人教必修第一册《二面角》2021年同步练习卷（附答案详解）

人教B版（2019）选择性必修第一册《1.2.4二面角》2021

年同步练习卷（4）

一、单选题（本大题共6小题，共30.0分）

1.在侧棱441垂直底面ABCD的四棱柱4BCD-必当的劣中，P

是棱DC上的动点.记直线4P与平面ABCD所成的角为a,

与直线Di6所成的角为口，二面角Di-4C-B为y,则a,0,

y的大小关系是（）

A.a<(i<yB.p<a<yC.a<y<pD.y<p<a

2.如图，在RtAZBC中，D,E分别为AB,AC边上的中点，且48=4,BC=2.现将

△ABC沿DE折起，使得A到达4的位置，且二面角4-DE-B为60。,则&C=（）

A.2A/2B.3C.V10D.2V3

3.已知二面角a-I-0为60。,ABa,AB11,A为垂足，CDuCel,^ACD=

135。，则异面直线AB与CO所成角的余弦值为（）

A.-B.更C.更

444

4.如图，已知△ABC中，。是AB的中点，沿直线CO将AACD

折成△A'CD,所成二面角4—CD—8的平面角为a,则（）

A.Z-A'DB<a

B.z.A'DB>a

C.乙A'CB<a

D./-A'CB>a

5.将直角三角形ABC沿斜边上的高4。折成120。的二面角，已知直角边AB=4W，

AC=4V6,那么下面说法正确的是（）

A.平面ABC1平面ACD

B.四面体D—ABC的体积是半逐

C.二面角4—BC—。的正切值是华

D.BC与平面AC。所成角的正弦值是每

14

6,已知△ABC是由具有公共直角边的两块直角三角板（Rt△ACD与Rt△BCD）组成的

三角形，如左下图所示.其中，^CAD=45°,N8C。=60。.现将RtAACD沿斜边

AC进行翻折成△D/CQi不在平面ABC上）.若M,N分别为BC和的中点，则

在AACD翻折过程中，下列命题不正确的是（）

A.在线段BO上存在一定点E,使得EN的长度是定值

B.点N在某个球面上运动

C.对于任意位置，二面角区―AC—B始终大于二面角％-BC—4

D.存在某个位置，使得直线AD1与DM所成角为60。

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

7.仇章算术J）中，将四个面都为直角三角形的四面体称之

为鳖羸如图，在鳖腌P—ABC中，PA1平面ABC,AB1

BC,且24=aB=BC=l,则二面角4一PC—B的大小

是.

8.在正三角形ABC中，过其中心G作边BC的平行线，分别交AB,AC与Q,

将A4B1G沿BiG折起到△A/】G的位置，使点儿在平面BBiCiC上的射影恰是线段

BC的中点M,则二面角&—%C1—M的平面角的大小是.

9.如图，已知直四棱柱4BC0-ABiGA的底面ABCD为边长为2----------71c

1的正方形,=2,M为棱CQ上一动点，若二面角M-BD-'■乙一，

%的平面角eG耳,§,则线段CM的长度的取值范围为./lM

AB

10.如图，已知平面a_L£,aCt/3=1,A,2是直线/上的“

两点，C、D是平面0内的两点，且£>4J./,CB±I,>-

AD=3,AB=6,CB=6,尸是平面a上的一动点，/X

且直线PD,尸C与平面a所成角相等，则二面角P-8C-0的余弦值的最小值是

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三、解答题(本大题共2小题，共24.0分)

11.如图，边长为2的正方形ABC。所在的平面与半圆弧乃所在平面垂直，M是乃上

异于C,。的点.

(1)证明：平面4M0_L平面BMC；

(2)当三棱锥M-ABC体积最大时，求面与面MCD所成二面角的正弦值.

12.仇章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，

将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖ST如图，在阳马P-4BCD中，侧棱

PDABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF1PB交PB于点?连接

DE,DF,BD,BE.

(1)证明：平面DEF.试判断四面体跖是否为鳖膈，若是，写出其每个面的

直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；

(2)若面DE尸与面ABC。所成二面角的大小为，求O值.

3oC

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：如图所示，过点A作2M1CD交

CD于点M,

因为

所以直线&P与。1G所成的角0=N&PM,

故s讥£=*,

因为叫1平面ABC。，

所以&P与平面ABC。所成的角a=乙4止4

故sina=悬，

因为AM>AAlra,/3G[0,自,

故S>a,

由图象可知，二面角Di-AC—B为钝二面角，贝1］丫6（］兀）,

所以a</?<y.

故选：A.

利用异面直线所成角的定义以及线面角的定义，得到直线4P与DiQ所成的角/?=

乙4］PM,&P与平面ABCD所成的角a=乙4+4然后利用边角关系进行比较即可，由

图象得到二面角是钝二面角，即可得到答案.

本题考查了空间角的大小比较，解题的关键是掌握异面直线所成角的定义、线面角的定

义、二面角的平面角的定义，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题.

2.【答案】A

【解析】解：因为。，E分别为AB,AC的中点，

所以。E//8C,则。E_LBD,

y.DE1ArD,BD,&Du平面&BD,BDCyArD=D,

所以DEJ_平面&BD,

因为二面角4一DE—B的平面角为N&DB,

所以N&DB=60°,

因为Ai。=BD=2,

则=2,

又BC“DE,

所以BC1平面&BD,

又4/u平面4/。，

故BC1ArB,

所以&C=1AB+BC?=V4T4=2V2.

故选：A.

由三角形的中位线定理可得DE//BC,由此利用线面垂直的判定定理证明DE1平面

ArBD,从而得到二面角4-DE-B的平面角为NALDB,然后利用边角关系结合勾股定

理求解即可.

本题考查了立体几何中的折叠问题的求解，能够根据折叠后的不变量得到线面垂直的关

系是解题的关键，考查了空间想象能力与逻辑推理能力属于中档题.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

首先作出二面角的平面角，然后再构造出异

面直线AB与C。所成角，利用解直角三角

形和余弦定理，求出问题的答案.

本题主要考查了二面角和异面直线所成的

角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作

图能力，属于难题.

【解答】

解:如图，过A点作ZE11，使BE10,垂足为E,过点A作4F//CD,过点E作EF

连接BF,

AE1I,

•••乙EAC=90°,

CD//AF,

又乙ACD=135°,

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•••^FAC=45°,

•­•LEAF=45°,

在RtABEA中，设4E=a,贝=2a,BE=V3a,

在RtAAEF中，则EF=a,AF=42a,

在RMBEF中，贝UBF=2a,

••・异面直线AB与CD所成的角即是AB2F,

COS®F=4B-F2-BF2=(2a)z+-一(2a)2=反

2ABAF2x2axV2a4

故选8.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

画出图形，分'AC=BC,ACK8C两种情况讨论即可.

本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题.

【解答】

解：①当AC=BC时，^A'DB=a；

②当4CABC时，如图，点A投影在AE上，

a=AA'OE,连结44,

易得NADA</.AOA',

：.Z-A'DB>/-A'OE,即乙>a

综上所述，4A'DB>a,

故选：B.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，二面角以及直线与平面所成角的求法，平

面的垂直的判断，考查空间想象能力以及计算能力和推理论证能力，属于中档题.

逐项判断即可.

【解答】

解：如图，

由题易得AD1BD,CDCBD=D,

•••AD，平面BCD,

又BCu平面BCD,

所以ADIBC,

易知NCDB是二面角C—4D—B的平面角，

故"DB=120°,CD=8,BD=4,AD=4vl.

在小CDB中，由余弦定理得BC?=CD2+BD2-2CD-BDcosl20°,

可得BC=4被，过。作DF_LBC于6连接AF,因为2。_LBC,DFAD=D,

所以BC1平面ADR则4F18C,

-1-1

由面积相等得：CD-BDsinl20°=-BC,

可得DF="目.

7

对于A,vAD1平面BCD,ADu平面ACD,

・•・平面ZCD1平面BCD,

••・易知平面ABC与平面AC。不垂直，A错；

对于8,四面体D—ABC的体积U=[XSABCDXAD

=|x(|x8x4xsinl200)x4夜=丰yV6,

故3错;

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对于C,由前可知乙4FD为二面角/-BC—O的平面角,

“L「AD4A/2V42

tan^AFD=-=^=—,故c错；

7

对于，

过8作80垂直CD的延长线于。点，由前可知，平面4CDL平面BCD,

平面AC。Cl平面BCD=CD,BOu平面BCD,所以8。，平面ACD,

则NBC。就是BC与平面ACD所成角,

BO=BDsin60°=2V3,BC=4夕，

s.mZ-FBlCO=B一O=—2Vps=7一21，。px正—确7-/2L.

BC4V714

故选。.

6.【答案】D

【解析】解：不妨设4D=1,取AB中点E,易知E落在线段8。上，且EN=赵/=之，

所以点N到点E的距离始终为|,即点N在以点E为球心，半径为之的球面上运动，

因此A、B选项正确；

对于C选项，易知二面角。1一/。—B为直二面角时，

二面角。1—AC-8始终大于二面角A—BC—A,当二面角A—AC-B为锐二面角时,

如图所示作D/1平面ABC与点R,然后作R。VAC,RS1BC分另ij交AC,3c于O,S,

则二面角。i—AC-8的平面角为4A。/?,二面角。i—BC-4的平面角为4ASR,

且tanZ_Oi。/?=^^,tanZ_£)iSR=

ORSR

又因为。R<SR,所以ND]OR>N%SR,

所以二面角。i—AC—B始终大于二面角。i—BC—A,

对于。选项，作2P〃DM,A%可以看成以AC为轴线，

以45。为平面角的圆锥的母线，易知AD1与A尸落在同一个轴截面上时,

NPA%取得最大值，贝叱PA%的最大值为60°,

此时为落在平面ABC上，所以乙巴44<60°,

即与0M所成的角始终小于60°,所以D选项不正确.

故选：D.

可取AB中点N,运用中位线定理可得E落在线段2D上，且EN=YDI=5即可判断

A,B；

讨论二面角Di-AC-B为直二面角时，以及锐二面角，运用二面角的定义，计算可判

断C；

作4P//DM,a%可以看成以AC为轴线，分类讨论可判断D

本题考查空间线线角和线面角、二面角的求法，考查平行和垂直的判断和性质，以及空

间想象能力，推理能力，属于难题.

7.【答案

【解析】解：过点B作BE1AC交AC于点E,过点E作EF1PC于

点尸，连接2尸，

因为P4平面ABC,BEu平面ABC,

所以BE1PA,

又BE1AC,PACtAC=A,PA,ACu平面PAC,

所以BE1平面PAC,又PCu平面PAC,

则PC1BE,

又PCJ.EF,BECEF=E,BE,EFu平面BEF,

所以PC1•平面BEE

又BFu平面BEF,

则PC1BF,

所以NEFB为二面角2-PC-8的平面角，

在RMABC中，AC=y/2,EB=y,

在RtAP"中，PC=V3,sin^ACP='，

所以运二不，解得£1F=二，

~6

1

在RtABEF中，tan/EFB=—=^-=V3,

EF忑

由图象可知，二面角a—PC—B为锐二面角，

故二面角a-PC-B的大小为争

故答案为：p

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过点B作BE1AC交AC于点E,过点E作EF_LPC于点尸，连接B凡利用线面垂直的

判定定理依次证明BE，平面PAC,PC1平面BEF,从而得到NEFB为二面角4-PC-B

的平面角，在三角形中由边角关系求解即可.

本题考查了二面角的求解，线面垂直的判定定理与性质定理的应用，解题的关键是掌握

二面角的平面角的定义，并找到对应的角，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档

题.

8.【答案I?

【解析】解：连接&G,MG,

因为G是正三角形ABC的中心，BrCJ/BC,

所以B©_L4iG,GM_LBiCi，

则N&GM为二面角4-BiCi-M的平面角，

因为G是正三角形ABC的中心，

所以41G=2GM,

则COSN&GM=篝=3

A1(jZ

由图象可知，二面角A—BiQ—M是锐二面角,

故二面角4-B©-M的平面角的大小为品

故答案为：p

连接&G,MG,利用正三角形的性质以及二面角的平面角的定义，可得N&1GM为二面

角4-BiQ-M的平面角，在三角形中由边角关系求解即可.

本题考查了空间角的求解，主要考查了二面角的求解，解题的关键是利用二面角的平面

角的定义找到对应的角，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题.

9.【答案】哈当

【解析】解:M为棱CCi上一动点，根据题意，设CM=x(0<x<2),

因为底面ABC。为边长是1的正方形，

所以=DM=y/1+x2,

如图，连接Bi%取8。的中点O,/A的中点0「连接。跖。3,

则。M1BD,。。11BD,

故NOiOM为二面角M—8。一%的平面角，

所以/。1。用=。e覃J

则COSNO]OM6>~~\)

连接。1”,OiQ,

在AO1OM中，。。1=2,OM2=BM2-OB2=x2+|,

222

OrM=。1番+QM=x-4x+|,

222

八CMO1O+OM-O1Mx

故8SNO1°M=如0。"।=j=,

则54乒1<三，又0<x<2,

所以渔

62

故线段CM的长度的取值范围为[彳,j].

故答案为：[彳,手].

设CM=x(03xW2),连接/A，取BD的中点O,劣名的中点0「连接OM,。。口

由二面角的平面角的定义，得到//OM为二面角M-BD-Bi的平面角，从而得到

COSNO]OM的取值范围，再利用边角关系表示COSNOIOM,建立关于x的不等式，求解

即可.

本题考查了空间角的应用，解题的关键是利用二面角的平面角的定义找到对应的角，考

查了逻辑推理能力、空间想象能力、化简运算能力，属于中档题.

10.【答案】f

【解析】解：AO，，，aC0=I,a上B，ADc/?,

,•AD1a,同理：BC1a.

・•・乙024为直线PQ与平面a所成的角，为直线PC与平面a所成的角,

:.乙DPA=^CPB,又ND4P=

Z-CBP=90°,

•••△DAP^ACPB,

.PA_DA_1

,,PB-BC-2,

第12页，共16页

在平面a内，以45为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，

则4(—3,0),B(3,0).设P(x,y),(y>0)

2j(x+3)2+y2—4(x—3>+y2,整理得(％+5)2+y2=16.

.­.P点在平面a内的轨迹为以M(-5,0)为圆心，以4为半径的上半圆.

•.•平面PBCC平面S=BC,PB1BC,AB1BC,

NPB4为二面角P—8C—。的平面角.

.•.当与圆相切时，“B4最大，cosNPBZ取得最小值.

此时PM=4,MB=8,MP1PB,PB=4V3.

PB4V3V3

COSZz-nPDBA4=—=——=——.

MBS2

故答案为：隹.

2

乙PB4为所求的二面角的平面角，由4DAP八CP8得出普=黑=求出P在a内的轨迹,

rDDCZ

根据轨迹的特点求出NPBA的最大值对于的余弦值.

本题考查了二面角的计算，

1L【答案】解：(1)证明：在半圆中，DM1MC,

•.•正方形ABCD所在的平面与半圆弧比所在平面垂直，

即平面ABC。_L平面CDM,

又平面ABCDCl平面COM=CD,AD1CD,

ADu平面ABCD,

AD1平面DCM,

•••MCu平面CDM,贝MD1MC,

■.■ADCiDM=D,ADu平面ADM,DMu平面ADM,

.­.MC1平面ADM,

•••MCu平面MBC,

.,・平面AM。_L平面BMC.

(2)•••△ABC的面积为定值，

.••要使三棱锥M-ABC体积最大，则三棱锥的高最大，

此时M为圆弧的中点，

建立以C。的中点O为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系:

・・•正方形ABCD的边长为2,

••・4(2,-1,0),8(2,1,0),M(0,0,1),

则平面MC0的法向量沅=(1,0,0),

设平面MAB的法向量为元=(x,y,z)

则荏=(0,2，。)，AM=(-2,h1),

由元•AB=2y=0,n-AM=-2x+y+z=0,

令％=1,则y=0,z=2,即元=(1,0,2),

则cos(礼元"系=森施=看

则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sina=J1—(^)2=等.

【解析】本题主要考查空间平面垂直的判定以及二面角的求解，利用相应的判定定理以

及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键，属于中档题.

(1)根据面面垂直的判定定理证明MCJ_平面ADM即可.

(2)根据三棱锥的体积最大，确定M的位置，建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利

用向量法进行求解即可.

12.【答案】(1)PDL^ABCD,S.BCABCD,

•••PD1BC,

•••4BCD为长方形，•••BC1CD,

且PDClCD=D,PD,CDu平面PCD,

...BC_L平面尸C£),而DEu平面尸。C,8C_LDE,

又•：PD=CD,点£是PC的中点，.•.DEIPC.

而PC