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第一节导数概念可导与连续关系导数几何意义导数定义思索题、小结第1页

微分学是微积分主要组成部分，它基本概念是导数与微分.本章着重介绍导数与微分概念及其计算方法，学习导数应用.首先我们从寻找曲线切线以及确定变速运动瞬时速度引出导数概念.

第2页一、问题提出1.自由落体运动瞬时速度问题如图,取极限得第3页2.切线问题割线极限位置——切线位置第4页

假如割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处切线.如图,极限位置即：第5页二、导数定义1.定义增量比极限第6页（3）关于导数说明：注:（1）导数其它表示方法：（2）导数不存在第7页2.单侧导数(1)左导数:(2)右导数:第8页普通步骤：3.分段函数在分段点导数第9页4.由定义求导数步骤:例1解:第10页第11页例3解:更普通地:比如,第12页例4解:利用等价无穷小替换第13页例5解:利用第二个主要极限第14页例解:定理函数可导必定连续，反之不一定成立.第15页三、导数几何意义几何意义切线方程为法线方程为第16页例解:由导数几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为第17页四、可导与连续关系定理函数可导必定连续，反之不一定成立.证实即函数在某点连续是可导条件.必要第18页函数在某点连续但不存在导数举例0比如比如011/π－1/π第19页01比如第20页思索题思索题解答第21页小结1.导数实质:增量比极限;3.导数几何意义:切线斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本方法:由定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.第22页作业P90T5,

T8,T10,T14,T15第23页第二节求导法则与基本初等函数求导公式初等函数求导问题反函数求导法则函数四则运算求导法则复合函数求导法则思索题、小结第24页1.导数实质:增量比极限;3.导数几何意义:切线斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本方法:由定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.内容回顾第25页一、函数四则运算求导法则定理1第26页证(3)第27页推论第28页例1解：例2解：第29页例3解：同理可得第30页解：同理可得例3第31页注意:分段函数求导时,分段点处导数必须用左右导数求.第32页二、反函数求导法则定理2即反函数导数等于直接函数导数倒数.第33页例4解：同理可得第34页例5解：尤其地第35页三、复合函数求导法则定理3即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)推广第36页证：第37页注意例6解第38页注意函数复合过程,合理分解,正确使用链式法则.例7解：第39页解：例8第40页例9解例10解第41页例11解第42页四、初等函数求导问题1.常数和基本初等函数导数公式第43页2.函数和、差、积、商求导法则3.复合函数求导法则设)(),(xvvxuu==可导，则（1）vuvu¢¢=¢

)(,（2）uccu¢=¢)(（3）vuvuuv¢+¢=¢)(,

（4）)0()(2¹¢-¢=¢vvvuvuvu.(是常数)利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全处理.注意:初等函数导数仍为初等函数.第44页思索题1.求曲线上与轴平行切线方程.3.幂函数在其定义域内（）.第45页思索题解答1令切点为所求切线方程为和思索题解答2正确地选择是（3）例在处不可导，取在处可导，在处不可导，取在处可导，在处可导，第46页正确地选择是（3）例在处不可导，在定义域内处处可导，思索题解答3第47页小结1.分段函数求导时,分界点处导数用左右导数求.2.反函数求导法则（注意成立条件）;3.复合函数求导法则（注意函数复合过程,

合理分解,正确使用链式法则）4.任何初等函数导数都能够按常数和基本初等函数求导公式和上述求导法则求出.关键:正确分解初等函数复合结构.第48页练习解关键:正确分解初等函数复合结构.第49页作业P100T3,

T7(奇),T9,T10(偶)第50页

第三节高阶导数高阶导数运算法则高阶导数求法举例高阶导数定义思索题、小结第51页1.分段函数求导时,分界点处导数用左右导数求.2.反函数求导法则（注意成立条件）;3.复合函数求导法则（注意函数复合过程,

合理分解,正确使用链式法则）4.任何初等函数导数都能够按常数和基本初等函数求导公式和上述求导法则求出.关键:正确分解初等函数复合结构.内容回顾第52页一、高阶导数定义问题:变速直线运动加速度.定义第53页记作三阶导数导数称为四阶导数,二阶和二阶以上导数统称为高阶导数.二阶导数导数称为三阶导数,第54页二、高阶导数求法举例直接法:由高阶导数定义逐步求高阶导数.例1解：第55页例2解：第56页例3解：第57页例4解：第58页例5解：同理可得第59页三、高阶导数运算法则莱布尼兹公式第60页例6解：第61页惯用高阶导数公式

利用已知高阶导数公式,经过四则运算、间接法:变量代换等方法,求出n阶导数.第62页例7解：第63页例8解：第64页思索题解:故用定义求第65页小结高阶导数求法1.直接法:由高阶导数定义逐步求高阶导数.2.高阶导数运算法则

利用已知高阶导数公式,经过四则3.间接法:运算、变量代换等方法,求出n阶导数.第66页作业P105T1(3,6),

T4(偶)

,T8第67页分析：P105T3第68页参数方程导数对数求导法隐函数导数第四节隐函数及由参数方程所确定函数导数思索题、小结第69页高阶导数求法1.直接法:由高阶导数定义逐步求高阶导数.2.高阶导数运算法则

利用已知高阶导数公式,经过四则3.间接法:运算、变量代换等方法,求出n阶导数.内容回顾第70页一、隐函数导数

隐函数隐函数显化问题:隐函数不易显化或不能显化怎样求导?第71页例1隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.解：另解（显化）：第72页基本步骤：第73页例2解：解得：第74页例3解：所求切线方程为显然经过原点.第75页例4解：第76页二、对数求导法

先在方程两边取对数,然后利用隐函数求导方法求出导数.方法:------对数求导法方程两边取对数,第77页解：例5等式两边取对数得第78页解：等式两边取对数得例6对数求导法适用范围:

第79页三、参数方程导数比如消去参数问题:

消参困难或无法消参怎样求导?第80页由复合函数及反函数求导法则得：看作复合函数第81页第82页解：例7

所求切线方程为：第83页解：例8第84页思索题思索题解答不对．第85页小结1、隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.先在方程两边取对数,然后利用隐函数求导方法求出导数.2、对数求导法：3、由参数方程所确定函数导数：第86页作业P112T1(3,6),

T3(偶),T4(2，3),T6(奇)第87页第五节函数微分微分在近似计算应用微分几何意义微分定义微分公式与微分运算法则思索题、小结第88页1、隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.先在方程两边取对数,然后利用隐函数求导方法求出导数.2、对数求导法：3、由参数方程所确定函数导数：内容回顾第89页一、问题提出引例1:正方形金属薄片受热后面积改变量.第90页引例2:既轻易计算又是很好近似值第91页二、微分定义定义1、微分定义2、可微条件定理第92页注：;)(,)5(0相关和但与无关常数是与xxfxAD第93页2、可微条件定理证：(1)必要性：第94页(2)充分性：第95页解：例1例2解：第96页第97页三、微分几何意义MNT）几何意义:(如图)

P

Q第98页四、微分公式与微分运算法则1.常数和基本初等函数微分公式第99页2.函数和、差、积、商微分法则第100页解：例3解：例4第101页3.复合函数微分法则—微分形式不变性微分形式不变性结论：第102页解：例6解：例5第103页练习解第104页练习解第105页五、微分在近似计算中应用第106页例7解：第107页解:例8第108页惯用近似公式：（1）（2）（3）（4）（5）第109页思索题思索题解答：说法不对.

从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到，导数是从函数改变率问题归纳出函数增量与自变量增量之比极限，它们是完全不一样概念.第110页函数改变率问题函数增量问题微分概念导数概念求导数与微分方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用科学,叫做微分学.微分学所要处理两类问题:导数、微分与连续性联络:★可导可微连续★小结第111页导数与微分区分:★第112页作业P122T3(偶),

T5,

T6第113页第六节边际与弹性经济学中常见弹性函数经济学中常见边际函数边际概念小结弹性概念第114页函数改变率问题函数增量问题微分概念导数概念求导数与微分方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用科学,叫做微分学.微分学所要处理两类问题:导数、微分与连续性联络:★可导可微连续★内容回顾第115页一、边际概念1、概念引入平均改变率是函数增量与自变量增量之比，函数

如年产量平均改变率、成本平均改变率、利润平均改变率等．

瞬时改变率

是函数对自变量导数.瞬时改变率为处可导，则在在假如函数xxxfy=00)(第116页定义12、边际定义常略去“近似”经济意义:第117页例1解：注：第118页二、经济学中常见边际函数1、边际成本即总成本函数C(Q)导数.因为总成本＝固定成本＋可变成本，即则边际成本为边际成本与固定成本无关.经济意义:当已经生产了Q个单位产品时,再增产一个单位产品所增加总成本.第119页例2(1)指出固定成本、可变成本;(2)求边际成本函数及产量为Q=200时边际成本，并说明其经济意义.某厂生产某种产品，总成本C是产量Q函数解：(1)固定成本为200，可变成本为(2)边际成本函数：产量为200件时边际成本为24，它表示当产量为200件时，再生产1件产品总成本增加24元.平均成本为？

第120页2、边际收益即总收益函数R(Q)导数.经济意义:当已经销售了Q个单位产品时,再销售一个单位产品所增加总收益.设P为价格，Q是销售量，有第121页例3设某产品需求函数为：其中为价格，为销售量，当销售量为15个单位时，求总收益、平均收益与边际收益；并求销售量从15个单位增加到20个单位时平均改变率。故销售量为15个单位时，有(1)总收益函数为：

解：(2)平均收益为：

(3)边际收益为：

(4)当销售量从15个单位增加到20个单位时收益平均改变率为：

第122页3、边际利润即总利润函数L(Q)导数.经济意义:当已经生产了Q个单位产品时,再生产一个单位产品所增加总利润.因为则边际利润为总利润＝总收益－总成本，即

边际利润可由边际收入与边际成本决定，且第123页经济意义：

如产量已到达Q，再多生产一个单位产品，所增加收益大于所增加成本，总利润有所增加。

如产量已到达Q，再多生产一个单位产品，所增加收益要小于所增加生产成本，总利润将降低。

如产量已到达Q，再多生产一个单位产品，所增加收益等于所增加生产成本，总利润到达最大。第124页例4解：经济解释：当生产量为每个月20吨时，再增产一吨，利润将增加50元，当产量为每个月25吨时，再增产一吨，利润不变；当产量为35吨时，再增产一吨利润降低100元。边际利润为某工厂对其产品情况进行了大量统计分析后，得出总利润L(Q)(元)与每个月产量Q（吨）关系为第125页4、边际需求即需求量Q对价格P导数.例5解：经济意义：巧克力价格由原10元价再增加1元，每七天需求量将降低0.432千克。第126页三、弹性概念

边际函数中,函数改变量与函数改变率是绝对改变量与绝对改变率．在经济问题中，有时仅知道函数绝对改变量与绝对改变率是不够．

比如:

设有A和B两种商品，其单价分别为10元和100元．同时提价1元，显然改变量相同，但提价百分数大不相同，分别为10%和1%，前者是后者10倍。

所以有必要研究函数相对改变量以及相对改变率，这在经济学中称为弹性．它定量地反应了一个经济量(自变量)变动时，另一个经济量(因变量)随之变动灵敏程度，即自变量变动百分之一时，因变量变动百分数．第127页定义2第128页注:近似第129页四、经济学中常见弹性函数1、需求价格弹性例6解：普通地,需求量是价格单减函数,所以需求价格弹性Ed