3月大数据模拟卷02（江苏专用）（解析版）高中数学

3月大数据精选模拟卷02（江苏专用）

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

(工+]]

1.设集合M={x|2*>1},N=<x\:--<0k则MCIN=()

A.[0,1)B.(0,1)C.(-1,+oo)D.(1,+8)

【答案】B

【详解】

解：因为M={x|2>1|,N={x|<0>

x1

所以M={x|x>0},N={x[-l<x<l},A/nN={x[0<x<l},

故选：B

2.复数z满足：zd——=2z,z=()

2-i

21212121.

A.-----iB.-----iC.-+—zD.一+-z

515155515155

【答案】A

【详解】

解：设Z=Q+bi,则2=〃-。1，

由z+2一1「2-z得21rL(2-T)(2+2i+i)…2丁1(}•=2(a-Z?i)

-2c2

ClH--=2。Q=—

•••■:,解得(5,

b+-^-2bb=」

[5I15

21.

..z=-----1.

515

4

3.“Vx>0,aWx+—的充要条件是()

x+2

1

A.a>2B.a>2C.a<2D.a<2

【答案】D

【详解】

44I4~

因为x>0，可得x+——=x+2+------2>2J（x+2）x-------2=2,

x+2x+2Vx+2

4

当且仅当x+2+——，即尤=0时等号成立，

x+2

4

因为1>0，所以x+---->2,

x+2

4

所以“Vx>0,a4x+----”的充要条件是。42.

x+2

4.北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化

与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，

某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一

个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】A

【详解】

由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，

当三人组中包含小明和小李时，安装方案有C；用=6种；

当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有用=2种，共计有6+2=8种，

故选：A.

5.“微信红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的金额为10

元，被随机分配成1.36元，1.59元，2.31元，3.22元，1.52元，供甲乙丙丁戊5人抢，每人只能抢一次，

则甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元的概率是（）

1234

A.-B.-C.-D.一

2555

【答案】B

【详解】

5个红包供甲、乙等5人抢共有父种情况，

若甲乙二人抢到的金额之和不低于45元,只能是1.36元和3.22元,1.59元和3.22元,

2

2.31元和3.22元，1.52元和3.22元，四种情况，共有4月8种情况.

故甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元的概率为越a2

A5

故选：B

6.的展开式中常数项为()

A.-160B.160C.80D.-8()

【答案】A

【详解】

展开式的通项公式为&=q-(2xp-(-l)r--=(-1/-26-r•C；•产”,

令6—2r=0,可得r=3,故(2n一工)展开式的常数项为—8C；=-160.

7.双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点尸2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延

长线经过左焦点耳.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”

的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为二-二=1,耳,鸟为其左、右焦点，若从右焦点B发出的光

ab~

3

线经双曲线上的点A和点5反射后，满足4皿=9°。,540=-“则该双曲线的离心率为()

3

【答案】c

【详解】

易知K，A,r>共线，K，B,C共线，如图，设==则加一〃=2«，

33

由tanZABC=-一得，tanZABF.=-,又N6AB=Nf；A0=9O。，

44

所以tan/A3G=j^=|,|钻|=如明则忸与闫A8|_|AE|=,

所以忸娟=2fl+|BZ^|=2a+-m-n=4a+—mf

由|A用麻=|耳；「得加？+—根=（4tz+—m）2»因为m>0,故解得加=3a,

\3J3

则〃二3。-2a=。，

在△人£居中，加2+〃2=（2C）2,即9a2+/=4,2,所以e=£=®.

a2

8.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学

的对称美如图.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个

面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线A3与C。所成角的大小是（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

4

【答案】c

【详解】

如图所示：将多面体放置于正方体中，以点。为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2

则A(l,0,2),3(0,1,2)4(021),。。2,0)

通=(—1,1,0),CD=(l,0,-l),设异面直线A8与cn所成角为e

11

所以COS0-.—=~~j=7=—~,故。=60°

|AB|-|CZ)|V2-V22

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如1221,

15351等都是回文数.若正整数，•与"满足24i<〃且〃24,在［10,-1,10,-1］上任取一个正整数取得回文

数的概率记为6,在口0/0"-1］上任取一个正整数取得回文数的概率记为则()

1〃

A./><^+1(2</<»-1)B.a<-

1ni-2

C.Qn>—二月D.Z月<1

1i=2n

【答案】BD

【详解】

对于选项A：在口01,10'-1］中的正整数都是i位的，一共有10,—1()1=9x101个，

若i=2Z,则回文数的个数是9xl()i个，

若i=2k+1,则回文数的个数是9x1(/个,

5

9xlOA-'_1_9x10"_1

所以与i=

9xIO?--历」2*+L-9X102A-lO7

所以2*>21+2，故选项A不正确;

对于选项D：

当n=2k时;

9(n-l)(2-i0r_10r)<9(n-l)

<1,

当〃=22+1时;

而%[2-播-马〈就J.故选项D正确;

由Q的定义:。,=寻行之(9xio-)pj,

1U—1U,=2

当〃二22时，由〃之4M得kN2,

1ni2ki111iw111

—y^=—y^>—10+1(?+1(7+"+10^J+lio+ior+ior

1金21金2k

Q*=F&[9(I+I°+…+10力+9(1°+…+iof]

（白阿小…+时力会力

又因为i-T（产210*-10-18%

>0(^>2),

1-

9kIO-9^-10*

6

12k

所以久<药"

当，=2上+1时，由〃24可得222,

1

n-\

2"M=15H^[9(1+10+…+101)+9(10+…+"T)]

<fj——[1800+…+10A-')1=2(°T)<_2_,

1()27_ioL、〃102*+2-1010*

1___I-?1___—1___1_1__1_

由以上可知10"1>/，10"：1()1所以10&；2

9k)9k9k9k10"

]2k+\

所以。2"l♦ZE，故选项B正确，选项C不正确,

2ki=2

故选：BD.

10.若a,b,ceR,则下列说法正确的是()

A.若>0,则3+2B.若则>宜

ba

c.若。>网，则/>力2D.若a>b,则!

ba

【答案】AC

【详解】

对于A,若">(),则小。同正、同负

所以0+242、叵•=2,故A正确；

ba\ba

对于B,若a>b,当/=0时，则〃(?2=〃G2,故B不正确；

对于C,若。>回>0,则/>〃，故c正确；

对于D,若a>0>力，则故D不正确.

ba

故选：AC

11.设M、N是函数/(x)=2sin(s+°)(①>0,0<9<")的图象与直线y=2的交点，若M、N两

7

点距离的最小值为6,尸是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是()

A.该函数图象的一个对称中心是(7,0)

B.该函数图象的对称轴方程是x=-1+3左，ZeZ

2

「71一

c./(x)在一5，一］上单调递增

D./(x)=2cos—x+—|

I36)

【答案】ABD

【详解】

因为M、"是函数/(》)=25皿5+°)(8>0,0<9<乃)的图象与直线丁=2的交点，

若“、N两点距离的最小值为6,则函数/(%)的最小正周期为7=6,.-.3=^=(,

所以，/(x)=2sin+。)，

将点P的坐标代入函数/(x)的解析式，可得/-；)=2sin°—2)=2,则$吊(0-曰=1.

c717T57r_.71712乃

♦[2<（p<兀、/.---<（p----<——,则9-----=—,:.（p=——,

666623

r（\~.（加2乃）C.（乃乃）（7C乃）

f\x]=2sin—x+——=2sin—x+——i■—=2cos-x-\——，D选项正确;

v7（33）（362）（36）

对于A选项，/(7)=2cos(q-+力■)=2cos5-=0,A选项正确；

jr丫jr1

对于B选项，由空+二=bz■(女eZ),解得x=——+3左伏eZ),

362

所以，函数/(力的图象的对称轴方程是x=-g+3左，keZ,B选项正确;

7171717t

对于C选项，当—时，—冗£—x-\—<一,

233618

“\71

所以，函数/(%)在区间一5，一§上不单调，c选项错误.

12.如图所示，在棱长为1的正方体ABC。一ABCR中，M,N分别为棱42，。。的中点，则以下

8

四个结论正确的是（)

A.B\C”MN

B.平面MNG

C.A到直线MN的距离为史1

4

3

D.过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为-乃

8

【答案】ACD

【详解】

正方体中，AQ//BC，而M,N分别为棱42，的中点，则MN//4。，所以4C〃MN,A正

确，B错误；

设A%与AD,MN分别交于点E,F,则A，_LA。，ADt1MN,

山M,N分别为棱AA，的中点，知F是中点，AF^-AD.,C正确；

44

正方体外接球球心是正方体对角线交点0，由对称性知过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积

最小的圆是以MN所在的弦为直径的截面圆，即截面圆圆心为尸，

0D]=—.D,F=—.cosZOD,F=^=^=—,

'214BD1乖）3

222

OF=D,F+D,O-2D.F-D.OcosZFD,O=2_+2_2x—x—x—=-,

1644238

截面圆半径为r,则，=0£）2—。/2=-3----3-=23，面积为5=〃，=巳3），口正确.

14888

故选：ACD.

9

Dy

Ci

AB

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知单位向量q,e2满足|2q-02l=G,设+023=2^+e2，则向量的夹角的余弦值为

一上.3面

【答案】——

14

【详解】

解：二,|ex|=|e21=1,|2et-e2\=y/3，

一________1

(2q-1)2=4+1—4q•4=3,***CJG=—

»«一-■,•.>—♦2—♦..2

「♦a»b=4-e)*(2e,+e)=2^,+3e+e=2+：I+3/=2,

2122222

|d|=J(q+4)2=Jq+2e0•ei+e2=J1+1+1=Ji，

1b[={(2%+e2)=弋4%+4/《+«2=v4+1+2==拒,

9

・・・_rci.b23721

cos<a,b>=-------=「「=--------'

\a\\h\百x"14

14.若函数/(x)满足：(1)对于任意实数%,当,当。(玉时，都有/(%)</(9)；(2)

f—=/(内)一/(工2)，则/(%)=___________.(答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数即可)

【答案】log“x(a>l)型的都对

【详解】

解：对于任意实数%,%,当0<当<々时，都有/(%)</(/),说明该函数在(0,+8)上单调递增,

又对数函数满足运算性质：f=—/(%)，

10

故可选一个递增的对数函数：y=Iog(,x(tz>l).

15.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点/且斜率大于0的直线/交抛物线于点A,8(点A于第一象限)，交其

准线于点C,若忸q=3忸尸则直线A3的斜率为.

【答案】2&

【详解】

如图,作班)JJ于。(/是准线)，则忸。=忸耳，由题意忸C|=3忸。；.|8|=2代忸。|,

CD

tanZCB£>=-=2V2r,由知8D//x轴，NCB。与直线AB倾斜角相等，

/.A8的斜率为2VL

故答案为：2a.

16.如图，在四棱锥P—A5CD中，底面ABCD为菱形，PD_L底面ABCD,。为对角线AC与BO的

71

交点，若PD=2,ZAPD=ZBAD=-则三棱锥?一AOD的外接球表面积为.

3f

B

11

【答案】16乃.

【详解】

取PA中点”，D4中点E，连接则ME〃PD,

因为PD_L底面ABC。，所以平面ABC。，ABCD是菱形，则AOLOD,所以E是△AOD的

外心，

又RD_L底面ABC。，ADu平面ABC。，所以PDJ.AD，所以M到P，A。,。四点距离相等，即为

三棱锥尸-A8的外接球球心.

7t_PA=-----=4

人PD=2,NAPD=—,所以7t,所以Ai4=A/P=2，

3cos-

所以三棱锥P-AOD的外接球表面积为S=4〃x2?=16%.

故答案为：16万.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①万2+J^ac=/+。2,②acos8=Z?sinA,@sinB+cosB=>/2>这三个条件中任选一个，补

充在下面的问题中，并解决该问题.

7Tl

已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为。，h,c,A=H，b=6，求AABC的

面积.

【详解】

解：（1）若选择①，b2+>/2ac=a2+c2

c°sB=y^=®空=显

由余弦定理,

2ac2ac2

12

因为3«（）,"），所以3=7；

,..V2-sin

bOsmAQnr

由正弦定理一J=，得",n=------>—=G

sinAsinBsinB，2

T

因为A=5,B=g所以C=5%

17

、

57r7171.717171、71V6+V2

所以sinC=sin——=sin一十一=sm—cos——bcos—sin—=

1246J46464

所以S^ABC=；a"sinC=；x百x血x"：血=",

(2)若选择②acos5=》sinA,则sinAcos3=sin8sinA，

因为sinAwO，所以sin5=cos5,

因为Be（O,乃），所以3=（；

,..V2-sin—

〃sm

由正弦定H一处二,得”=

sinAsinBsinBV2

T

717c71TV_57V

因为A=—,B=—,所以C二;r一一

343m

uc、］.厂.5%.(兀兀、.717171.71V6+V2

朋以sinC=sin——=sin--1--=sin—cos——Feos—sin—=----------

12U6)46464

所以S4A8c=；40sinC=；x>/5x>/^x

(3)若选择③sin3+cos5=&，

则sin(3+,所以sinB+—=1,

因为5£((),"),所以3+^£

JTTT7T

所以8+—=一，所以B=一；

424

13

V2-sin—

bZ?sinA

由正弦定理一2，得叫》

sinAsinB

2

7CTC万

因为A=生，B=—,所以C=乃一上一一5

3434TI

.57T.(Jr.7171兀.兀a+6

所以sinC=sm——=sin--1--=sin—cos——FCOS—sin—=----------

12U6)46464

所以SA4BC=—<z&sinC=-^xV3xV2x.

18.设正项数列｛凡｝的前〃项和为S“，2Sn=a^+an

(1)求数列｛%｝的通项公式;

S11

(2)求证：-------；<--

+<,-12

【详解】

(1)当〃=1时，由2s“=a：+a“，得4(4-1)=0

因为正项数列，所以弓>0,所以弓=1

2

因为当1时，2Sn=an+an

所以当〃N2时:2S,i=a„_,2+a„_]

2

两式相减得2s“—2S._]=an—an_^+an—an_t

即2%=a;一4_:+4—a—

所以a”+=(a„+«„_!)(«„-%)

因为数歹iJ｛a,,｝的各项均正，所以a„+>0

所以当〃22时，氏一4-=1

故数列｛4｝是公差为1的等差数列

故数列｛«„)的通项公式为a0=n

14

1______1_______1_1]

(2)因为F——~-

4+哝T/+0+1)2-12z(z+l)2cz+lj

故4A

19.如图，在五面体ABCOEf■中，四边形A3EF为正方形，平面A跳户_L平面CZ)庄，CD!IEF,

DF人EF，EF=2CD=2.

⑴若DF=2,求二面角A—CE—E的正弦值；

(2)若平面ACFJ_平面BCE,求DE的长.

【详解】

(1)因为平面A5E/J_平面CDEE，平面ABEFf)平面CDEE=E尸，DF入EF，DFu平面CDFE,

所以。尸_1平面A3EF,

所以。E_LAF，DF±FE，

/UU'uuriitni｝

又四边形MEE为正方形，则A尸，所，所以，以｛FARE,尸。｝为正交基底，建立如图所示空间直角坐

标系E一孙z.

则尸(0,0,0),4(2,0,0),E(0,2,0),C(0,l,2),

UUULW

则£4=(2,—2,0)，既？=(0,—1,2)，

设平面ACE的一个法向量为阳二(x,y,z)，

15

UUliuuuu

则〃2_L£4，m工EC，

m-EA=O2x-2y=0

所以《即《

m•EC=0-y+2z=0

不妨取z=l，则X=y=2,所以而=(2,2,1)；

-----------uuu

又FA=(2,0,0),FE=(0,2,0),FC=((),1,2)

uuuuiuciumi

所以必•JFE=0，FAFC=0'

所以E4J.EE，E4±fT>又FEcFC=F,FEu平面C斯，FCu平面CEF,

所以包=(2,0,0)为平面CE厂的一个法向量,

m-FA2

所以cos<m,FA>=

i^TWi3

A/5

所以二面角A—CE—尸的正弦值为

3

(2)设。/=［，>()),则C(0,l"),

___UUU__UL1U

所以丽=(2,0,0),EC=(0,-l,r)>M=(2,0,0),FC=(0,l,r)>

设平面BCE的一个法向量为E=(a,。,c)，则)_L丽，«±EC，

n-EB-02a=0

所以《

n-EC=Q—b+ct-0

不妨令c=l,则b=f,所以“=(0,r,l).

设平面ACF的一个法向量为s=(p,4,r),

1uu1uuus-FA=0'2p=0

则由s_LFA，51FC-得

S反=0’夕+片=0

不妨取r=l，则4=一入得］=(O,T,l),

因为平面ACF±平面BCE,

所以〃・s=()，即一厂+1=0，得f=1，

即DF=1.

20.近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商品和服务评价

16

3

系统.现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为一，对服务的好评

7

率为历；其中对商品和服务均为好评的有80次

(1)是否可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关？

(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的4次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变

量X：求对商品和服务全好评的次数X的分布列及其期望.

产(“自)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2n(ad-bcY

K=(其中〃—a+/?+c+d)

(a+/>)(<;+d)(a+c)(b+d)

【详解】

(1)由题意可得关于商品和服务评价的2x2列联表如下：

对服务好评对服务不满意总计

对商品好评8040120

对商品不满意602080

总计14060200

K-=200a600-2400‘2=11$87<2.706，

140x60x120x80

所以，不可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关.

Q02

(2)每次购物时，对商品和服务都好评的概率为荻=g,且X的取值可以是0』,2,3,4.

3216

其中P(X=0)=和X=1)=C：创|)

96

p(X=2)=C：

16

尸(X=4)=

X的分布列为:

17

X01234

812162169616

P丁丁

由于X~8(4，w),EX=1.

21.已知离心率为逅的椭圆C:+卫=1（。>b>0）经过点P（3,l）.

3«b2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设点p关于x轴的对称点为。，过点p斜率为匕，网的两条动直线与椭圆C的另一交点分别为M、

N（M、N皆异于点。）.若3=；,求AQMN的面积S最大值.

【详解】

（1）由条件可知£=迈，则耳•=竺曰=1一2=,，即储=3片,

a3a2a233

椭圆方程为方■十乒=1,代入点P（3,l）,得从=4，/=12,

22

所以椭圆方程是二+匕=1;

124

（2）设过点P（3,l）的直线尸加的方程：y=4（x-3）+l,与椭圆方程联立,

得(1+3婷+(6左一184.+27蜡—184—9=0,

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同理与1+3后’因为陕=晨所以“