华东师大版七年级数学上册举一反三专题3.4整式中的八大规律探究题(原卷版+解析)

专题3.4整式中的八大规律探究题【华东师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1单项式的系数与次数的变化规律】 1【题型2多项式的项及次数的变化规律】 2【题型3图表的规律】 2【题型4图形的规律】 3【题型5算式的规律】 4【题型6程序运算】 5【题型7定义新运算】 6【题型8动点规律探究】 6【题型1单项式的系数与次数的变化规律】【例1】（2023春·云南昆明·七年级昆明市第三中学统考阶段练习）按一定规律排列的单项式：a2，−2a3，4a4，−8a5，16a6，…，第n个单项式是（）A．(−1)n+1n2C．(−1)n+12【变式1-1】（2023春·山东滨州·七年级统考期中）观察下列单项式：xy2,−2x2【变式1-2】（2023春·七年级课时练习）观察下列三行数：①2，−4，8，−16，32，−64，…；②3，−3，9，−15，33，−63，…；③−1，2，−4，8，−16，32，…；取每一行的第n个数，依次记为x，y，z，当n=2时，x=−4，y=−3当n=7时，请直接写出x，y，z的值，并求这三个数中最大数与最小数的差．【变式1-3】（2023春·七年级课时练习）观察下列单项式：−x,3x(1)这组单项式的系数依次为多少？系数的绝对值的规律是什么？(2)这组单项式的次数的规律是什么？(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么吗？(4)请你根据猜想，写出第2022个、第2023个单项式．【题型2多项式的项及次数的变化规律】【例2】（2023春·河北廊坊·七年级统考期末）有一组按规律排列的多项式：a−b，a2+b3，A．a2023+b4047 B．a2023−【变式2-1】（2023春·北京延庆·七年级统考期末）观察一组按规律排列的代数式：a+2b，a2−2b3,【变式2-2】（2023春·全国·七年级专题练习）有一组多项式：a−b2，a3+b4，a5【变式2-3】（2023春·七年级课时练习）已知多项式a10(1)根据这个多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗⋅(2)最后一项的系数m的值为多少⋅(3)这个多项式的第七项和第八项分别是什么⋅【题型3图表的规律】【例3】（2023春·广东佛山·七年级统考期末）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a=90时，b的值为（

）a68101214…b815243548…c1017263750…A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【变式3-1】（2023春·广东揭阳·七年级统考期末）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定a的值为（

）A．10 B．9 C．8 D．7【变式3-2】（2023春·广西南宁·七年级统考期中）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的142638410……a20……29320435554bx第1个第2个第3个第4个……根据此规律确定x的值为（

）A．252 B．209 C．170 D．135【变式3-3】（2023春·吉林长春·七年级统考期末）如图，在表一中，将第1行第3列的数记为[1，3]，则[1，3]＝3，将第3行第2列的数记为[3，2]，则[3，2]＝6；按照要求回答下列各题：（1）在表一中，[3，5]＝，[8，10]＝；（2）在表一中，第3行第n+1列的数可以记为[3，n+1]＝；（3）如图，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，求3a+b﹣2c的值．【题型4图形的规律】【例4】（2023春·云南临沧·七年级统考期末）如图，用字母“C”、“H”按一定规律拼成图案，其中第1个图案中有4个H，第2个图案中有6个H，第3个图案中有8个H，……，按此规律排列下去，第2023个图案中字母H的个数为(

)

A．4044 B．4046 C．6069 D．4048【变式4-1】（2023春·四川成都·七年级统考期末）用棋子摆成如图所示的“小房子”，则图⑤需要枚棋子，图n需要枚棋子（用含n的代数式表示）．

【变式4-2】（2023春·山东临沂·七年级校考期末）第一个图案需要6根小棒，第二个图案需要11根小棒，第3个图案需要16根小棒…，则第10个图案需要根小棒．

【变式4-3】（2023春·甘肃兰州·七年级校考期末）下列图形都是由同样大小的小钢珠按一定规律排列的，按照此规律排列下去，第40个图形有小钢珠颗．

【题型5算式的规律】【例5】（2023春·广东广州·七年级统考期末）观察以下等式：第1个等式：2×1+1第2个等式：2×2+1第3个等式：2×3+1第4个等式：2×4+1……按照以上规律，第5个等式是：，第n个等式（用含n的式子表示）是：．【变式5-2】（2023春·江西景德镇·七年级统考期末）仔细观察下列规律：22−2=22−1=2：(1)28(2)2n−1(3)小明做完上述两题后，发现了一个运算规律：2=请你参考小明发现的规律计算：2100【变式5-3】（2023春·浙江宁波·七年级校联考期末）请仔细观察下列各等式的规律：第1个等式：11×3第2个等式：13×5第3个等式：15×7…(1)请用含n的代数式表示第n个等式的规律；(2)将第1个等式至第2023个等式的左边部分相加，值为多少？【题型6程序运算】【例6】（2023春·山西吕梁·七年级统考期末）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为25，则第

2023次输出的结果是

．【变式6-1】（2023春·河南郑州·七年级统考期末）对于不同的起始数字，反复运用任何一个固定的运算程序，由此产生的结果总是会停留在某个或某几个数字上，称之为“数字黑洞”．小明写下了一列数1234567890，按照“偶-奇-总”的程序不断排出新数：这十个数中，偶数有5个，奇数有5个，总数有10个，得到新数为5510；再把5510，按照“偶-奇-总”排列，……继续下去，你将得到一个“数字黑洞”是．【变式6-2】（2023春·河南郑州·七年级河南省实验中学校考期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，……，请你探索第2023次得到的结果为．【变式6-3】（2023春·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期末）小磊想编一个循环“插数”程序，对有序的数列：-2，0进行有规律的“插数”：对任意两个相邻的数，都用右边的数减去左边的数之差“插”在这相邻的两个数之间，产生一个个新数列.如：第1次“插数”产生的一个新数列是-2，2，0；第2次“插数”产生的一个新数列是-2，4，2，-2，0；第3次“插数”产生的一个新数列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0；……，第2019次“插数”产生的一个新数列的所有数之和是.【题型7定义新运算】【例7】（2023春·吉林长春·七年级统考期末）定义一种新运算：“⊗”观察下列各式：2⊗3=2×3+3=9

3⊗−1=3×3−1=85⊗−3=5×3−3=12，则a⊗b=（用含a、【变式7-1】（2023春·陕西安康·七年级统考期末）定义：若a是不为1的有理数，则11−a称为a的差倒数．如2的差倒数为11−2=−1．现有若干个数，第一个数记为a1，a2是a1的差倒数，a3是【变式7-2】（2023春·重庆·七年级统考期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为n2k（其中k是使n2若n=23，则第2022次“F”运算的结果是（）A．74 B．37 C．92 D．23【变式7-3】（2023春·湖南岳阳·七年级统考期末）定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数是一对“友好数”．如：有理数54与5，因为54+5=（1）有理数a和b是一对“友好数”，当a=4时，则b=；（2）对于有理数x（x≠0且x≠1），设x的“友好数”为x1；x1的倒数为x2；x2的“友好数”为x3；x3的倒数为x4；……依次按如上的操作，得到一组数，x【题型8动点规律探究】【例8】（2023春·重庆·七年级统考期末）如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…，依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达P1的位置，点P从0跳动21次到达P2的位置，…，点P1、P2、P3…Pn在一条直线上，则点

A．887 B．903 C．909 D．1024【变式8-1】（2023春·浙江台州·七年级统考期末）点O在直线AB上，点A1，A2，A3，……在射线OA上，点B1，B2，B3，……在射线OB上，图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度．一个动点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动，即从OA1B1B2A2……按此规律，则动点M到达A10点处所需时间为（）秒．A． B．C． D．【变式8-2】（2023春·全国·七年级期末）如图，数轴上的O点为原点，A点表示的数为﹣2，动点P从O点出发，按以下规律跳动：第1次从O点跳动到OA的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1A的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2A的中点A3处，…，第n次从An﹣1点跳动到An﹣1A的中点An处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，那么An点所表示的数为．【变式8-3】（2023春·广东梅州·七年级统考期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环行，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2022次相遇在哪条边上？（）A．AD B．AB C．BC D．CD

专题3.4整式中的八大规律探究题【华东师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1单项式的系数与次数的变化规律】 1【题型2多项式的项及次数的变化规律】 3【题型3图表的规律】 5【题型4图形的规律】 8【题型5算式的规律】 11【题型6程序运算】 14【题型7定义新运算】 17【题型8动点规律探究】 20【题型1单项式的系数与次数的变化规律】【例1】（2023春·云南昆明·七年级昆明市第三中学统考阶段练习）按一定规律排列的单项式：a2，−2a3，4a4，−8a5A．(−1)n+1n2C．(−1)n+12【答案】C【分析】分别分析a的系数与次数的变化规律，写出第n个单项式的表达式．【详解】解：a2−2a4a−8a5=(−1∴第n个单项式是(−1)故选：C．【点睛】本题考查了单项式的找规律问题，分别找出符号、系数、次数的变化规律，从而得出单项式的变化规律．【变式1-1】（2023春·山东滨州·七年级统考期中）观察下列单项式：xy2,−2x2【答案】2021【分析】根据已知单项式得出第n个单项式为（−1）n+1•nxnyn+1，据此可得．【详解】解：由已知单项式知第n个单项式为（−1）n+1•nxnyn+1，∴第2021个单项式是2021x故答案为：2021x【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是将单项式划分为符号、系数的绝对值、字母的指数，并找到各部分与序数的关系．【变式1-2】（2023春·七年级课时练习）观察下列三行数：①2，−4，8，−16，32，−64，…；②3，−3，9，−15，33，−63，…；③−1，2，−4，8，−16，32，…；取每一行的第n个数，依次记为x，y，z，当n=2时，x=−4，y=−3当n=7时，请直接写出x，y，z的值，并求这三个数中最大数与最小数的差．【答案】x=128，y=129，z=−64，193【分析】根据已知发现：第①行的数，从第二个数开始，后面一个数是前面一个数乘−2得到的，第②行的数第①行对应的数加1；第③行的数为第①行对应的数的一半的相反数，依此分别求出x、y、z的值，进而求解即可．【详解】通过观察发现：①2，−4，8，−16，32，−64，⋯，规律为−−2②3，−3，9，−15，33，−63，⋯，规律为−−2③−1，2，−4，8，−16，32，⋯，规律为12当n=7时，x=−−2y=−−2z=1这三个数中最大的数与最小的数的差为129−−64【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，观察数列，发现第②行、第③行的数与第①行数的关系以及第①行数的排列规律是解题的关键．【变式1-3】（2023春·七年级课时练习）观察下列单项式：−x,3x(1)这组单项式的系数依次为多少？系数的绝对值的规律是什么？(2)这组单项式的次数的规律是什么？(3)根据上面的归纳，你可以猜想出第n个单项式是什么吗？(4)请你根据猜想，写出第2022个、第2023个单项式．【答案】(1)−1,3,−5,7,⋯,−37,39,⋯，系数的绝对值的规律是2n−1(2)这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数(3)(−1)(4)第2022个单项式是4043x2022【分析】（1）根据单项式系数的含义进行求解，再观察其绝对值的规律即可；（2）观察次的变化，从而可求解；（3）结合（1）（2）进行分析即可；（4）根据（3）进行求解即可．【详解】（1）解：这组单项式的系数依次是−1,3,−5,7,⋯,−37,39,⋯，系数的绝对值为1,3,5,7,⋯,37,39,⋯，是从1开始的奇数，∴系数的绝对值的规律是2n−1．（2）解：这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数．（3）解：由（1）问得：符合规律是(−1)n∵这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数，∴第n个单项式是(−1)n（4）解：第2022个单项式是4043x2022，第2023个单项式是【点睛】本题主要考查找规律，能够通过观察题中的单项式找出规律是解题关键．【题型2多项式的项及次数的变化规律】【例2】（2023春·河北廊坊·七年级统考期末）有一组按规律排列的多项式：a−b，a2+b3，A．a2023+b4047 B．a2023−【答案】D【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．【详解】解：多项式的第一项依次是a，第二项依次是−b，得到第n个式子是：an当n=2023时，多项式为a故选：D．【点睛】此题主要考查了多项式，本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解决这类问题的关键．【变式2-1】（2023春·北京延庆·七年级统考期末）观察一组按规律排列的代数式：a+2b，a2−2b3,【答案】a【分析】根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号．【详解】解：∵当n为奇数时，−1n+1当n为偶数时，−1n+1∵每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，∴第n个式子是an故答案为：an【点睛】本题考查了多项式规律，认真观察式子的规律是解题的关键．【变式2-2】（2023春·全国·七年级专题练习）有一组多项式：a−b2，a3+b4，a5【答案】a【分析】观察已知多项式，得出一般性规律，确定出第n个多项式即可．【详解】解：根据题意，∵a−b2，a3+b∴第n个多项式为：a2n−1故答案为：a2n−1【点睛】此题考查了多项式，找出正确的规律是解本题的关键．【变式2-3】（2023春·七年级课时练习）已知多项式a10(1)根据这个多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗⋅(2)最后一项的系数m的值为多少⋅(3)这个多项式的第七项和第八项分别是什么⋅【答案】(1)十次十一项式；(2)21；(3)13a【分析】（1）该多项式按照a的降幂排列，每一项的次数是10，奇数项的符号是正号，偶数项的符号是负号即可解答；（2）观察已知多项式每一项的系数即可得到最后一项的系数m的值；（3）结合（1）即可得到多项式的第七项和第八项．【详解】（1）解：∵多项式a10−3a∴该多项式有11项，并且每一项的次数是10，∴该多项式是十次十一项式；（2）解：∵多项式a10−3a∴每一项的系数是1、−3、5、……，且偶数项为负数，奇数项为正数，∴第n项的系数为−1n+1∴第11项的系数为21，∴m=21,∴最后一项的系数m的值为21．（3）解：∵多项式a10−3a9b+5∴第七项的系数是−1n+12n−1=13∵多项式a10−3a9b+5∴第七项是13a4b【点睛】本题考查了规律型：数字的变化列，多项式的的有关概念，理解多项式的项，项数，次数是解题的关键．【题型3图表的规律】【例3】（2023春·广东佛山·七年级统考期末）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a=90时，b的值为（

）a68101214…b815243548…c1017263750…A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【分析】观察表格，可知a对应的数的规律是a=2(n+2)，n表示第几项，b对应的数的规律是b=(n+2)【详解】解：根据题意可知，a对应的数的规律是a=2(n+2)，n表示第几项，当a=90时，90=2(n+2)，∴n=43，即第43个数，b对应的数的规律是b=(n+2)∴b=(n+2)故选：C．【点睛】本题主要考查数字规律，观察数与数的关系，找出数字间的规律是解题的关键．【变式3-1】（2023春·广东揭阳·七年级统考期末）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定a的值为（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】首先根据图示，可得第n个表格的左上角的数等于n，然后根据4−1=3，6−2=4，8−3=5，【详解】解：观察表格可得第n个表格的左上角的数等于n，∵4−1=3，∴可得从第一个表格开始，右上角的数与左上角的数的差分别是3、4、5、…，n+2，∴20−a=a+2，∴a=9，故选B．【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律．【变式3-2】（2023春·广西南宁·七年级统考期中）下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的142638410……a20……29320435554bx第1个第2个第3个第4个……根据此规律确定x的值为（

）A．252 B．209 C．170 D．135【答案】B【分析】先根据这四个数的变化规律得出这四个数，再根据规律计算即可．【详解】根据题意可知右上角的数是左下角的数的2倍，左上角的数比左下角的数少1，且右下角的数是左下角和右上角两个数的乘积再加上左上角的数，所以b=10，a=9，则x=20b+a=20×10+9=209．故选：B．【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，得出变化规律是解题的关键．【变式3-3】（2023春·吉林长春·七年级统考期末）如图，在表一中，将第1行第3列的数记为[1，3]，则[1，3]＝3，将第3行第2列的数记为[3，2]，则[3，2]＝6；按照要求回答下列各题：（1）在表一中，[3，5]＝，[8，10]＝；（2）在表一中，第3行第n+1列的数可以记为[3，n+1]＝；（3）如图，表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，求3a+b﹣2c的值．【答案】（1）15，80；（2）3n+3；（3）28．【分析】（1）根据表格一可知，第一列相差1，第二列相差2，第n列相差n；第一行相差1，第二行相差2，第n行相差n；据此即可求解；（2）类比（1）的规律得出结论；（3）根据第n列相差n；第n行相差n；据此即可求解．【详解】解：（1）[3，5]表示第3行第5列，则结果为：3+3+3+3+3=15；[8，10]表示第8行第10列，则结果为：10×8=80，故答案为：15，80；（2）类比（1）可得：[3，n+1]表示第3行第n+1列的数为：3+(n+1-1)×3=3n+3；（3）解：表二截取的是其中的一列：上下两个数字的差相等，所以a=15+3=18；表三截取的是两行两列的相邻的四个数字：右边一列数字的差应比左边一列数字的差大1，所以b=24+25-20+1=30；表四：3×6=18，4×8=32，可以判断出c在第四列、第七行，即c=4×7=28；∴3a+b﹣2c＝3×18+30-2×28=28．故答案为：28．【点睛】本题考查了数字的变化规律，找出各个数字之间的关系：第n列相差n；第n行相差n是解题的关键．【题型4图形的规律】【例4】（2023春·云南临沧·七年级统考期末）如图，用字母“C”、“H”按一定规律拼成图案，其中第1个图案中有4个H，第2个图案中有6个H，第3个图案中有8个H，……，按此规律排列下去，第2023个图案中字母H的个数为(

)

A．4044 B．4046 C．6069 D．4048【答案】D【分析】根据题目中的图案，可以写出前几个图案中“H”的个数，从而可以发现“H”个数的变化规律，进而得到第n个图案中“H”的个数，从而可求解．【详解】解：由图可知，第1个图案中“H”的个数为：2×2=4(个)，第2个图案中“H”的个数为：2×3=6(个)，第3个图案中“H”的个数为：2×4=8(个)，…，则第n个图案中“H”的个数为：2(n+1)，∴第2023个图案中字母H的个数为：2×2024=4048．故选：D．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中“H”个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．【变式4-1】（2023春·四川成都·七年级统考期末）用棋子摆成如图所示的“小房子”，则图⑤需要枚棋子，图n需要枚棋子（用含n的代数式表示）．

【答案】29(6n−1)【分析】根据已知图形找出规律求解即可．【详解】解：∵第①个图形中棋子的数量为：5=2×6−7，第②个图形中棋子的数量为：11=3×6−7，第③个图形中棋子的数量为：17=4×6−7，第④个图形中棋子的数量为：23=5×6−7，∴第⑤个图形中棋子的数量为：6×6−7=29，第n个图形中棋子的数量为：6(n+1)−7=6n−1．故答案为：29；(6n−1)．【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．【变式4-2】（2023春·山东临沂·七年级校考期末）第一个图案需要6根小棒，第二个图案需要11根小棒，第3个图案需要16根小棒…，则第10个图案需要根小棒．

【答案】51【分析】根据所给的图形不难得出第n个图形小棒的根数为：6+5n−1【详解】解：∵第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11=6+5根小棒，第3个图案中有16=6+5+5根小棒，……∴第n个图案中小棒的根数为：6+5n−1∴第10个图案中小棒的根数为：5×10+1=51，故答案为：51．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律：第n个图案中有5n+1根小棒是解决问题的关键．【变式4-3】（2023春·甘肃兰州·七年级校考期末）下列图形都是由同样大小的小钢珠按一定规律排列的，按照此规律排列下去，第40个图形有小钢珠颗．

【答案】820【分析】根据图形变化规律可知，第n个图形有1+2+3+4+…+n=1【详解】解：第1个图中有1个小球，第2个图中有3个小球，3=1+2，第3个图中有6个小球，6=1+2+3，第4个图中有10个小球，10=1+2+3+4，……照此规律，第n个图形有1+2+3+4+…+n=1当n=40时，小球个数为1故答案为：820．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据图形变化规律得出第n个图形有1+2+3+4+…+n=1【题型5算式的规律】【例5】（2023春·广东广州·七年级统考期末）观察以下等式：第1个等式：2×1+1第2个等式：2×2+1第3个等式：2×3+1第4个等式：2×4+1……按照以上规律，第5个等式是：，第n个等式（用含n的式子表示）是：．【答案】2×5+12=【分析】根据前四个等式，抽象概括出相同位置上的数字规律，即可得出结论．【详解】解：第1个等式：2×1+12第2个等式：2×2+12第3个等式：2×3+12第4个等式：2×4+12……∴第5个等式：2×5+12∴第n个等式（用含n的式子表示）是：2×n+12故答案为：2×5+12=6×10+1【点睛】本题考查数字规律探究．根据已知的等式，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．【变式5-1】（2023春·四川成都·七年级统考期末）观察按一定规律排列的一组数：2，12，27，…，其中第n个数记为an，第n+1个数记为an+1，第n+2个数记为an+2，且满足1an【答案】15/0.2【分析】由题意推导可得an【详解】解：由题意可得：a1=2=21，∵1a∴2+1∴a4∵1a∴a5同理可求a6⋯∴an∴a2023故答案为：15；2【点睛】本题考查了数字的规律探索，找出数字的变化规律是解题的关键．【变式5-2】（2023春·江西景德镇·七年级统考期末）仔细观察下列规律：22−2=22−1=2：(1)28(2)2n−1(3)小明做完上述两题后，发现了一个运算规律：2=请你参考小明发现的规律计算：2100【答案】(1)2(2)−(3)2【分析】（1）根据所给式子对照可得答案；（2）根据所列出的式子的变化规律，类推出第n个式子的情况，从而得出结果（3）利用（2）中所得规律变形，再消项计算．【详解】（1）解：根据题意可得：28（2）由题中规律可得：2n∴2n−1（3）2===【点睛】本题考查数字规律，找出式子的变化规律是关键，注意与所在的个数之间的关系，并用所在的个数表示其变化规律即可，并类推应用．【变式5-3】（2023春·浙江宁波·七年级校联考期末）请仔细观察下列各等式的规律：第1个等式：11×3第2个等式：13×5第3个等式：15×7…(1)请用含n的代数式表示第n个等式的规律；(2)将第1个等式至第2023个等式的左边部分相加，值为多少？【答案】(1)12n−1(2)2023【分析】（1）写出第4个等式：17×9=1（2）先写出第2023个等式为：14045×4047=1【详解】（1）解：根据题意可得：第4个等式：17×9第5个等式：19×11…….第n个等式：12n−1（2）解：第2023个等式为：14045×4047第1个等式至第2023个等式的左边部分相加为：1=====2023【点睛】本题考查找规律，并通过规律解决问题，正确理解找出规律是解题的关键．【题型6程序运算】【例6】（2023春·山西吕梁·七年级统考期末）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为25，则第

2023次输出的结果是

．【答案】5【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．【详解】解：当k=25时，15当k=5时，15当k=1时，k+4=5，当k=5时，15当k=1时，k+4=5，当k=5时，15…∴规律为从第一次开始输出结果是5和1的循环，∴2023÷2=1011...1即第2023次输出的结果是5．故答案为：5．【点睛】本题考查了求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．【变式6-1】（2023春·河南郑州·七年级统考期末）对于不同的起始数字，反复运用任何一个固定的运算程序，由此产生的结果总是会停留在某个或某几个数字上，称之为“数字黑洞”．小明写下了一列数1234567890，按照“偶-奇-总”的程序不断排出新数：这十个数中，偶数有5个，奇数有5个，总数有10个，得到新数为5510；再把5510，按照“偶-奇-总”排列，……继续下去，你将得到一个“数字黑洞”是．【答案】123【分析】根据题中材料，按照要求操作即可得到答案．【详解】解：对于5510，按照“偶-奇-总”排列，偶数有1个，奇数有3个，总数有4个，得到新数为134；对于134，按照“偶-奇-总”排列，偶数有1个，奇数有2个，总数有3个，得到新数为123；对于123，按照“偶-奇-总”排列，偶数有1个，奇数有2个，总数有3个，得到新数为123；⋯以此类推，得到的“数字黑洞”是123，故答案为：123．【点睛】本题考查数字规律，读懂题意，按照要求操作是解决问题的关键．【变式6-2】（2023春·河南郑州·七年级河南省实验中学校考期末）按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值为30，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，……，请你探索第2023次得到的结果为．【答案】6【分析】分别计算出前六次的输出结果可以得到从第三次输出结果开始，每三次输出结果为一个循环，由此进行求解即可．【详解】解：由题意得，第一次得到的结果为15，第二次得到的结果为24，第三次得到的结果为12，第四次得到的结果为6，第五次得到的结果为3，第六次得到的结果为12，…∴可知从第三次输出结果开始，每三次输出结果为一个循环，∵2023−2÷3=673…2∴第2023次的输出结果和第四次的输出结果相同，为6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了与程序流程图相关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键．【变式6-3】（2023春·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期末）小磊想编一个循环“插数”程序，对有序的数列：-2，0进行有规律的“插数”：对任意两个相邻的数，都用右边的数减去左边的数之差“插”在这相邻的两个数之间，产生一个个新数列.如：第1次“插数”产生的一个新数列是-2，2，0；第2次“插数”产生的一个新数列是-2，4，2，-2，0；第3次“插数”产生的一个新数列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0；……，第2019次“插数”产生的一个新数列的所有数之和是.【答案】4036【分析】根据第1次“插数”产生的一个新数列是-2，2，0，增加了新数2；第2次“插数”产生的一个新数列是-2，4，2，-2，0，增加了新数4，2，-2，其和为4；第3次“插数”产生的一个新数列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0，增加了新数6，4，-2，2，-4，-2，2，其和为6；……由此可得第n次“插数”产生的一个新数列的所有数之和为2n-2；由此即可解答.【详解】第1次“插数”产生的一个新数列是-2，2，0，增加了新数2；第2次“插数”产生的一个新数列是-2，4，2，-2，0，增加了新数4，2，-2，其和为4；第3次“插数”产生的一个新数列是-2，6，4，-2，2，-4，-2，2，0，增加了新数6，4，-2，2，-4，-2，2，其和为6；……由此可得，第n次“插数”产生的一个新数列的所有数之和为：-2+0+2n=2n-2；∴第2019次“插数”产生的一个新数列的所有数之和是：2n-2=2×2019-2=4036.故答案为4036.【点睛】本题是数字规律探究题，根据题意得到第n次“插数”产生的一个新数列的所有数之和为2n-2是解决问题的关键.【题型7定义新运算】【例7】（2023春·吉林长春·七年级统考期末）定义一种新运算：“⊗”观察下列各式：2⊗3=2×3+3=9

3⊗−1=3×3−1=85⊗−3=5×3−3=12，则a⊗b=（用含a、【答案】3a+b【分析】根据所给算式总结规律解答即可．【详解】解：∵2⊗3=2×3+3=9，3⊗−14⊗4=4×3+4=16，5⊗−3∴a⊗b=3a+b，故答案为：3a+b．【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．【变式7-1】（2023春·陕西安康·七年级统考期末）定义：若a是不为1的有理数，则11−a称为a的差倒数．如2的差倒数为11−2=−1．现有若干个数，第一个数记为a1，a2是a1的差倒数，a3是【答案】−【分析】根据规定进行计算，得出：a1，a2，a3【详解】∵a1∴a2a3a由此可以看出−13，34因为2023÷3=674⋯1，，所以a2023故答案为：−1【点睛】此题考查规律型：数字的变化类，关键是发现循环的规律，然后利用规律进行计算分析判断．【变式7-2】（2023春·重庆·七年级统考期末）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为n2k（其中k是使n2若n=23，则第2022次“F”运算的结果是（）A．74 B．37 C．92 D．23【答案】D【分析】根据题意和题目中的新定义，可以计算出前几次的运算结果，然后观察结果，即可发现结果的变化规律，从而可以计算出n=23，第2022次“F”运算的结果．【详解】解：由题意可得，当n=23时，第一次的运算结果为3×23+5=74，第二次的运算结果为：74÷2=37，第三次的运算结果为：3×37+5=116，第四次的运算结果为：116÷2第五次的运算结果为：3×29+5=92，第六次的运算结果为：92÷2第七次的运算结果为：3×23+5=74，…，由上可得，每六次为一个循环，∵2022÷6=337，∴n=23，则第2022次“F”运算的结果是23，故选：D．【点睛】本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现运算结果的变化特点．【变式7-3】（2023春·湖南岳阳·七年级统考期末）定义：若两个有理数的和等于这两个有理数的积，则称这两个数是一对“友好数”．如：有理数54与5，因为54+5=（1）有理数a和b是一对“友好数”，当a=4时，则b=；（2）对于有理数x（x≠0且x≠1），设x的“友好数”为x1；x1的倒数为x2；x2的“友好数”为x3；x3的倒数为x4；……依次按如上的操作，得到一组数，x【答案】43【分析】（1）根据定义得a+b=ab，代入数据求出数值即可；根据题意依次写出x的数值，找到规律，根据规律即可求得数值．【详解】（1）解：∵有理数a和b是一对“友好数”∴a+b=ab将a=4代入得：b=（2）当x=3得：x1=3，x2=13，x3=−1发现6个数为一周期，∵2023÷6=337⋅⋅⋅⋅⋅⋅1∴x故答案为：43；【点睛】本题考查了新定义，找规律的题型，观察定义、归纳概括出规律是解题关键．【题型8动点规律探究】【例8】（2023春·重庆·七年级统考期末）如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，