高中数学简易逻辑一教学教案

《简易逻辑》学案

1.什么是命题___________________________

o命题的结构是“假设A则B〃

其中A是题设，B是结论。请举例。

2.举不是命题的例子：（没有作出判断的如:

不能判断真假的如：）

3.什么是真命题、假命题，请举例〔说明：

“成立〃的命题称真命题；反之，称假命题。

成立的标志是什么呢？是指满足了它的题

设，一定得到它所说的结果，得不到或者不

一定得到〔有时得到，有时得不到〕，都谓

之不成立。

例如，“锐角和钝角相等〃是假命题，“互补

的两个角，是一个锐角一个钝角〃也是假命

题。

所以，判定命题的真假时，是否满足“一

定〃，是唯一标准，只要有一个反例，就是

假命题。

请说明“SSA〃不能判断三角形全等的道理。

4.什么是假命题，请

举例。〔说明：假命题也是命题，要有“一

分为二〃的思想）

5谡辑连接词有“或〃、”且〃、”非〃

6什么是简单命题______________________

7什么是复合命题_______________________

8常用的复合命题有：

（其中p、q是简单命题），请举例。

9.“非命题〃的真值表

P非P

真假

假真

10.“且命题〃的真值表

Pqp且q

真真真

真假假

假真假

假假假

11.“或命题〃的真值表

Pqp或q

真真真

真假真

假真真

假假假

P非p

是不是

二W

><

><〔不大于)

e任

uO

A或B才且有

A且B4或百

都是不都是

任意x……存在x……

至少n个至多(n-1)个

有无

13.复合命题的非命题.写复合命题的“非命

题〃时，假设原来命题是用“或〃字连接的

复合命题，应把每个根本命题否认后再用

“且〃字连接；假设原来命题是用“且〃字

连接的复合命题，应把每个根本命题否认

后，用“或〃字连接。你知道为什么吗？

（=AuB,A^JB-AoB）

14.四种命题

原命题（假设A则B〕

逆命题〔假设B则A）

否命题〔假设了则方）

逆否命题（假设8则X）

说明：原命题具有相对性。“假设A则B〃

并不是命中注定的原命题，以上四种命题中

的任何一个都可以做原命题。

15.重要结论：

11）原命题真，它的逆命题不一定真。

〔2〕原命题真，它的否命题不一定真。

〔3〕原命题真，它的逆否命题真。

14［原命题假，它的逆否命题假。

由于逆命题与否命题互为逆否命题，所以：

逆命题与否命题的真假相同。

16.反证法：

（1）.依据：证明“假设A则巨〃是假命题，

也就证明了“假设人则『是真命题。

(2).大致过程：假设结论的补集成立，进行

推理，引出了矛盾。那么，原命题成立

例1.：A、B、C、D是同一平面上任意四点,

其中任意三点都不在同一条直线上。

求证：/XABC、AABD>AACD>Z\BCD不都是

锐角三角形。

例2.m、n都是奇数。证明关于x的方程

x2+g+孔=。没有整数解。

17.常见的没有逻辑连结词的复合命题：

①或命题：“存在X如何如何〃、“至少有

一个X如何如何〃等说法，它们都是“或〃

命题。

②且命题：“一切X都如何如何〃、“任意X

如何如何〃、“无论哪一个X都如何如何〃

等说法，它们都是“且〃命题。

18.否命题与非命题的区别：

原命题非命题否命题

假设A则B非假设A则B假设

典型题：

给出两个命题：

甲：关于X的不等式—+(〃-1)%+/〉。的

解集是Ro

乙：函数/(©=(2。2-4口是增函数。

(1)假设甲是真命题，求实数a的取值范

围；

〔2〕假设甲是假命题，求实数a的取值范

围；

(3)假设乙是真命题，求实数a的取值范

围；

(4)假设乙是假命题，求实数a的取值范

围；

(5〕假设甲、乙都是真命题，求实数a的

取值范围；

〔6〕假设甲、乙都是假命题，求实数a的

取值范围；

(7)假设甲是真命题或乙是真命题，求实

数a的取值范围；

(8)假设甲、乙至少有一个是真命题，求

实数a的取值范围；

(9〕假设甲、乙至少有一个是假命题，求

实数a的取值范围；

〔10〕假设甲真且乙假，求实数a的取值范

围；

(11)假设甲假且乙真，求实数a的取值范

围。

想法：甲是真命题=/\<00（。-1）2-4/<0

03a2+2a-1>0O〃<-1或a>|........①；

乙是真命题

02々2_。>00。<°或。>5・・・②

利用①②来进行交集、并集、补集运算，

就得到各题的答案。

充分条件与必要条件

1.真假命题的表示：

一般的，当命题“假设p则q〃是真命题时,

记作：pnq；当命题“假设p则q〃是假命

题时，记作：O

2.定义：当p=q时，就称：p是q的充分

条件；q是p的必要条件。

3.关于定义的理解，有下面的想法：

对于集合p、q：

假设p=q,则p是q的充分条件；q是

p的必要条件。所以，民间流传有“假设小

推出了大，则小是大的充分条件；大是小的

必要条件〃。

例如：因为有：x〉2nx〉0,所以x〉2是

x>0的充分条件；x>0是x>2的必要条件。

数轴图如下：

例如：ABCD是矩形—ABCD是对角线

相等的四边形。前者是后者的充分条件；后

者是前者的必要条件。Venn图如下：

4.当，O<7时，称p与q互为充要条件。Venn

图如下：

想法：p与q是相等集合，则p与q互为充

要条件。

5.点石成金：

对于集合p、q：

①假设p=q，则p是q的充分条件；q

是p的必要条件；

②假设pu小则p是q的充分不必要

条件；q是p的必要不充分条件；

③假设P=9,则p与q互为充要条件；

④假设p与q没有包含关系，而是相交、

相离关系，则p与q互称既不充分也不必要

条件。

请你画Venn图理解以上四种情况。

6.典型题：

【知识稳固练习】

1.写出“2——5x—3<0〃的几个必要不充

分条件;

想法：写出的集合的范围大。

2

解法:设p：2X-5X-3<0,BPP：-|<^<3

由定义：当时，q是p的必要不充分

条件，即q的范围比p：—<*<3大。例如:

-1<%<3或-3<%<3或-9％W3等等。

2.写出“2——5%—3<。〃的几个充分不必

要条件;

想法：写出的集合的范围小。

2

解法:设q：2x-5x-3<0,Bpq：-|<^<3

由定义：当〃U4时，p是q的充分不必要

条件，即p的范围比q：—<x<3小。例如:

0<%<3或-：<%<2或。<%<1等等。

3.写出“2/—5x—3<0〃的充要条

件;

想法：写出的集合的范围不能扩大，也不能

缩小。

解法:令P：21—5x—3<0,即p：-：<入<3

假设q是p的充要条件，那么，p=q,

“2X2-5X-3<0〃的充要条件是

1。

—<x<3

2°

4.写出“2f—5x—3＜。〃的几个既不充

分也不必要条件；

想法：写出的集合的范围与原范围无包含关

系。

5.p：.x(x_3)<0,q：2x2—5x—3<0,

贝！J：P是q的条件；

q是p的条件；

p是q的条件。

想法：画数轴，找包含关系，再下结论。

【能力练习】

6P.A={xx2+ox+2=0

2

n.B={xx—3x+2=0}.

①假设p是q的充分条件，求实数a的取值

范围；

②假设p是q的充分不必要条件，求实数a

的取值范围。

③假设p是q的充要条件，求实数a的值。

想法：将各种情况化归为集合间的包含关

系。答复顺序按③-②—①为宜。

7.甲：pcq=p,,乙：puq,那么，

甲是乙的条件；乙是甲的一条件。

想法：将=p化归为〃三学。很显然:

乙能推出甲，但甲不能推出乙。

所以乙是甲的充分不必要条件；

甲是乙的必要不充分条件。

8.甲：，，F；乙：xwy,那么，

甲是乙的条件；乙是甲的一条件。

想法：直接判断“一wy2n%。y〃不容易,

则通过判断它的逆否命题"X=y=/=,2〃

来实现。

【素质练习】

9.〃必+2%+1=0至少有一个负根的充要

条件是；

想法：一分为二思想，并集思想。

10.集合A=2%+3=0｝是单元素集

的充要条件是o

想法：一分为二思想，并集思想。

11.判断正误，并指出充分性、必要性

第一组

a>b=>a2>b2〔）

a>b>Q^a2>b2〔）

a>b=>4a>4b〔）

a>b>04a>4b〔）

第二组

a>b<^>a+c>b+c〔）

a1>b2b〔）

a>b2<»|^|>|Z?||）

a2wZ?2b（）

a2丰b?na丰b（、

第三组

在c>0时，a>boac>be〔

在c>0时，a>b<^ac<bc〔

含参数的不等式解法(专题一)

一.题型

1.参数a不在主元X的系数中；

例如：解不等式

⑴—(〃+〃2)+〃3>0

⑵x—1—l+a<0

x-a

[3)解不等式一<°n

2.参数a在主元X的系数中。

例如：解不等式

⑴ax+1>2

[2)ax+1>2a

ax-l、八

〔3〕解不等式1万一。

(4)解不等式侬2+(m—2)x—2〉0

二.解题规律：

两种题型的完全解答过程都必须对参数a,

〔其中4题是m)分不同的取值集合〔这些

集合的并集一般是R)分开求解。

题型“1”一般以某个“特征数〃来分R；

题型“2”一般以“系数=0”、“系数〉0”、

“系数<0〃来分R.

恒成立问题〔专题二）

通常，说某个方程（含未知数的等式）

恒成立，是指它的解集为R,即全体实数。

此时，称它“方程〃，口是心非，因为它是

一个恒等式了，例如：2x+l=x+l+xo类似地，

说一个方程恒不成立，是指它的解集为

即无解。例如％2+1+1=0。

与之对应，说某个不等式恒成立，是指

它的解集为R,即全体实数。此时，称它“不

等式〃，口是心非，因为它是一个绝对成立

的不等式了。例如f+x+l>0,类似地，说

一个不等式恒不成立，是指它的解集为0,

即无解，例如尤2+X+2W0。

解决恒成立（或恒不成立）问题的规律：

规律一.假设遇到含一个“门〃不等式的解

集为R或0,则往“非负〃去想。

例：假设不等式白+5]>。的解集为R,求a的

取值范围。

解：因为|2%+5|2°恒成立，这是绝对值的性

质。所以，假设不等式|21+5]>。恒成立，即

解集为R,则a<0.

例：假设不等式|2X+5|VQ的解集为0,求

a的取值范围。

解：因为|2%+5|20恒成立，所以|2%+5|<。

解集为0,所以假设不等式|2X+5|VQ的解

集为0,则a<0.

规律二.遇到一元二次不等式的解集为R或

0,则考虑抛物线的开口方向与“△〃这两

要素来列、解不等式组。

例：假设不等式x2-2x+a>0的解集为R,

求a的取值范围.

解：因为不等式f—2%+。>0的解集为

R,所以对应抛物线y=2x+a的图像整体

在x轴上方，又已经明确开口向上。故△<(),

即：4-4a<0,所以，a>l.

练习：假设不等式初2—QX+1〉O的解集

为R,求a的取值范围.