体育单招数学教学材料

目录

序言..........................................................................2

第一章预备知识一高中数学衔接知识点............................................3

第二章集合.....................................................................7

2.1集合基础训练1..........................................................................................................7

2.2集合基础训练2..........................................................................................................8

2.3集合综合训练............................................................9

第三章常用逻辑用语四种命题及其相互关系......................................10

3.1四种命题...............................................................10

3.2充要条件...............................................................11

3.3简易逻辑综合训练.......................................................13

第四章函数的基本概念..........................................................13

第五章函数的性质与图像......................................................17

5.1函数的单调性...........................................................17

5.2函数的奇偶性...........................................................19

5.3函数图像...............................................................20

第六章二次函数...............................................................24

第七章指数函数、对数函数与鬲函数............................................26

7.1指数函数、对数函数与募函数知识点......................................26

7.2初等函数训练1........................................................................................................30

7.3初等函数训练2........................................................................................................32

7.4初等函数训练3.......................................................................................................33

第八章反函数及函数复习.......................................................34

8.1反函数.................................................................34

8.2函数复习...............................................................37

第九章不等式..................................................................39

9.1不等式的性质及解法.....................................................39

9.2不等式综合训练.........................................................44

第十章数列...................................................................45

10.1数列的概念...........................................................45

10.2等差、等比数列.......................................................47

10.3数列复习..............................................................50

第十一章三角函数.............................................................52

11.1三角函数的概念.......................................................52

11.2同角三角函数关系及诱导公式...........................................54

11.3两角和与差及倍角公式.................................................55

11.4三角函数公式训练.....................................................57

11.5三角函数的图象与性质.................................................59

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序言

大部分体育单招考生数学基础比较差、底子薄。目前的问题是：时间紧、任务

重。如果重点抓不住，方法不得当，很可能就会出现心乱如麻、无从下手、动摇、

放弃，最终一无所获的不良后果。为此：北师特学校和体育单招网联手推出体育单

招系列教程，并以此为框架打造体育单招第一品牌体育单招文化课培训班，请同学

们做到如下几点：

1、认真学习、研究近年来的考试试题和《考试说明》。《考试说明》是体育单招

考试的依据，是体育单招复习的指南。单招试题是单招考试的载体，重点“考什么？”

“怎么考？”“怎样备考？”，同学们要心中有数。

2、突出重点，夯实基础：数学试题中，中、低档题大约占80%,选择题占60

分、填空题就占36分、解答题占54分。而应该突出重点：函数、数列、不等式、

概率、向量与三角函数等内容。考题中，这些知识以中低档题的形式出现的概率较

高。其次，精心选择例题、练习题。体育单招考生就要在这部分试题上下足工夫。

首先不能刻意去追求知识点的覆盖面，在重点章节的复习中狠抓三基（基础知识、

基本技能、基本方法）；精心配备例题，深刻讲解，使学生明确：本例题考查了哪些

知识点？怎样审题？怎样打开解题思路？解题的方法、技巧是什么？会出现哪些失

误？怎样避免这些失误？。选题的原则是：低起点、密台阶，最后达到强化训练、

巩固基础知识的目的。

3、强化课后落实，作业、测试必须认真及时完成，并且及时纠错、归纳整理。

相信通过师生的共同努力，同学们在体育单招中，一定会有可喜的收获！

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第一章预备知识-高中数学衔接知识点

1、绝对值：

⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

a{a>0)

⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，o的绝对值是o,即时=<o(a=o)

-a(a<0)

⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小

⑷两个绝对值不等式：|x|<a(a>0)o-。vX<Q；|x|>a(a>0)OXV-Q或

2、乘法公式：

⑴平方差公式：a2—h2—(a+b)(a—h)

⑵立方差公式：a3—b3—(a—b)(a2+ab+b2)

⑶立方和公式：a3+h^-(a+b)(a2—ab+b2)

⑷完全平方公式：(。±切2=/±2出?+入2,

(a+b+c)2-a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

⑸完全立方公式：(。±份3=«3±3a2/?+3«Z?2±/73

3、分解因式：

⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。

⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。

4、一元一次方程：

⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1,这样的方程叫一元一次方程。

⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

⑶关于方程⑪=人解的讨论

①当时，方程有唯一一解x=2；

a

②当。=0,6Ho时，方程无解

③当。=0,/,=0时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。

5、二元一次方程组：

(1)两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

(2)适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

(3)二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

(4)解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。

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6、不等式与不等式组

(1)不等式：

①用符不等号(>、丰、<)连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

(2)不等式的解集：

①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

(3)一元一次不等式：

左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等

式。

(4)一元一次不等式组：

①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

7、一元二次方程：ax2+hx+c-O(a^O)

①方程有两个实数根oA=^2-4«C>0

A>0

②方程有两根同号。\c

xx=—>0

.t2a

A>0

③方程有两根异号o\c

xx=一<0

.t2a

hr

④韦达定理及应用：%+X,=—,xx——

ay2a

片+W=(X+X)2-2%,|玉一々|=\/(内+彳2)2—4中2=/=[J"

2*(+X\[

X：+考=(4x)(ifX]七;为6X]->23]

8、函数

(1)变量：因变量，自变量。

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在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴

上的点表示因变量。

（2）一次函数：

①若两个变量y,x间的关系式可以表示成丁=丘+人（b为常数，k不等于0）的形式，

则称y是x的一次函数。②当方=0时，称y是x的正比例函数。

（3）一次函数的图象及性质

①把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系

内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。

②正比例函数y=Ax的图象是经过原点的一条直线。

③在一次函数中，当％<0,力<0,则经2、3、4象限；当k<0,b>0时，则经1、2、4

象限；当女>0,6<0时，则经1、3、4象限；当女>0,方>0时，则经1、2、3象限。

④当女〉0时，y的值随x值的增大而增大，当&<0时;y的值随尤值的增大而减少。

（4）二次函数：

①一般式：y=ax2+bx+c=a（x+—）2~~—（a0）,对称轴是％=--—,

2a4a2a

曰/b4ac-b'.

顶点是（一一,-------）；

2a4。

②顶点式：y=a{x+m）1+k{a^0）,对称轴是无=一伙顶点是（一根，Z）；

③交点式：y=。（工—%）@一声）（。。。），其中（内,0），（£,0）是抛物线与x轴的交点

（5）二次函数的性质

①函数'=办2+法的图象关于直线》=一2对称。

2a

②。>0时，在对称轴（x=-----）左侧，y值随x值的增大而减少；在对称轴（--—）

2a2a

右侧；y的值随x值的增大而增大。当工=-一h时，y取得最小4值cic*—一b~

2a4。

bh

③a<0时，在对称轴（x=------）左侧，y值随x值的增大而增大；在对称轴（x=-------）

2a2a

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右侧；y的值随工值的增大而减少。当x=-2h时，y取得最大值Acic—b~

2a4a

9、图形的对称

(1)轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么

这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的

线段被对称轴垂直平分。

(2)中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相

重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对

对应点所连成的线段都被对称中心平分。

10、平面直角坐标系

(1)在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做x轴

或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴与y轴统称坐标轴，他们的公共原点。称为直角坐

标系的原点。

(2)平面直角坐标系内的对称点：设Mt%,%)是直角坐标系内的两点，

①若M和AT关于y轴对称，则有广=—电。

②若M和AT关于x轴对称，则有|。

〔弘=-火

③若M和关于原点对称，则有《'2。

.y=一力

④若M和关于直线y=x对称，则有1"一,2。

x.=2a-x-,fx,=2a—x.

⑤若M和关于直线x=a对称，则有《।-或1o

,X=%IX=%

11、统计与概率：

(1)科学记数法：一个大于10的数可以表示成AxlO"的形式，其中A大于等于1小于

10,N是正整数。

(2)扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的

大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形统计图中，每部分

占息体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360度的比。

(3)各类统计图的优劣：①条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；②折线统

计图：能清楚反映事物的变化情况；③扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分

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比。

⑷平均数：对于N个数我们把+/）叫做这个N个数的

算术平均数，记为1。

（5）加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平

均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。

（6）中位数与众数：①N个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间

两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。②一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组

数据的众数。③优劣比较：平均数：所有数据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在

现实生活中常用，但容易受极端值影响；中位数：计算简单，受极端值影响少，但不能充分利用

所有数据的信息；众数：各个数据如果重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。

（7）频数与频率：①每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值

为频率。②当收集的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分布直方图。

（8）数据的波动：①极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。②方差是各个数据与

平均数之差的平方和的平均数。③标准差就是方差的算术平方根。④一般来说，一组数据的极差,

方差，或标准差越小，这组数据就越稳定。

（9）事件的可能性：①有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；有些

事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件：必然事件和不可能事件都是确定的。

②有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。③一般来说，不确定事件

发生的可能性是有大小的。

（10）概率：①人们通常用1（或100%）来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可

能事件发生的可能性。②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。③必然事件发生的概率为

I,记作P（必然事件）=1；不可能事件发生的概率为0,记作P（不可能事件）=0；如果A

为不确定事件，那么0<P（A）<l

第二章集合

2.1集合基础训练1

【考点精练】

1.常见集合的符号表示：自然数集正整数集整数集

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有理数集实数集

2.集合的表示方法123

3.集合间的基本关系：1相等关系：且2子集：A是3的子集，符号

表示为或3真子集：A是3的真子集，符号表示为或

4.集合三要素」.2.3.

5.不含任何元素的集合叫做,记作,并规定空集是任何集合的子集，是

任何非空集合的

【基本训练】

1.用适当的符号（e,e,=,u,n）填空：

万___Q;{3.14}Q；N____N*;{x|x=2&+l,ZeZ}{x|x=2Z-1,Zez}

2.若AcB=B,则AB；若=8则AB;Ar\BA<JB

3.集合A={x||x-3|<5},3={Hx<a},且A=则a的范围是

4.设全集0=/?,集合M={x|x>l},P={x|x2>l},则例P

【典型例题】

例.已知集合4={乂依2+2》+1=0,》€/?},4为实数。

（1）若A是空集，求a的取值范围；

（2）若A是单元素集，求a的取值范围；

【课堂检测】

1.集合P={H-_3x+2=0},Q=—1=()},若P?Q,则实数m的值是

2.已知集合A={-1,3,2m—1},集合B={3,m2}.若B=A,则实数=

3.设集合A={x[l<x<2},B={x|x<a},若A屋B,则a的取值范围是

2.2集合基础训练2

【考点精练】

1.由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与5的记作

2.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫做A与5的记作

3.若己知全集U,集合AQU,则GA=

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4.Ar^A=,Ar\0=,A<JA=

A<J0=AcGA=,AuGA=,

若AqB,则Ac3=,AD3=—

【基本训练】

1.集合A={x|x<-3^lx>3},5={x|x<IsJu>4),Ac8=.

2.设全集/={1,2,3,4,5},A={1,4},则GA=，它的子集个数是

3.若U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},贝U(GM)uN=

4.设U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},8={4,7,8}.则：(C。A)n(C6,S)=,

GA)5Q6)=___________________

【典型例题】

例1.已知全集(/=凡且4={刈％-1|>2},3=性|/-6%+8<0},则

(QA)B=

练习：设集合4=卜卜一2区2,%6/?},8={y|y=—1<%<2},则

G(A3)=

【课堂检测】

1.4={-4,2«-1,。2}刀={4—5,1-。,9},且AcB={9},则a的值是

2.满足条件{1,3}UA={1,3,5}的集合A的所有可能的情况有种

3.已知集合A={x|k|<5},3={x|-7<x<a},C={xM<x<2},且Ac8=C,则

ci—,b-

2.3集合综合训练

1.集合4={x|-l<r<2},B={x|x<l},贝IJ4CB=()

A.{x\x<\]B.{x|一1-2}C.{x\-1<X<1}D.{x\-1<X<1}

2.已知集合U={1,3,5,7,9},A={1,5,7},则QA=()

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A.{1,3}B.{3,7,9}C.{3,5,9}D.{3,9}

3.若集合A={x|国W1,XG/?1,B=|y|y=x2,1£尺},则AcB=()

A.{x|-l<x<l}B.{x|x>0}C.{x|O<x<l}D.0

4,若A={x|x+1>0},B={x|x—3vO},则AB=()

A.(-1,+oo)B.(-oo,3)C.(-1,3)D.(1,3)

5.已知全集U=R,集合”={x,-440卜则QM=()

A.1x|-2<x<2|B.[x\-2<x<2!C.卜,<-2或％〉2}D.|x|x<21

6.若集合A={0,1,2,3},8={1,2,4}则集合AuB=()

A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{1,2)D.{o}

7.集合P={xeZ[0<x<3},V={xeZ|x2<9},则夕门”=()

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}

8.设集合A={x||x-a|<l,xGR},8={X|1<x<5,xeR}.若AcB=0,则实数a的取值范围是

()

A.1a|0<a<6}B.^«|«<2,Wca>41C.{a|aWO,或aN6}D.12<a<4}

9.设集合A={x||x—a|<l,xeR},3={x||x—ZJ|>2,XGR}.若A[B,则实数a,b必满足

()

A.\a+b\<3B.|a+Z?|>3C.|«-/?|<3D.\a-h\>3

10.设集合乂={1,2,4,8}2={》|%是2的倍数},则MC1N=()

A.{2,4}B.{1,2,4}C.{2,4,8}D{1,2,8}

第三章常用逻辑用语四种命题及其相互关系

3.1四种命题

【考点精练】

1.可以的语句叫做命题.命题由两部分构成；

命题有之分；数学中的定义、公理、定理等都是命题.

2.四种命题：原命题：若p则q；逆命题：、否命题：逆否命

题：.

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3.四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题、否命题、逆否命

题,原命题与它的逆否命题同、否命题与逆命题同.

4.反证法：欲证“若p则q”为真命题，从否定其_____出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从

而判定原命题为真，这样的方法称为反证法.

【考点训练】

1.下列命题：①5>4或4>5；②9N3；③命题，若a>b,则a+c>b+c”的否命题；④命题“矩形的两

条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为.

2.若命题p的否命题为r,命题r的逆命题为s,则s是p的逆命题t的命题.

3.写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：

(1)如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；

(2)矩形的对角线互相平分且相等；

(3)相似三角形一定是全等三角形.

【典型例题】

例1.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：

(1)若q<l,则方程/+2x+q=0有实根;

⑵若岫=0,则a=0或6=0；

(3)若/+/=(),则x、>全为零.

解：(1)逆命题：若方程，+2x+q=0有实根，则“<1,为假命题.否命题：若收1,则方程7

+2x+q=0无实根，为假命题.逆否命题：若方程f+2x+q=0无实根，则q*,为真命题.

(2)逆命题：若a=0或b=0,则岫=0,为真命题.

否命题：若a毋0,则中0且厚0,为真命题.

逆否命题：若存0且厚0,则。厚0,为真命题.

(3)逆命题：若x、y全为零，则W+y2=0,为真命题.

否命题：若？+)?知，则小>不全为零，为真命题.

逆否命题：若x、y不全为零，则f+尸翔，为真命题.

3.2充要条件

【考点精练】

1.充分条件：如果片沟则p叫做q的条件，q叫做p的条件.

2.必要条件：如果gnp则p叫做“的条件，q叫做p的条件.

3.充要条件：如果p=>q且q0P则p叫做q的条件.

【考点训练】

1.“方>3”是》2>4”的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2"%>y”是“2V>2>”的（）条件

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A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

3.设集合加={x|()<x<3},N={x|()<x«2},那么“aeM”是“ae"”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知a,b,c,d为实数，且c>d.则“是“。一。>人一"”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【典型例题】

例1：指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条

件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)

(1)在△ABC中，p：ZA=ZB,q：sinA=sinB；

(2)对于实数x、y,p：x+yr8,q:xr2或

(3)非空集合A、B中，p：xEAUB,q：xGB；

(4)已知x、yGR,p：(x-1)2+(y-2)2=0,q：(x-1)(y-2)

解：(1)在△ABC中，ZA=ZB=>sinA=sinB,反之，若sinA=sinB,因为A与B不可能互补

(因为三角形三个内角和为180。),所以只有A=B.故p是q的充要条件

(2)易知：->p:x+y=8,->q:x=2且y=6,显然->q=-ip.但-•q,即-iq是->p的充分不必要

条件，根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件

(3)显然xWAUB不一定有x@B,但xGB一定有xGAUB,所以p是q的必要不充分条件

(4)条件p:x=l且y=2,条件q:x=l或

所以p=>q但q¥>p，故p是q的充分不必要条件

【要点解析】

1.处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论，然后才能进行推理和判断.不仅要深

刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念.

2.确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明.

3.等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等价

命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系.

4.对于充要条件的证明题，既要证明充分性，又要证明必要性，从命题角度出发，证原命题为

真，逆命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价变形(换)而得到，也可以从结论推

导必要条件，再说明具有充分性.

5.对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不止一个，必要条件也可能不止一个.

【课堂训练】

y—1.

1.设集合人={x\-------<0},B={x\\x-1|<«},若“a=l”是“ACB#0”的()

x+1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

2.命题“若a>b,则2">2〃一1”的否命题为；

3.判断命题：“若三近没有实根，则X。的真假性。

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3.3简易逻辑综合训练

一、选择题

1.设集合〃=曲>2},尸=次,<3},那么"xeM或reP"是"xeMP"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

2.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的()

充分不必要条件B.必要不充分条件

充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知条件p：(x+1)2>4,条件q:x>a,且〜是虫的充分而不必要条件，则a的取值范围是

()

A.a>lC.a>-D.a<-

4.已知a,b都是实数，那么,2方”是“a>b”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.若集合人={1,m2},集合B={2,4},则“m=2”是"AAB={4}”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件既不充分也不必要条件

二、填空题

6.已知条件p：|x+l|>2,条件q:5x-6>x),则非p是非q的条件

7.不等式|x|<a的一个充分条件为0<x<l,则a的取值范围为

8.已知下列四个命题：①a是正数；②b是负数；③a+b是负数；④ab是非正数.

选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命题.

第四章函数的基本概念

【函数概念】

1.映射(1)定义：设A、8是两个集合，如果按照对应法则f,对于集合A中的任何一个元

素在集合8中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A到集合8的映射，记

作:f:A(2).象与原象:ae4,66氏/:<7—。,。叫原象,。叫象.

2.函数的概念：

(1)如果A、8是两个非空数集，那么A到8的映射了:A-8叫做A到8的函数，记

作:y=A.其中x叫做自变量.自变量取值的范围叫做这个函数的定义域.

(2)如果自变量取值为a,则由对应法则/确定的值y称为函数在。处的函数值，记作

丁=/(a).所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域.

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3.函数的表示方法：解析法、列表法、图象法.

4.分段函数

若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用儿个式子来表示的函数叫分段函数.注:

分段函数是一个函数，而不是几个函数，它的连续与间断完全由对应法则来确定，对于分段函数,

必须分段处理.

0<x<l

问题探究1：函数y表示两个函数()

\<x<2

问题探究2.设集合/={RowxW2},N={y|0WyW2},从M到N有四种对应如图所示:

其中能表示为M到N的函数关系的有

【典型例题】

经检查，不可能表示函数y=/(x)的图象是。.

例2.已知函数/(x)的定义域为[—1,5],在同一坐标系下，函数y=/(x)的图象与直线x=l的

交点个数()

A.0个B.1个C.2个D.1个或2个均有可能

解析：•."(X)的定义域是[—1,5],而le[45,.•.点(1,7(1))在函数图象上，又在直线x=l

上，根据函数的定义可知：x=l与y=/(x)的图象只有一个交点.

5.定义域、值域、对应法则

要根据/(尤)的具体表达式求此函数的定义域.例如:若/(x)是分式，则定义域为使分式的分

母不为零的x取值的集合.当/(x)是偶次根式时，定义域是使被开方数取非负数的x取值集合.

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【课堂训练】

1.设有函数组：(Dy=x,y=；②y=x,y=\[^；®y=\[x,y=2;

④y=J(X>0),,y=®；⑤y=]gx-l,y=lg—.其中表示同一个函数的有

-1(x<0),x10

2.写出下列函数定义域：

(1)/(x)=l-3x的定义域为__________；(2)/*)=/；的定义域为______________；

X-1

⑶/。)=&斤+，的定义域为______________；(4)八>)=(：：1)°的定义域为

工姻-x

3.写出下列函数值域：

(1)f(x)=x2+x,xe{1,2,3}：(2)/(X)=X2-2X+2；(3)f(x)=x+l,xe(1,2].

【典型例题】

例3.(2010年单招考试真题)函数丫=-?」^+而1+2的定义域是()

A/4-X2

(A)(-2,l](B)(-2,1)(C)[-1,2)(D)(-l,2)

解析：要使式子有意义，必须满足{:二=:<2=74X<2,所以定义域是[-1,2),

答案C

例4.(2006年单招考试真题)函数/(x)=%一1)的定义域是()

A.{x|-2<x<1}B.{x|x<-2}{x\x>l}

C.{x|-l<x<2}D.{x\x<-1}{x|x>2}

Jp-(尤2—%—])20

解析：由4')一得/一工一121或/一X—2N0解得X4—1或XN2,答案

x2-x-1>0

【学习提示】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，

实际操作时要注意：①分母不能为0；②对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应

为非负数；④零指数累中，底数不等于0；⑤负分数指数塞中，底数应大于0；⑥若解析

式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得

实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的

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定义域不要漏写。

例5.(1)若函数/(x)的定义域是[—1,6],求/(x+1)的定义域.

(2)若/(%+1)的定义域是[一1,1],求/(2，)的定义域.

解析：(1)已知一14x46,由一14X+146得一24x<5,/(x+1)的定义域是

[—2,5].(2)已知一1建彳41,.・.04彳+142由0<2'<2得x41,/(2')的定义域为

(-8,1].

【学习提示】求复合函数定义域，即已知函数/(X)的定义为切，则函数/[g(x)]的定义

域是满足不等式a<g(x)WA的X的取值范围；一般地，若函数/[g(x)]的定义域是团,可，

指的是句，要求f(x)的定义域就是xe[a,例时g(x)的值域。

【演练平台】

1.函数yu)=J1—2:的定义域是.

2.函数f(x)=---------------的定义域为__________________.

2

log2(-x+4x-3)

3.函数y=—S-T(xeR)的值域为_______________.

l+x~

4.函数y=2X-3+V13-4X的值域为.

5.函数y=Jlogo.5(4x2-3幻的定义域为.

6.已知函数尸&4-D定义域是[-2,3],则的定义域是()

A.[0,—]B,[—1»4]C.[-5,5]D.[―3,7]

7.函数y=2-J-f+4%的值域是()

A.[-2,2]B.[1,2]C.[0,2]D.[-&垃]

8.已知/(x6)=log2X,那么/⑻等于()

41

A.—B.8G18Dt—

32

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第五章函数的性质与图像

5.1函数的单调性

【知识点播】1.定义：设y=/(x)的定义域为A,对加中任意为,々且由则

当/(办)</(々)时，那么就说y=/(x)在区间加上是增函数，如图2—2；当

/(%,)>/(%)时，那么就说丁=/(x)在区间〃上是减函数.如图2—3.

2.如果一个函数在某个区间M上是增函数(或减函数)，就说函数在这个区间上具有单调性，区

间M就称为该函数的一个单调递增区间(或单调递减区间).

【学习提示】求一个函数的单调区间应该首先求此函数的定义域.

3.复合函数的单调性

(1).复合函数的定义:如果函数y=/(〃),"=g(x),那么y=叫做函数y=/(")

和"=g(x)的复合函数，其中“是中间变量，x是自变量.

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例如：y=32*T可以看成函数y=3U和〃=2x-1的复合函数.

(2).复合函数的单调性

y=/[g(x)]的单调性由y=/(〃)及〃=g(x)的单调性确定.规律如下表2-3.

表2-3复合函数的单调性

增函数减函数