点A重合），作，交于点F，联结，如果设，面积为y，那么可得y关于x的函数图像（如图2所示）．

(1)求y关于x的函数解析式，并写出其定义域；(2)求的面积及矩形对角线的长．【变式3】（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）动点在平行四边形边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，到达点时停止移动．已知的速度为个单位长度，其所在位置用点表示，到对角线的距离（即垂线段的长）为个单位长度，其中与的函数图象如图所示．

(1)，，．(2)若，求出时，与的函数关系式，并求当时的面积．(3)如图，点，分别在函数第一段和第三段图象上，线段平行于横轴，、的横坐标分别为、．设、时点P走过的路程分别为、，若，求、的值．类型11：图像的信息在解实际问题中的应用【例题11】（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）如图，图中的两条射线分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中（单位：米）和（单位：秒）分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①甲让乙先跑了12米；②射线表示甲的路程与时间的函数关系；③甲的速度比乙快1.5米/秒；④8秒钟后，甲超过了乙其中正确的说法有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1】．（22-23八年级上·山东枣庄·期中）一辆汽车油箱中剩余的油量与已行驶的路程的对应关系如图所示，如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为时，那么该汽车已行驶的路程为．【变式2】（23-24八年级下·上海奉贤·期中）如图是某辆汽车加满油后，油箱剩油量y（升）关于已行驶路程x（千米）的函数图像（由两条线段构成）．(1)根据图像，当油箱剩油量为26升时，汽车已行驶的路程为________千米；当时，消耗一升油汽车能行驶的路程为________千米．(2)当时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶300千米时油箱的剩油量．【变式3】（23-24八年级上·广东深圳·期末）“宝安新跨越，领湾向未来”是2023深圳宝安马拉松的主题，该赛事设有马拉松和半程马拉松两个项目，参赛规模达到2万人．湖滨学校的小明同学计划参加下一届的半程马拉松，爸爸鼓励小明积极训练，并且作为陪练帮助记录训练数据．某日，小明从家出发，匀速跑向与家相距4800米的公园，10分钟后爸爸从家里出发沿着相同的路线骑共享单车追上小明后，继续往前途经公园，再往前骑行到达还车点；然后立即以